DU

par l’oracle était celui qu'Apollon avait à Athènes, et il était d’une forme exactement cubique. Il parut d’abord facile de satisfaire le Dieu ; on se borna à construire un nouvel autel et à doubler les côtés de celui qui existait, mais On obtint ainsi un cube non pas double, mais octuple. Le fléau ne cessa pas, et l'oracle consulté de nouveau, répondit qu’on avait mal interprété sa réponse. On soupçonna dès lors qu'il s'agissait de la duplication géométrique de l'autel, et tousles géomeètres de la Grèce furent appelés à trouver la solution d’un problème que les moyens pratiques w’avaient pu donner. Valère Maxime ajoute à cette histoire merveilleuse une circonstance encore plus invraisemblable. Cet écrivain prétend que Platon, consulté sur cette importante question, désigna Euclide comme le seul géomètre.en état d'y répondre de manière à satisfaire le mystérieux oracle de Délos. Mais cette assertion est dénuée de fondement. Le géomètre Euclide est postérieur à Platon de près d’un siècle, et Euclide de Mégare, contemporain de ce grand homme, n’était qu’un sophiste sans talens, et entièrement dépourvu des connaissances géométriques que Platon au contraire possédait au plus haut degré.

D'ailleurs, même en admettant qu’il y ait quelque réalité au fond de cette histoire merveilleuse, il est certain que le problème de la duplication du cube avait déjà occupé les géomètres, et que sa solution avait été presque aussitôt trouvée que cherchée. Hypocrate de Chio l'avait réduit à la recherche de deux moyennes proportionnelles continues, c’est-à-dire à l’insertion de deux lignes moyennes proportionnelles géométriques entre le côté du cube donné et le double de ce côté, la première de ces deux lignes étant le côté du cube cerché. Ce futen se plaçant dans ce point de vue qu’on conserva l'espérance d'achever sa solution par la règle et le compas, car c’est en ce sens seulement que se révélait la difficulté du problème, et qu’elle occupa les géomètres et particulièrement l’école Platonicienne. Platon lui-même en donna sous ce rapport une solution ingénieuse, mais où la difficulté n’était encore qu'éludée. Il y employa un instrument composé de deuxrègles, dont l'unes’éloigne parallèlement de l’autre, en glissant entre les rainures de deux montans perpendiculaires à la première. Architas imagina une courbe

décrite par un mouvement particulier, sur la surface d’un cylindre droit, et qui étant rencontrée par la surface d’un cône situé d’une certaine manière, déterminait l'une des moyennes. Cette solution ne pouvait être utile dans la pratique. Eudoxe en proposa une autre qu'il obtint au moyen de courbes de son invention. Menechme, Aristée, Dinostrates s’exercèrentégalement sur ce problème qu'ils abordèrent par les movens que leur présentèrent la théorie des sections coniques nouvellement découverte. Les deux solutions proposées par Menechme, sont surtout remarquables; la quadratrice de Dinostrate et le conchoïde de Nicomède sont également dues aux recherches qu'occasionna le problème de la duplication du cube. Enfin Pappus, dans ses Collections mathématiques proposa une ingénieuse méthode pour trouver les deux moyennes proportionnelles, méthode que perfectionna encore Dioclès au moyen de la Cissoïde, courbe qui porte son nom.

Le problème dela duplication du cube, comme celui de la trisection de l’angle et de la quadrature du cercle a beaucoup occupé les géomètres anciens. La solution des difficultés qu'ils présentent est impossible par la règle et le compas, et il ne faut pas oublier que c'était surtout à obtenir ce résultat que tendaient tous les efforts de la géométrie ancienne. Mais les recherches dont ces problèmes ont été l’objet ont du moins donné naissances à d'importantes découvertes, et c’est sous ce rapport surtout qu’elles intéressent vivement encore l’histoire de la science. Foy. Cunique, HExAËDRE et Moyen- NES PROPORTIONNELLES.

DYNAMIQUE (de dévœus, force). Partie de la mécanique qui a pour objet les lois du mouvement des corps, ou les lois de l’action des forces motrices. Voy, MECANIQUE.

