Or , en vertu de l’expression générale, on a
mi (ni Le an—1l? etc...
(a+ b}r=anLiman—:h + (a+ b}r—i= ani (ms )an +
(ra 1) (rh=—5)
(a+ bn and (mo )ansb#+ +
am—he + €tGr.e
vr—9) (7 3) a an—ipr etc. = 1:29 :
elc-s: elC...ss
Substituant ces valeurs dans l'expression (»), et ordonnant par rapport aux puissances de a, on aura pour le développement de la puissance 72 du trinome a4+b+c, l'expression générale (7)
(a+b+cyr=antman—l + a m—2h?+ etc.
H—1c (1 A manie Ln(m—i)an—bebetc..
ml fn — il = =) am—?c3+ etc...
etc.
Pour donner un exemple de l'application de cette for:
mule, faisons »m—3, alors nous aurons
mm). . m(m—i)(m—5) AP =23, in(m—1)=6, PATES ES OS:
EL
et par suite (a+b+c)—a5+3ab+3abt + b?
+3ac+Gabc4-3b°e +3ac+3bc?
10. On pourrait, eu suivant la même marche, trouver le développement de la puissance d’un tétranome et généralement celui d’un polynome quelconque; mais cette marche entrainerait de longs calculs et aurait en outre l'inconvénient de ne pas conduire à des expressions dont les termes puissent se déduire les uns des autres, ce que l'on voit déjà pour le trinome. Nous allons en conséquence aborder la question dans toute sa généralité, et exposer la loi générale du développement de la puissance quelconque 7 d'un polynome quelconque.
Théoréme. La puissance 7? d’un polynome a+b+c +d+eæ+etc..…., est égale à la somme des produits représentés par toutes les combinaisons 72 à #2 des lettres a, b,e,d, etc, avec permutations.
Ce théorême est une conséquence de ce qui a été démontré pour la formation des puissances d’un binome. Voy. Binour.
Or, ces combinaisons sont évidemment
an, an—1b, an—al?, am—b5, etc.
bn, bm—1e, bn—2e? etc:
am—2be, am—3bc) an—ibc?, etc.
an—bcde, a—b?cde, etc.
ou plus généralement am. br CRdo.e, fe.
art, b1,0: dre. fe.
ereelC:
CEE etc.
