Sans nous appesantir sur d’autres décompositions

semblables , nous poserons la règle suivante :

Pour diviser un nombre de plusieurs chiffres par un

nombre d’un seul chiffre, il faut :

1° Écrire le diviseur à côté du dividende, en les séparant par un trait.

2° Chercher combien le premier chiffre du dividende contient le diviseur , ou , si ce premier chiffre est plus petit que le diviseur, combien les deux premiers chiffres du dividende contiennent le diviseur, et écrire ce uombre au quotient;

3° Retrancher de la partie employée du dividende, e produit du chiffre trouvé ; le produit du chiffre t ;

4° Écrire à côté du reste obtenu par cette soustraction le chiffre suivant du divideude, pour former un nouveau dividende partiel sur lequel on opère comme sur le premier ;

5° Écrire le second quotient partiel à la droite du premier et retrancher son produit du second dividende partiel ;

6° A côté du reste de cette dernière soustraction, écrire le chiffre du dividende général qui suit le dernier employé, pour former un troisième dividende partiel ;

7° Continuer enfin de la méme manière jusqu’à ce qu’on ait employé tous les chiffres du dividende général,

Quelques exemples suffiront pour rendre cette règle évidente,

DI - 7- Soit à diviser 61605 par g. Après ayoir disposé comme il suit les nombres donnés

on dira : en 61 combien de foisg? 6 fois pour 54.On écrira 6 au quotient , et on retranchera 6 fois 9 ou 54 de 61, ce qui donnera un reste 7, à côté duquel on écrira le chiffre 6 du dividende. Continuant l'opération, ou dira : en 76, combien de fois 9? 8 fois pour 72; on écrira 8 au quotient, et on retranchera 72 de 56, ce qui donnera 4 pour reste, à côté duquel on écrira le chiffre o du dividende. On dira de nouveau, en 4o combien de fois g? 4 fois pour 36 ; on écrira 4 au quotient et à côté du reste 4, obtenu en retranchant 36 de 40, on écrira le dernier chiffre 5 du dividende. On dira enfin, en 45 combien de fois 9 ? 5 fois exactement, et l’on terminera l’opération en écrivant 5 au quotient et o pour dernier reste,

Le quotient demandé est donc 6845.

5. Proposons-nous de diviser 8437 par 9. Ici, il n’est pas besoin de prendre deux chiffres du dividende pour

commencer l’opération, parce que le premier le contient déjà. On dira donc

en 8 combien de fois 7 ? une fois avec un reste r, Abäissant le chiffre 4 , on continuera en disant en 14 combien de fois 7? 2 fois sans reste, On écrira donc o pour reste, et l’on abaissera le chiffre 3 du dividende ; ce qui donnera 03 ou seulement 3 pour troisième dividende partiel; on dira donc en 3 combien de fois 3? La division ne pouvant s'effectuer, on écrira o au quotient, et considérant 3 comme un reste, on écrira à côté le dernier chiffre 3 du dividende. On terminer# enfin en disant :

7? 5 fois avec un reste 2.

en 37 combien de fois 7

Le quotient cherché est donc 1205; mais il y a un

reste, ce qui prouve que 7 n’est pas facteur exact de

9. Une décomposition semblable à celle du numéro 5, va nous montrer la marche qu’il fant suivre lorsque le diviseur a plusieurs chiffres. Ayant multiplié 856 par 464, et trouvé comme ci-dessous 406464, proposonsnous le problème inverse de diviser 406464 par 876 : le

DI

quotient sera nécessairement 464; écrivons le diviseur à côté du dividende, et opérons comme il suit :

D'après la composition du dividende, on voit que le produit du diviseur par le dernier chiffre 4 du quotient est contenu dans les quatre derniers chiffres 4064 du dividende, plus les dixaines provenant des autres produits partiels. Ainsi, ayant séparé ces quatre chiffres par un point, ilest évident que pour trouver le dernier chiffre 4 en question, il ne faut que chercher combien les chiffres ainsi séparés contiennent de fois le diviseur. Nousdirons donc en 4064 combien de fois 876? mais comme ici la table de multiplication est insuffisante, nous remarquerons que 4064 étant le produit de 856 par le chiffre cherché , le premier chiffre 4, ou à son défaut, les deux premierschiffres 4o doivent contenir leproduit du chiffre cherché par le dernier chiffre 8 de876; la question se réduit donc à dire en 40 combien de fois 8? et comme il y est 4 fois, nous en conclurons que 4064 contient 4 fois876. Cela posé, 4064 contenant en outre les dixaines provenant des autres produits partiels, pour avoir ces dixaines , il ne faut que multiplier 876 par 4, et retrancher le produit de 4064. Ayant donc écrit 4 au quotient multiplions le diviseur par ce nombre, portons le produit 3504 sous 4064 , et retranchons-le de ce nombre, nous aurons 560 pour reste.