DYNAMOMÈTRE (Méc.). Instrument pour mesurer l'intensité d’une force. C’est un peson à ressort muni d’un cadran sur lequel un index, mis en jeu par l’action de la force, marque les degrés de tension du ressort. Diverses formes ont été données à cet instrument pour le rendre propre à comparer entre elles les forces des hommes et celles des animaux. On voit à Paris dans tous les endroits publics des dynamomètres destinés à mesurer la force des coups de poing.

ÉCHECS. Il existe au jeu des échecs un problème curieux qui a occupé les mathématiciens et que le célèbre Euler n’a pas trouvé indigne de son attention; il consiste à faire parcourir successivement au cavalier les 64 cases de l’échiquier sans passer plus d’une fois sur la même case. Le cavalier est , comme chacun le sait, une pièce dont la marche oblique s'effectue de trois cases en trois cases, en sautant d’une case blanche sur une case noire. Nous allons rapporter ici la solution de ce problème, teile qu’elle a été donnée par Euler dans les A/emoires de l’Académie de Berlin , pour l’année 1750.

En partant d’un des coins de l’échiquier, donnons à chaque case un numéro d'ordre pour les distinguer ; nous aurODs ainsi :

57 | 58 | 59 | 60 | 61 | G2 | 63 | 64 go | 50 | 51 | 5 | 53 | 56 | 55 | 56 APP PAP FAO AE “33 | 34 | 35 | 26 | 3, | 38 30 4o 25 | 26 | 27 | 28 |.29.|:30:|; 3r1|:32

Ceci posé, si nous supposons que le cavalier est placé sur la case 1, et qu’on le fasse partir de cette case, on pourra d’abord le faire sauter indifféremment sur 11 ou sur 18, mais arrivé à l’une de ces deux cases l'embarras commence, puisque de chacune d’elles on peut le faire sauter sur trois autres. Voici l’ordre des cases à parcourir en partant de 1 sur 11:

Si,aulieu denuméroter les cases de l’échiquier comme nous l'avons fait, nous les numérotons dans l’ordre ou elles sont parcourues , nous aurons donc la route suivante, où le cavalier part de 1 pour aller à 2, ensuite à 3, etc., de manière qu’en arrivant à 64, il a parcouru

toutes les cases.

On voit aisément qu’en prenant une marche symé-

trique à celle-ci, on peut faire partir le cavalier des

autres angles.

Si l’on voulait partir de la case numérotée 64, en marchant dans l’ordre inverse des numéros, on irait à 63, de là à 6r et on parvicudrait à 1. Mais cette route n’est plus d’aucune utilité lorsqu'il s’agit de commencer par toute autre case , et le problème général consiste préci-

sément à prendre un point de départ arbitraire.

Euler fait observer qu'il s’agit seulement de trouver une route où la dernière case marquée 64 soit éloignée de la première d’un saut du cavalier, de manière qu’il puisse sauter de la dernière sur la première. Car cette route étant déterminée, on pourra partir d’une case quelconque et suivre l’ordre des numéros jusqu’à 64, de là sauter sur 1 et continuer la route jusqu’à celle dont

on est parti.

Une telle route qu'Euler nomme route rentrante en elle-méme, est beaucoup plus difficile à trouver que. celle que nous avons donnée ci-dessus, mais nous ne; pouvons que renvoyer au mémoire déjà cité ceux de nos lecteurs qui voudraient connaître la méthode ingénieuse employée par l'illustre géomètre.

Voici une route rentrante; elle suffit pour obtenir la solution complète du problème.

Cette route étant bien fixée dans la mémoire, on pourfa faire partir le cavalier d'une case quelconque. S'agit-il par exemple de partir de la case 30, on le fera passer par les cases 31, 32, 33, etc., jusqu’à 64, d’où en passant ensuite par 1,2, 3, etc.: on lui fera poursuivre sa route jusqu’à la case 29.

Vandermonde s’est aussi occcupé de ce problème dans les Memoires de l'Académie des sciences pour 1771.

