La méthode qu'on emploie pour diviser un poly
nome par un autre polvnome est à peu près semblable
à celle que nous avons donnée -dessus pour les nombres. On ordonne d’abord le dividende et le diviseur par rapport à une même lettre, commune à l’un et à l’autre, de manière que les puissances consécutives aillent en décroissant du premier terme au dernier. On divise ensuite le premier terme du dividende par le premier du diviseur, d’après les règles que nous venons d’exposer pour les monomes, le quotient qu'on obtient est le pre mier terme du quotient général demandé. Multipliant le diviseur par ce terme trouvé, et retranchant le produit du dividende, on a un premier reste dont le premier terme divisé par le premier terme du diviseur donne pour résultat le second terme du quotient. Opérant ensuite comme ci-dessus, on obtient un second reste lequel sert de la même manière à la détermination du troisième terme du quotient, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on trouve o pour reste, ou un reste qui ne puisse plus être divisé.
Exemple 1°. On demande le quotient de la division de 3a?+oga—5a—15 par 3a—5
3a—5 3 LE Fe Re Lu . 7 a +3 quotient 9æ@—15 premier reste.
o second reste — 0.
Les produits de 3a—5 par aet par 3 sont 3a—5a et oa?—15, mais pour les soustraire il faut changer les signes et ils deviennent —3a+5a, —ga+15.
Exemple 2°. On veut diviser 4a—17ab+2b; par
Re b3 F Le | ne JL en He 4aæ—8ab—b quotient —8ab—17ab? premicr reste —8abLi6ab?
—ab?+2b3 second reste +ab—2bi
o troisième reste.
Exemple 3°. Diviser am—bm par a—b
a—b PS mm pm rm a Lab aa an a etc.
an bin —am—1b+am—2hs sa | Han—h— mt —an—3b + am—3p3 er —am 3h Lam—hpi Han—hbi pm etc. etc.
L'opération ne pourra seterminer tant que l’exposant m restera ainsi général, mais il est facile de saisir la loi
DI
des termes du quotient; en effet , on voit que les puissances de a décroissent à mesure que celles de b deviennent plus grandes, et on pourra conclure par analogie que le dernier terme de ce quotient général est abm—1 et que ce quotient lui-même est
am E am—3h + am—3h3 Letc......
+ @bm-3 LE abm—3 L bn ;
pour s’en assurer il ne faut que le multiplier par «—b, ce qui donne .
an E am—1ib L am—2h2 L etc.
+ dbm—3 Labs LL 'abm-1 —amTib—am—2h2 —etc....
—dbn—3 co bm—3abm 1h
dont la somme est effectivement a—bm.
Exemple 4°. Diviser a*—ab?+b5 par a4+b
a—abpp fe —a—æb a—ab —æ@b—ab A ma FT
Le quotient sera donc égal à &—ab plus la fraction b3
a, on ne peut continuer la division sans trouver des
comme ici le numérateur ne contient plus la lettre
termes fractionnaires, et alors dans ce dernier cas, lorsqu'on veut continuer la division, on peut la pousser à l'indéfini car il n’y a plus de raison pour s'arrêter à un terme plutôt qu’à un autre; le quotient pris donc en général est composé d’un nombre indéfini de termes dont chacun peut être déterminé par une loi très-simple au moyen de ceux qui le précèdent, comme nous allons le voir pour le cas dont il est question.
HP RE TE ——— RTE TA +etc.
bi :
. premier reste bi bd ++ b5 + second reste b5 b5 7 à
—— troisième reste a
etc.
La loi des termes du quotient est facile à saisir, leur
bm+a
Fr = forme générale est —— et ils sont alternativement a
DI
positifs et négatifs. On peut encore exprimer cetie dernière circonstance, en observant que (—1}"+1est positif toutes les fois que #1 estimpair, c’est-à-dire que 711,3, 5, 7, etc., et négatif lorsqu'il est pair, c’est-à-dire que m—2 , 4, 6,8, cetc.; en effet, lorsque 72 est impair, mx est pair, et (—i)tt = + 1; lorsque 72 est pair m + x est impair et (—1}"+1=— 1. Ainsi la forme absolument générale des termes de ce quotient est
bn+2
Connaissant ainsi cette forme générale, pour trouver un terme quelsonque, le quatrième par exemple, il faut y faire »m—4 et on obtient
lea pour ce terme, comme nous l’avons obtenu ci-dessus par la division. On appelle en général suite ou série une quantité composée, comme le quotient en question, d’un nombre indéfini de termes; et terme général de cette
Ni — 2
suite une expression, telle que (—1}#+, dont
on peut tirer tous les termes qui la composent.
Les restes successifs de cette division sont aussi liés par une loi très simple ; en examinant leur génération
bi b5 b5 b1 70 = DNS A Mt on voit avec facilité que leur forme générale est
bm+3 an h
(apr.
Si on voulait terminer l'opération au premier, second, troisième reste, etc., pour compléter le quotient, il faudrait alors lui ajouter une fraction dont le dernier reste serait le numérateur et le diviseur le dénominateur; c’est
ainsi qu’on pourrait avoir
DEDRAN D bi akb a a(a+b)
b3 b5 bi b° a$b «a « au a (a+b)
b3 b5 bi L5 ' Ad
a+b ne Ua fe a a{a+b)
etc. etc.
Mais en considérant le quotient danstoute sa généralité,
; b5 cr + la fraction F2 est exprimée par la suite indéfinie bi b3 bi b° OR etc.
a+b a a a ai ?
DI 481 29. Nous aflons, avant de terminer cet article, examiner les différentes formes sous lesquelles les suites pro: duites par la division peuvent se présenter.
La division de a« par a—b, donne, en suivant les principes exposés ci-dessus,
a b b2 b3 bi —=1+—+ La tarpete
Si dans cette égalité on fait a=b, elle deviendra
= 14141 iii etc.
Le second membre de cette égalité pris dans sa généralité est nécessairement infiniment grand, ainsi la division d’un nombre quelconque par o produit l'infini. EfFetivement si l'on considère ceque devient un quotient dont on diminue successivement le diviseur, on remarquera sa croissance rapide
a a a a — = 1,5. =24,,-=4ha,;=8a,-— = 1604 a
Donc, lorsque le diviseur devient infiniment petit, ou zéro, le quotient est infiniment grand; c'est ce que donne l'égalité en question.
