AB—A'B

même valeur que ci-dessus,

3. On agirait d’une manière analogue pour un plus grand nombre d’équations et d’inconnues, Par exemple, soient les trois équations

.. Ax +By +Cz =D .…. A'x+B'y+C'z=D' .….. A'x+B'y+C'z=D"

En éliminant x entre 1 et 2 par le procédé ci-dessus, c’est-à-dire en multipliant 1 par A", et 2 par À, et prenant la différence des produits, on formera l'équation.

4e. (A'B—AB')}y+(A'C—AC')z— = A'D—AD'

débarrassée de x. Éliminant ensuite de la même manière x entre 2 et 3, on formera une seconde équation sans 5.., (A"B—A'B")y+(A"C'—A'C"}:= = À'D'—A'D"

Éliminant enfin y entre 4 et 5, on trouvera pour l’équation finale en 3

[(A'C—AC')(A"B'—A'B")—(A"C'—A'C")(A'B—AB')] =(A'D—AD')(A'B'—A!B"}—(A"D'—A'D")(A'B—AB')

et, par conséquent, pour la valeur de x

(AD—AD") A"B'—A'B">—{(A"D'—A'D"(A'B— AB") F— (A G—ACYA"B—A'B")—(A"C—A'C') (A'B—AP)

substituant cette valeur de 3 dans 1 et 2, on obtiendra des équations en x et. y qui fourniront par l'élimination de x une équation finale en y, d’où l'on tirera la valeur de y; et, enfin, substituant dans 1,ou?, ou 3, arbitrairement, les valeurs trouvées de y et de z, on aura une équation finale en x, qui fera connaitre la valeur de

cette dernière inconnue. ”

En opéraut de la même manière, ïl est visible que quel que soit le nombre des équations et des inconnues, on arrivera à former l'équation finale peur chaque inconnue.

4. En examinant la forme symétrique des équations finales , on voit qu'il suffit de connaitre la forme générale de la valeur d'une des inconnues pour trouver celles des autres inconnues, mais la résolution des équations n’est point ici notre objet, ct cette question sera traitée en son lieu. Considérons maintenant les équations des degrés supérieurs.

A, B,C, D, etc. A’, B', C', D'etc. représentant des fonctions quelconques de la variable x, soient les deux

équations à deux inconnues d’un degré quelconque

o=A +By +Cy +Dyi +HEyi +etc….

o=A'+B'y+C'y4D'y#E'yl#etc.::.

preposons-nous d'obtenir l'équation finale entièrement débarrossée de y.

5. Si l’une des équations, la première par exemple, ne s'élève qu'au premier degré, le problème ne présente aucune difficulté, car de

o—A-+By

:. À on Urè Y=——

et substituant cette valeur dans la

seconde , à la place de y , on obtient une équation seulement en x.

6. Lorsqu'une des équations s'élève au seconil degré, l'autre étant d'un degré quelconque ; la question commence à se compliquer, Donnons à l'équation ds second degré la forme particulière

y°—=a+by

ce qui n’en diminue pas la généralité, et il nous deviendra alors toujours possible de donner à toute autre puissance de y la forme d’un binome telle que P+Q y. En effet, de

Pay on tire, en multipliant les deux membres par y, J'=ar+br et, remettant à la place de y? sa valeur a+by, on a P=ab+(bb+a)y Multipliant cette dernière égalité par y, on trouve 7'=aby (bb a}

et, remettant à la place de y? sa valeur a+by, on a

encore = (ab +) Baby

Continuant de la même manière, on voit qu’il est toujours possible de donner à là puissance générale y"#, la forme d’un binome P+Qÿ, dont les coefficiens seront des fonctions ratiounelles et entières de & et de &.

7. En examinant la formation successive des puissances y, y#,7°, etc., et leur mode uniforme de génération, on trouvera la 101 suivante :

La seconde puissance y étant égale à a4by, toute autre puissance m de la méme variable, pourra étre représentée sous la forme d'in binome P LH Qy, les quantutés P et Q étant

P = abm—: +

abm—4+ Le afbm—6 +

(m—5){in—6)(n—;) Lrded

afbm—8 + etc.

Q— bei — abn—$ + PURE a bm- + (m—4)(m—5) (m—6) 1.2.3

+ a'bm—1Letc….

8. Ayant formé d’après cette loi toutes ies expressions binomiales des puissances de y, si on les substitue dans la seconde équation proposée

O—A+By+Cy+DY+E yi+etc… on pourra lui donner aussi la forme d’un binome o—M+Ny

et éliminant y entre cette troisième équation, et la pre-

mière y*=a+by, on obtiendra une équation finale M'—aN—bMN

entièrement débarrassée de y.

Cet ingénieux procédé d'élimination est dû à Kramp. Quoique l’une des deux équations ne doive pas surpasser le second degré , il suffit aux besoinsde la science. On peut l'appliquer au cas de trois équations et dé trois inconnues.

9. Comme on emploie ordinairement dans les traités d’algèbre consacrés à l'instruction publique, la méthode du plus grand commun-diviseur pour former l’équation finale, nous ne croyons pas nécessaire de l’exposer ici ; elle demande d’ailleurs des détails dans lesquels il nou serait impossible d’entrer.