ÉCHELLE (Géom.). Ligne droite divisée en parties égales ou inégales selon les usages auxquels on la des-

.tine,

En géographie et en topographie, uneéchelle est une ligne divisée en parties égales et placée au bas d’une carte, où d’un plan, pour servir de mesure. Ainsi, lorsqu'on veut trouver sur une carte la distance de deux points, on en prend l'intervalle avec un compas, et en appliquant cet intervalle sur l'échelle on évalue la distance par le nombre dedivisions qu’il renferme. Ces divisions représentent des lieues ou des mètres ou toute autre mesure de longueur.

Avant de tracer un plan sur le papier on commence toujours par construire l'échelle d’après laquelle les parties qu’on 4 à représenter doivent être placées, les unes par rapport aux autres, comme elles le sont sur le terrain. Si l'on voulait, par exemple, que les objets fussent mille fois plus petits sur le plan que sur le terrain, on construirait une échelle de 100 mètres, ou plus suiyant le besoin , en prenant pour unité la grandeur réelle d’un millimètre; cette grandeur représenterait un mètre sur l'échelle. Alors deux objets dont la distance sur le terrain est de vingt mètres doivent être placés sur le plan à une distance de vingt unités de l'échelle.

Cette échelle, dont l'emploi est des plus fréquens, se uomme l'échelle des parties égales, et quand on la construit de manière à pouvoir trouver les parties déci-

males de l’unité, on lui donne le nom d’echelle des dixmes. Nous allons donner la construction de cette dernière.

ÉcueLLe DES DixMEs. On trace un droite indéfinie AM (Pi. XXXTI, fig. 1), et l’on porte sur cette droite, en partaït du point À, dix fois de suite üné même ouverture de compas AB, déterminée par la grandeut relative qu'on veut donner à l’échelle. On subdivise AB en dix parties égales qu’on numérote 1,2, 3,4, 5,6, etc, et de tous les points de division, A, B,C,etc., 1,2, 3, 4, etc. on mène des perpendiculaires à AM en faisant toutes ces perpendiculaires égales à AB. Après avoir divisé AO, NO et BN comme on a divisé AB, où joint par des droites les points opposés de division, et l’on mène des transversales dont la première part de B et tombe sur le point de la première division de NO, la seconde du point 1 et tombe sur le point de la seconde division de NO, et ainsi de suite jusqu’à la dernière qui part du point 9 et tombe sur le point O. On riumérüte ensuite les divisions comme elles le sout dans la figure.

Il est évident que le triangle rectangle BNa est coupé en parties proportionnelles dont la première vaut un dixième de Na, la seconde, deux dixièmes, etc., etc., de sorte que, si les parties 1, 2, 3, etc., représehtert des mètres, et que l’on veuille prendte sur cette échelle 10", 4, par exemple, ce sera la distance c'e qui représentera cette quantité. De même, s’il s'agissait de 16,7, on prendrait la distance cg.

Avec de l'habitude on peut subdiviser à l'œil les distances0, 15 0,2; 0:9,-etc., el prendre conséquemment des centièmes, du moins approximativement. C'est ainsi que df représente 237,65.

Comme les échelles sur le papier sont bientôt dégra dées par les pointes des compas, Où en cofistrüit en cuivre à l'usage des ingénieurs; on les nomme échelles de 1 à 1000, de 1 à 000, de 1 à 25000, etc., selon que l'unité de l'échelle est 1000, 2000, 25000, etc. , fois plus petite qu’un mètre.

ÉcnELLE Locarirmmique. C’est une ligne droite divisée en parties inégales et qui représente les logarithmes des nombres ou ceux des sinus et des tangentes. Cette échelle, iuventée par Edmond Gunter,a donné naissance au cercle logarithmique. (Foy. Amramomèrre). Elle sert à faire des multiplications et des divisions.

ÉCHELLE ARITHMÉTIQUE. On donne ce nom à la progression géométrique par laquelle se règle la valeur relative des chiffres simples dans un système quelconque de numération.

Dans l’arithmétique actuelle on est convenu de n’employer que dix caractères en donnant à chacun d'euxune valeur dix fois, cent fois, mille fois, etc. , plus grande selon qu'il occupe la seconde, troisième , etc. place à gauche du chiffre des unités (Foy. ARITHMÉTIQUE 10.)