Si à côté de ce reste , nous écrivons jes deux autres chiffres 64 du dividende, il est bien évident que le nombre qui en résulte 56064 ne contient plus que les produits de 8736 par les deux premiers chiffres 64 du quotient.

Remarquons de nouveau que le produit de 876 par lavant-dernier chiffre 6 du quotient est contenu dans les quatre premiers chiffres 5606 de notre nouveau dividende plus les dixaines reportées du premier produit partiel. Ainsi, pour trouver ce chiffre 6, il faut encore chercher combien de fois 5606 contient 876, ou, comme ci-dessus, combien 56 contient 8. Mais ici 56 contient 8 7 fois et non G fois. On pourrait donc croire qu’il y a erreur dans Popération , si l’on ne se rappelait pas que

non-seulement 56 contient le produit deS par le chiffre cherché, mais qu’il contient encore de plus les dixaines provenant des produits des autres chiffres de 896, et cucore celles proveuantdu premier produit partiel 3504; il arrive donc souvent que la division des deux premiers chiffres du dividende par le premier chiffre du diviseur donne un nombre plus grand que celui qui est cherché ; et l’on ne peut regarder ce procédé que comme un tatonnement , puisque pour être sûr qne le chiffre trouvé n’est pas trop grand, il faut multiplier le diviseur entier pour savoir si le produit ne surpasse pas les chiffres séparés du dividende, car il ne faut pas perdre de vue que la véritable question est ici de savoir combien 5606 contient 876.

Ainsi ayant trouvé 7, en disant : en 56 combien de fois 8? multiplions 876 par 7, et comme le produit 6132 est plus grand que 5606, concluons que 7 est trop fort; alors multiplions 876 par 6 , et comme le produit 5256 est contenu dans 5606, écrivons 6 au quotient et retranchons 5256 de 5606; nous aurons 350 pour reste, à côté duquel nous écrirons le dernier chiffre 4 du dividende.

Or, il est évident que puisque nous avons retranché successivement du dividende général, les produits du diviseur par les centaines et les dixaines du quotient, le dernier reste 3504 ne doit plus contenir que le produit du diviseur par le chiffre des unités du quotient, et qu’il doit être ce produit même, puisque le dividende proposé est exactement le produit du diviseur par le quotient. Ainsi, pour trouver ce chiffre des unités, nous dirons : en 3504 combien de fois 8,6? ou plus simplement, en 35 combien de fois 8? 4 fois. Multiplions donc 876 par 4 pour savoir sice chiffre n’est pas trop grand , et comme le produit est justement 3504, écrivons { au quotient, eto pour dernier reste, ce qui devait être nécessairement , puisque nous n'avons fait que retrancher du dividende tous les produits partiels qui

le composaient.

10. De là il est aisé de conclure la règle générale suivante :

On prendra sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il est nécessaire pour contenir le diviseur.

Cela posé, on cherchera combien {a partie prise du dividende contient de fois le diviseur, ce qui se fait en cherchant seulement combien de fois Le premier chiffre à gauche du diviseur est contenu daus le premier chiffre du dividende, ou dans les deux premiers si le premier ne suffit pas; on écrit le chiffre trouvé sous le diviseur.

On multiplie tous les chiffresdu diviseur par ce quotient partiel, et on porte à mesure les chiffres du produit sous les chiffres correspondans du dividende partiel. On fait la soustraction, et à côté du reste on abaisse

416° BI le chiffre suivant du dividende général, ce qui donne un second dividende partiel.

Oa opère sur ce second dividende partiel comme sur yle premier , et on continue l'opération jusqu’à ce qu’on ‘ait abaissé tous les chiffres du dividende général.

Quelques exemple éclairaront les cas embarassans. 17. Soit à diviser 3730438 par 5364;

Ayant séparé par un point les cinq derniers chiffres du dividende, parce que les quatre premiers sont insuffisans pour contenir le diviseur ; je dis : en 37 combien de fois 7 ? 5 fois; j'écris 5 au quotient.

Je multiplie 3364 par 5, et je porte le produit 36820 sous 37304 , duquel je le retranche; à côté du reste 454 j'abaisse le chiffre suivant 3 du dividende, et j'ai pour second dividende partiel 4543.

Qr, comme ce second dividende est plus petit que le diviseur, j'agis comme dans le numéro 8, c'est-àdire que j'écris o au quotient , et que j’abaisse le dernier chiffre 8 du dividende.

Je dis, eu 48438 combien de fois 5364? ou, en 48 combien de fois 7? je trouve 6 fois que j'écris au quotient, je multiplie le diviseur par 6, et j'écris le produit 44184 sous le dividende 48438 duquel le retranchant, j'ai 4254 pour reste.

Eu effet, en multipliant le diviseur par le quotient, on trouve pour produit 3526184 qui diffère du divi-

dende donné du nombre 42544.