ne Glant la

du système demandé, si x est plus petit que m, il est alors un chiffre du système 72, et si le contraire a lieu, mn est un chiffre du système ». Daus ce dernier cas, divisant 2 par »2, ic reste de Ja division fera connaître les unités de r exprimées dans le système 72; si le quotient est plus petit que »2, ilsera le chiffre des dixaines; s’il est plus grand , on continuera f'opération comme ci- . dessus.

Exemple. La quantité 435321, exprimée dans l’échelle de 6 chiffres ou hexadique, étant donnée, on demande son expression dans l'échelle de huit chiffres ou octodique.

La base de cette dernière étant plus grande que 6, G est un de ses chiffres, divisant donc 10 par 6, on a 2 pour reste et 1 pour quotient ; la base de l'échelle octodique exprimée en chiffres de l'échelle hexadique, est par conséquent 12.

Opérant actuellement comme il est prescrit, on trou-

vera ce qui suit.

Premier reste.... OI

Deuxième reste...

Troisième reste.... 5

Quatrième reste.... 10

Cinquième reste... 0°! EC

Le quatrième reste ou 10 qui est la base de l'échelle Lexadique, est exprimé par le chifire 6 du système ectodique.

Si un des restes avait été 11, on voit avec la même facilité qu’il aurait répondu au chiffre 7.

Les restes sont donc 1,4, 5,6,0, 1, et la quantité 435321 exprimée dans l’échelle octodique est 106541.

On peut, pour vérifier de semblables calculs, faire repasser ensuite l'expression trouvée à celle donnée. Par exemple, ici la base de la première échelle étant égale au chiffre G de la seconde, on aura

EC 106541 6 = 26 13020 Premierreste..... O1 - 13620 pue 56 1755 Deuxième reste... 2 DA É 17951 — 35 (247

Troisième reste..... 3

Quatrième reste..... 5

33! ue Cinquième reste...... 314 ROC AENS

Les restes sont 1, 2,3,5, 3,4,on a donc aussi [106541]échelleoctodique=[435321]échellehexadique. On trouve au mot BiNAIRE un autre exemple de semblables calculs. *

2. Problème. L'expression d’un nombre étant donnée dans deux échelles différentes dont la base de l’une est inconnue , trouver cette base.

Soit le nombre 4532 dans l'échelle ordinaire ou déci male, dont on a l'expression 16134 selon une échelle inconnue. Si l’on désigne par zx la base cherchée, on aura

4532 = 1x4 62H rax2+aiL 3x ce qu’on peut mettre sous la forme Ti HGx +x+3x+3—4532—0

équation du quatrième degré de laquelle dépend la valeur de x. Or, pour résoudre cette équation, qui se réduit à (a)

DiHGx$ Hart L3x—/529—0

il fautremarquer que la base x cherchée, doit être plus petite que 10, car l'expression 16134 contient plus de chiffresque4532; et cependant plus grande que6,puisque 6 est un des chiffres de l'échelle inconnue. La base demandée ne peut donc être que 7, 8 ou 9. De plus, la valeur de + étant racine de l’équation (a), doit diviser exactement le dernierterme 4528 de cette équation (vo. Equarion ); ainsi, essayant successivement les nombres 7, 8, 9, on trouvera que le seul diviseur exact est 7, et

EC par conséquent que l’on a x=#9. Voy. NUMÉRATION, pour les principes de la théorie des échelles arithmétiques.

ÉCHELLE DE FRONT (Persp.). Droite parallèle àla ligne horizontale, et divisée en parties égales, qui représentent des mètres ou des subdivisions du mètre.

ÉCHELLE FUYANTE (Persp.). Droite verticale divisée en parties inégales, qui représentent des mètres ou des subdivisions du mètre. loy. PERSPECTIVE.

ÉCHELLES DE PENTE (Geom.). Géométrie des échelles de pente.Une des branches de la géométrie descriptive.