Ainsi lorsque plusieurs chiffres sont écrits les unsà côté des autres, si l’on écrit au-dessous la progression géométrique

etc. 10°, 104, 1pf, 10°, 101, 10°

en faisant correspondre 10° avec le chiffre des unités, la valeur relative de chaque chiffre est égale à sa valeur absolue multipliée par le terme correspondant de la progression. Par exemple 3 à la quatrième place à gauche vaut 3X 10% ou 3 mille; 2 à ja troisième place vaut 2X 10? ou 2 cents, etc. Or, le choix de dix caractères est tout-à-fait arbitraire et l’on aurait pu tout aussi bien en prendre plus ou moins pour former un système de numération capable comme le nôtre de donner la construction de tous les nombres, Foy. Numérarion. Supposons en effet que nous n’ayons que cinq caractères o, 1,2,3, 4, et donnons-leur une valeur de cinq en cinq fois plus grande, selon qu'ils occupent des places plus reculées à la gauche du chiffre des unités

10 représente le nombre cinq.

100 le nombre vingt-cinq.

1000 le nombre cent vingt-cinq.

c’est-à-dire qu'ayant comme ci-dessus plusieurs chiffres écrits les uns à côté des autres, si on leur fait correspondre la progression

etc. (5), (5), (5), (5), (5), (5),

leur valeur relative sera égale à leur valeur absolue multipliée par le terme correspondant de la progression. x

Nous devons faire observer que dans un tel système de numération le chiffre 5 n’existe pas, et que nous ne nous en seryons ici que pour réduire à notre système décimal les quantités exprimées dans ce système de cinq chiffres.

En général m étant le nombre des chiffres d’un système de numération, la progression

etc. om, mi, m, m°, m1, m°

est l'échelle arithmétique de ce système; m2 est la base de l’échelle.

On peut se proposer sur les échelles arithmétiques plusieurs problèmes dont nous allons exposer Jes plus inportans.

1. Une quantité A étant exprimée dans une échelle 7, L'ouver son expression dans une autre échelle x,

Soit expression donnée (1)

A = a.mp#Æb,mp—-i+c.mp-14ctc ec, nf,

a, b, c, d, etc. , étant les chiffres de l'échelle mn.

EC à

Désignons par a’, b’, c', d', etc. les chiffres qu’il s’agit de trouver dans l'échelle x, et par 4 l’exposant du dernier terme de la progression, nous aurons (2)

A=a'.n1+b'.n7—-1+c'ng—-1+etc...e!. mæf'.no

et le problème se réduit à la détermination des chiffres a’, b', c', etc. au moyen des chiffres a, b, e, etc.

Or, si l’on divise l'expression (1) par », le reste de cette division sera nécessairement plus petit que n ; ainsi désignant le reste par r, et le quotient par £, on aura

a.mp+b.mp—14c.mpP—etc.. .—=t.n+r

r sera donc le chiffre des unités de A dans l'échelle n.

Divisant de nouveau le quotient { par », on obtiendra un second quotient #, et un second reste 7,, et on. aura aussi

t=t,.n+r, Divisant de même £, par 7», on aura encore b=ten+r,

Poursuivant de la même manière jusqu’à ce que le dernier quotient soit plus petit que » et rassemblant les résultats, on aura

At nr

ti —t,.n+r, t,=6.n4rs etc. etc.

tot

Substituant successivement ces valeurs les unes dans

les autres on formera l'expression A=tuntHete....rsn rer nr

ce qui est évidemment l'expression de À dans l'échelle » puisque toutes les quantités 71, r:, 7;,, etc. sont plus petites que x, et peuvent conséquemment être représentées par les chiffres de cette échelle.

Ainsi, pour passer d'un système de numération à un autre, il faut diviser la quantité donnée par la base du système en question, le reste de cette première division est le chiffre des unités. Diviser ensuite le quotient de cette première division par la même base, ce qui donnera pou: reste lechiffre des dixaines. Une troisième division fera conuaître le chiffre des centaines, ete., ete.

Mais pour pouvoir faire toutes ces divisions , il faut d'abord quela base dusvstème demandésoit exprimée en chiffres du svstème donné, ce qui est toujours possible,

Troll du système donné, et » celle