AB CG

B placé ainsi au-dessus de A désignant le nombre des facteurs A. ( Foy. Norioxs PRÉLIM. 8.)

Cette génération d’un nombre C, au moyen de deux autres nombres À et B, est évidemment différente de celles qui résultent des deux premiers modes généraux de construction des nombres : AHB—=C,AXB—C; elle constitue donc un mode nouveau dont l'examen va nous faire connaître de nouvelles opérations et de nou-

velles espèces de nombres.

Sa branche inverse s'exprime par vC = À.

20. On nomme en général quantités exponentielles les quantités dont la forme est Am, Ba, etc. Comme les diverses transformations dont elles sont susceptibles forment une partie impostauie de Ja gamstruction des nom-

bres , nous allons donner la déduction de leurs propriétés principales.

Le produit de deux puissances Am, Br, dont les bases sont inégales, ne peut s'exprimer différemment de celui de deux nombres quelconques ; mais lorsque les bases sont égales, on a

Am X An — Am+n, puisque le nombre des facteurs A est alors 72 + n.

Par la même raison, Am An X AP X Ag X Ar Xetc. —Am+n+p+q+r+etc.

21. La puissance m2 d'un produit a. b. c. d. e. etc. peut s'exprimer indifféremment par (a.b.c.d.e.etc.)" et par am.bm,cm.dm.em, etc. C’est encore un résultat

immédiat de la construction des puissances.

: : . a , 22. La puissance 72 d’une fraction quelconque 5° ob-

tient en prenant les puissances du même degré de ses deux termes; c’est-à-dire qu’on a

NM: 47 b) br” En effet, on a cette suite d’identités :

a.a.a .. etc. am

a\mn a a a () mt AT Li Li) + x M7 à

; q 23. Le quotient de deux puissances quelconques R?

s'exprime par A9—*, C’est une conséquence directe de la propriété 20 ; car , de l'égalité AM An — Am+n

6 AM+NR :

on tire Am — re Faisons m+ n—g, on aura m— qg—n, et par conséquent Ag = en = Ag—n,

24. Il résulte plusieurs conséquences importantes de cette dernière expression.

1°. Si les exposans g et x sont égaux, on a A9: AI — . Ag :

A9—9— A0; mais TE donc A9 — 1. La puissance

zéro d’une quantité quelconque est donc égale à l'unité. o°, Si dans la même expression on fait g —0, elle

devient

Ainsi, une puissance dont l’exposant est négatif est égale à l'unité divisée par cette même puissance, en faisant l’exposant positif.

5. Le produit et le quotient de deux puissances à exposans négatifs suit donc les mêmes lois que dans le

cas des exposans positif; et l'on a

A—m A—m > 4 AR = A—m-n , AR —= A—ma#n ;

car Am = =:

ainsi, Am x An — xx X = je CD) Or, Re = AT

de même, = 5 ; DT = An—m (16).

26. On élève une quantité exponentielle à une puissance quelconque en multipliant son exposant par celui de cette puissance; c'est-à-dire que (Am)n — Ant,

L'expression (An désigne le produit Am X A" X Am Am X etc... n étant le nombre des facteurs At; mais ce produit se réduit à Am+mHmr ele, ou à Am, puisque »+m-m+ etc. = mn.

La puissance { d’un produit Am. Ba. Cp. D4. etc. s'exprimera donc indifféremment par (A7, Br. Cr. D. etc. } ou par Amt, Bnf. Ci. etc.

n 27. La racine n d'une quantité A% ou V/An est égale mn

à Al; car, soit » = ph, nous avons

n n, L, V/Am = VA = \/(Ar)n.

" n n Mais, en général, V/X2 —X; donc, V/Am = AP — m A% , puisque l'égalité m=pn nous donne p =.

Cette déduction suppose que »2 est divisible par n», ou que p est un nombre entier; seul cas dans lequel on peut prendre exactement Ja racine. Lorsque cela n’a pas lieu, on conserve néanmoins la notation

ñn ui

V/An — A", qui nous donne la signification d’une puissance à exposant fractionnaire.

28. Les quantités dont la forme générale est ve se nomment quantités radicales Jorsqu’on les considère dans toute leur généralité. Il se présente un cas remarquable dans cette construction des nombres, c’est celui où il n’existe aucun nombre entier A capable de don-

ner légalité.