Dans la géométrie descriptive, on détermine la position des points dans l’espace à l’aide de leurs projections sur deux plans qui se coupent; et pour plus de simplicité, où suppose l’un de ces plans horizontal et l’autre vertical (Joy. GÉOMÉTRIE DEscriprIvE ). Cette méthode, qui est rigoureuse , et d’une application facile toutes les fois qu'il s’agit de surfaces dont la génération peut être rigoureusement définie,se trouve en défaut lorsqu'on veut l'appliquer à des surfaces déterminées seulement par des conditions qui ne peuvent être exprimées par l’analyse. Ce genre de questions se présentant fréquemment dans les applications, on a dù chercher un moyen de pouvoir ies résoudre, et on y est arrivé à l’aide des échelles de pente. Dans cette géométrie nouvelle, la position des points dans l’espace, est déterminée par leur projection horizontale et par leur distance à un plan horizontal fixe de position, et passant au-dessus de tous les points que l’on considère. Ces distances comptées sur les verticales abaissées des points sur ce plan, sont exprimées en nombres. Il est évident d’après cela qu'une ligne droite sera complètement déterminée lorsqu'on connaîtra sa projection horizontale et les cotes de deux de ses points. Supposons en effet que AB (P£. XXXIII, fig. 2 ) étant la projection horizontale d’une droite, «et 8 les cotes de ses points A et B, on demande la cote x d’un quelconque de ses points C.

Aux points À, Bet Célevons des perpendiculaires au plan horizontal de projection. Soit MN l'intersection du plan horizontal, par rapport auquel sont comptées les cotes des points de la droite, et qui prend le nom de pian de comparaison, avec le plan projetant de la droite. Si à partir des points Det E, on porte des longueurs DA' et EB' égales à «et à 8, la droite A'B' sera la droite dans l’espace , et si nous menons par le point A! et dans le plan projetant l'horizontale AC", des deux triangles semblables A'B'B", A'C'C" on déduira la proportion.

A'B" ou AB : A'C" ou AC :: B'B" : C'C”

et, en désignant AB par a et AC par b, cette proportion deviendra

aibi: B—u: x—u.

dans laquelle tout est connu excepté æ, et qui par con séquent suffira pour sa détermination. Si au contraire x était connu , et qu'on demandät la position du point qui lui correspond, la même proportion servirait à résoudre la question, et l’inconnue serait alors b.

Un plan étant complétement déterminé lorsqu’on connaît la position de trois de ces points, nous allons chercher comment nous pourrons déterminer les cotes d’un point quelconque d’un plan, lorsque nous connaissons la projection horizontale et les cotes de trois de ses points.

Soient À, Bet C (PL. XXXIII, fig. 3) les projections de trois points d’un plan, et «, Bet y les cotes de ces trois points. On demande la cote x d’un point quelconque D situé dans ce plan. Nous supposerons a fB< 7.

Joignonslestrois points À, BetC par des droites, et sur AC déterminons le point E qui a la même cote que le point B. La droite BEsera horizontale, et toutes les horizontales qu’on pourra mener dans le plan donné lui seront parallèles, puisque ce sont les intersections d’une suite de plans parallèles par un même plan. Menons par le point D une horizontale qui rencontre la droite AB en F, Ce point se trouvant sur la droite AB, on aura la proportion

AB : AF :: B-—u : x—a

et par conséquent, on pourra déterminer æ.Si du point À nous abaissons la droite AH perpendiculaire sur l’horizontale BE, nous aurons encore la proportion

AG: AI :: AB: AF ou

AG : AT :: B—a : x—u

qui nous servira également à déterminer x.

Si maintenant nous déterminons le point L de manière que la différence entre la cote du point A, et celle du point L soit de 1,00, en portant de L en M, la distance AL, le point M aura une cote différant de 2"00 de celle du point A, puisque dans la proportion ci-dessus le deuxième antécédent étant le double du premier, la même relation devra exister entre les conséquens. On pourra donc avoir ainsi la position de tous les points du plan dont les cotes différent de celle du point A d’un nombre exact de mètres. En divisant la longueur AL en dix parties égales, on aura des points successifs dont les cotes ne différeront que de 0",10. Pour alors obtenir les cotes d’un point quelconque O du plan, il suffira d’abaisser de ce point une perpendiculaire sur la droite AH et de lire sur la graduation. Cette droite qui sert ainsi à déterminer les cotes de tous les points d’un plan, s'appelle

l'échelle de pente de ce plan, Toute droite menée par le

point A pourrait servir d'échelle de pente, mois il est beaucoup plus simple de lastreindre à être perpendiculaire à la direction des horizontales du plan.

Si le plan était vertical, il serait déterminé par sa trace et par les cotes de deux points de cette trace. S'il était horizontal, une seule cote suffirait pour le déterminer.

