abri, cr. de, es, ft æ. bm—?, c'. d. e° fe
..etc.
am—2,b1.cx,.d°.e° an-3 ,b.c.dr. . LC,
etc. @&. Dm +» CLC.
" . CLCe se ÉC:
@.bn—3,c,d1.e ER MERENEN 2 etc. etc.
Désignant donc par », 0, p, q,r, s, etc. une suite de nombres tels qu’on ait
m=n+4o+p+g+r+s+ete.
la forme générale de ces combinaisons sera
an.bo,cr,d1.er.ff...etc.
EL 519 etcomme le nombre des permutations d’un pareil groupe est
n(n—1)..1X0(0—1)..1 Xp(p—1..1 Xg)qg—1).1 AE :
on aura pour le terme général de la puissance 2 d'un
polynome quelconque l'expression,
mn(m—i)(m—92)(m—3)....1
n(n—1) .1X0(o—1).1 XpP(p—1)..1 Xetc.
.a,bo.c,.dietc.
au moyen de ce terme général, en donnant successivemeut aux quantités 2, 0, p, q, etc. les valeurs dont elles sont susceptibles, on formera tous les termes qui composent cette puissance.
11. Pour indiquer au moins par un exemple l’application de cette formule, supposons qu’il s'agisse d’élever le trinome a+b+c à la quatrième puissance. Dans ce cas les quantités indéterminées », 0, p, q, etc. se ré-
duisent à trois et le terme général devient
n(n—1)...1 X0(0—1)...1 XRP=H...1
.an.bo,cr
dans lequel #=n+0+4p On détermine 7, 0, p pour chaque cas particulier de la manière suivante
j DOI :
—a,b°.e7—3ac?
359241 Las, bre =Gabe LÉ MO I 323.1 .c°= 3ab? a°.b°.c=c
ai. b?
d’où l’on conclura
(a+b+c) za +3 b+3ab Hb +3ec+Gabc+3be Sac +3be
+ci
résultat identique avec celui du numéro 9.
12. Onobtiendra l'expression générale de la puissance m d’une série indéfinie
Ac A;x+,Ax+Asx +Aiæietc....à l'infini,
en se servant des formules générales de développement données à l’article différentiel et notamment de celle qui porte le nom de Maclaurin. Lorsque le premier terme de la série est l'unité, sa puissance a une expression très-simple que nous allons faire connaître. Soit
(1+ax+bx Lox+Hetc.)r = 14Ax+Bx+Cri+etc.
les coefficiens A, B, C, etc., seront
À — ma B — a+ mb GC DL — 3 bAnc
—3 2m— Dee -h0 25h MEL md pe Le, aD+ ic + 23
4m + Fe —dA+me
etc. etc.
Appliquons ces formules à la série
at + tait taf bpetc.
et proposons-nous de l’élever à la quatrième puissance. Nous avons m4, a—1, b=1, c=1, etc. Les coeffciens A, B, C, etc. deviendront
A —4 = TT jpinro C— = “2 4400 D at ro 35 etc. etc.
et nous aurons
(i+ax+a etc. à l'infini)f=1# 4x ox +202 +35x4
Hetc....à l'infini.
En remarquant que la série proposée n’est autre chose
que le développement de la puissance —1 du binome (1—x), car ou trouve par le binome de Newton
ia ta tauitbrs etc,
EL
On voit que la quatrième puissance de cette série est aussi la quatrième puissance de (1—x)-1, Mais
[ea] =0-
, par la formule de Newton,
etc. etc,
=1+/4x+iox+oox +35xibetc.
ce qui est identique avec ce que nous venons de trouver ci-dessus et montre l'accord parfait de toutes les lois de la science. .
ELGEBAR (Astr.) Nom de la belle étoile située au pied d’Orion , plus communément appelée Rigel.
ÉLIMINATION (Astr.). Opération dont le but est de faire disparaître toutes les inconnues, moins une, qui se trouvent dans une équation. Pour que cette opération soit possible, il faut avoir autant d'équations indépendantes que d’inconnues. Foy. ÉQUATION.
1. Soit d’abord les deux équations du premier degré à deux inconnues
Ax+By=—C A'x+B'y=C'
Le premier procédé qui se.présente naturellement c’est de résoudre chacune deces équations par rapport à +, comme si y était une quantité connue; la première
donne — C-Br et la seconde CB = ru
Or, ces deux valeurs de x devant être identiques, on en conclut
C—By C'—B'y
D nu.
équation qui ne contient plus quey , et que l’on nomme l'équation finale.
En résolvant l'équation finale on obtient la valeur de yetil suffit ensuite de substituer cette valeur dans l'une ou l’autre des deux équations proposées pour obtenir une équation qui ue contient plus d’autre inconnue que æ et qui puisse servir conséquemment à la détermination complète de cette inconnue.
2. Si les coefficiens de l’une des inconnues ttaient les mêmes dans les deux équations, il est évident qu’il suf-
EL
firait de retrancher l’une de ces équations de l’autre pour obtenir immédiatement l'équation finale. Par exemple, étant données les deux équations
Ax+By=C Ax+Dy=E
en retranchant la première de la seconde, on aurait
Ax+By—Ax—Dy=C—E ou (B—D}y=C—E
équation débarrassée de x. Or, on peut toujours rendre égaux les coefficiens de la même inconnue , car, en prenaut pour exemple les deux premières équations
A x+By=C A'x+B'y—C'
si l’on multiplie tous les termes de la première par A' et tous ceux de la seconde par À , À et A’ étant les coefficiens de l’inconnue qu’on veut faire disparaitre , ces équations deviendront
A'Ax+A'By—A'C AA'x+AB'y—AC".
c'est-à-dire que les cocfficiens de x seront les mêmes
puisqu’ilssont composés du produit des mêmes facteurs.
Opérant la soustraction, nous obtiendrons
(A'B—AB')y=A'C—AC", équation finale en y , qui donne