Lorsqu'une ligne courbe sera plane, elle sera complétement déterminée par sa projection horizontale, et par les cotes de trois de ses points ; car dans l’espace elle sera l'intersection du cylindre vertical qui la projette, par le plan qui la contient, et qui est complétement connue par les cotes de trois de ses points.

Si on imagine qu'une surface courbe soit coupée par une suite de plans horizontaux équi-distans, et qu'on projette sur un même plan horizontal toutes les courbes d’intersection, cescourbes qui prennent le uom de courbes horizontales ou de niveau, suffiront avec leurs cotes pour déterminer complétement la surface. Supposons en effet qu'on veuille déterminer la cote d’un point situé entre deux courbes horizontales. Si par le point on fait passer un plan vertical normal à l’une des courbes qui l'avoisinent, il coupera la surface suivant une courbe, qui se projettera sur la trace horizontale du plan, trace qui sera perpendiculaire à la projection de la courbe à laquelle ce plan est normal dans l’espace. Si les courbes entre lesquelles le point de la surface est placé, sont trèsrapprochées , on pourra concevoir que la courbe de section du plan normal se confond avec une droite passant par le point, et terminé aux deux courbes, et dont par conséquent les cotes des extrémités sont connues. Rien ne sera plus facile alors que d'obtenir la cote du point demandé. On conçoit alors que la surface donnée est remplacée par des portions de surfaces gauches engendrées par le mouvement d’une droite qui s'appuie sur deux courbes consécutives, en étant astreinte à la condition d’être constamment normale à l’une d'elles.

Ces préliminaires bien conçus, voyons comment nous pourrons résoudre les différentes questions traitées par la géométrie descriptive.

I. Une droite étant donnée par sa projection et les cotes de deux de ses points , trouver la tangente de l'angle quelle fait avec l'horizon.

Si par l’un des points connus de la droite, on mène une horizontale , et Que par l’autre on abaisse sur cette ligne, une perpendiculaire ; où formera un triangle rectangle, dont l’un des côtés de l'angle droit sera la longueur de la projection de la droite, et dont l'autre, opposé à l'angle dont on demande la tangente, sera égal à la différence entre les cotes des deux points. Par conséquent , la tangente de l’angle formé par une droite avec le plan horizontal est égale à la différence entre les

cotes des deux points connus de cette droite, divisée par la distance qui les sépare.

Si on demandait de faire passer par un point donné une droite, faisant avec l’horizon un angle donné, le problème serait indéterminé, puisque toutes les génératrices d’un cône ayant pour sommet le poirit connu, et faisant avec l’horizon l'angle donné, conviendraient également, Cependant cette question étant d’un usage fréqueut, nous allons chercher comment on pourrait détermiuer la cote d’un point d’une telle droite. Imaginons sur le point une verticale d’un nombre exact de mètres et une horizontale ayant une longueur telle que le rapport entre ces deux longueurs soit égal à la tangente de l'angle donné, En joignant les extrémités de ces deux droites, nous aurons une des positions de la droite dans l’espace, et dans son mouvement, elle décrira dans l’espace une circonférence qui sera projetée par une circonférence ayant pour rayon la longueur de l'horizontale, et dont tous les points seront propres à donner la cote demandée.

I. Déterminer le point d'intersection de deutc droites qui se coupent.

Les projections horizontales de ces deux droites devant nécessairement se couper en un point qui est la projection du point d’intersection dans l'espace, on déterminera la cote de ce point à l'aide Ges notions précédentes. Si les deux droites étaient dans un même plan vertical, leurs projections horizontales se confondraient et ce moyen ne serait plus praticable. Soient donc À et B (PL. XXXIIT, fig. 4 ) les deux poiuts de la première droite dont les cotes x et 8 sont connues , et C et D les points de la seconde dont les cotes sont 7 et 2. Si par les points A et B, nous menons des verticales jusqu’à leur rencontre en E et F, avec la droite CD, nous pourrons déterminer les cotes # et n de ces points, et à cause des triangles semblables B'OF et OA'E nous aurous la proportion

EO:O0E:;:AE:BTE mais On à aussi EO : OE :: EH : HG, EG étant une droite horizontale; donc HS HC SUEDE d’où ŒH+LHG) ou EG=AB : EH :: A'E+B'F:A'E

et si on désigne par æ la distance EH=AT et par a Ja

longueur AB, on aura

as mii(s—a)+(8—n): sx

EC proportion qui suffit pour déterminer x. Le point I étart connu , on obtiendra facilement sa cote.