L'élimination a été l’objet des travaux des plus grand mathématiciens. Cramer, dans son Analyse des lignes

courbes, Bezout, dans sa Théorie générale des équations ;

Vandermonde et La Place, dans les Ménoires de l'Acas demie pour 1772, ont traité avec plus ou moins de généralité cette partie importante de la théorie des équations qui est en outre redevable à Euler d’un procédé simple et élégant. |

ELLIPSE (Géom.). Une des séctions coniques. Elle est engendrée par un plan qui coupe obliquement un cône droit de manière à ne pouvoir rencontrer la base du cône qué prolongée hors de ce solide. Telle est la courbe EQDFLE (Pr. XXI, fig. 8), formée par l’intersection du cône BCA et du plan mené selon la droite FD qui rencontre en F, hors du cône, le plan de la base AB.

Pour déterminer les propriétés de cette courbe, nous la considérerons dans le plan générateur; et nous chercherons son équatior en prenant pour axe des abscisses la droite AB, section du plan qui coupe le cône par un autre plan MCN mené par l’axe du cône, et conséquemment perpendiculaire à sa base. On nomme ce dernier plan principal. Nous snpposerons dans ce qui va suivre que le plan coupant est perpendiculaire au plan principal.

Par un point O quelconque de l’axe AB concevons un plan parallèle à celui de la base du cône, sa section avec le cône sera un cercle EHFG {voy. Cône, n° 1). La section dé ce nouveau plan par le plan principal sera le diamètre EF et sa section par le plan coupant la droite GH, perpendiculaire à EF, Menons par les points A et B, dans le plan principal, les droites AK et BI parallèles au diamètre FE,

En prenant le point À pour sommet de l’axe des abscisses, désignons AO par x et l’ordonnée OH par y; faisons de plus

AB—2a, Anñ—d, BI=c

ceci posé, si nous considérons OH dans le cercle FHEGF nous aurons par a propriété du cercle (voy. Gercue,

EL 523 n° 18)

OH°=FOXOE, ou y°=FOXOE mais les triangles semblables BAI et OAE donnent

AB : AO::BI:O0E ou

de même les triangles semblables ABK et OBF don-

nent

AB: OB:: AK :FO ou

2a: (2a—x) :: d: FO

Tirant de ces proportions les valeurs de OE et de FO, savoir : ;

er d(2a—x) OE— 0 FO NE TE

et les substituant dans celle de OH ou de y, nous aurons pour l’équation de l’ellipse rapportée à l'axe AB, l’expression

cd P? mn (2ax—x*) Il suit de cette équation plusieurs particularités Temarquables que nous allons d’abord examiner.

1. En prenant la racine carrée des deux membres de cette égalité, on a I a J=ÈE—V cdf2axz—x)

ce qui nous apprend d’abord qu’à chaque valeur de x correspondent deux valeurs dey égales et de s gne contraire; d’où ilsuit que l'axe AB partage l’ellipse en deux parties égales.

La grandeur de y dépendant de celle du facteur variable 2ax—x?, examinons ce quiarrive à ce facteur lorsqu'on fait croître x, en partant de x=o, Ce facteur étant la même chose que

on voit qu'il s'évanouit en faisant x—2a et qu'au-dessus de cette valeur de x il devient négatif, ce qui rend le radical imaginaire et indique par conséquent que la courbe se termine au point x = 24,7—0, comme elle commence au point æ=0, y—0. Ainsi en partant de æ=—=0, les valeurs de:y commencent à croître et après avoir atteint une certaine limite elles commencent à décroître pour revenir à 6 lorsque æ=5%a: La grandeur maximum de + correspond donc au cas où la valeur de æ est telle que le facteur (24—x)x est lui-même le

Che

plus grand possible, ce qui arrive évidemment quand on faitæ=a, car il devient alors @ ; tandis qu’en donant à x une valeur quelconque plus grande ou plus peüte que a, a Em, par exemple, il devient

[racastene) jam = —m ,

quantité plus petite que a’. Ainsi l’ordonnée qui passe par le milieu de l’axe est la plus grande de toutes. Sa

valeur est Ï ERLRNS ES. = J = + Sa Vedea—#)=+11/cd

2. On voit aisément, d’après ce qui précède, que la droite menée perpendiculairement à l'axe AB par son milieu, partage aussi l'ellipse en deux parties égales. Cette propriété lui a fait donner le nom de petit axe , tandis qu’on a donné celui de grand axe à l'axe AB. Or, si nous désignons par 22 la grandeur de ce petit axe, nous aurons

b—1V/cd; ou b =

Substituant cette valeur dans l'équation de l’ellipse, nous la dégagerons des quantités auxiliaires c et d'etelle deviendra (1)

2 — ,(9cx—7 Ni — = EeX L')

; , b? : 95 b étant plus petit que a; est une fraction : ainsi y?

est plus petit que le produit (24a—x)x ; c’est-à-dire que dans l’ellipse le carré de l’ordonnée est toujours plus petit que le rectangle formé entre les deux parties correspondantes du grand axe. C’est cette propriété qui a fait donner le nom d’ellipse à cette courbe, d’raategue, défaut, parce que dans le cercle le carré de l’ordonnée est précisément égal au rectangle formé entre les deux parties du diamètre.

3. Si au lieu de prendre l’une des extrémités du grand axe pour origine des abscisses, on prend le point ‘de rencontre des deux axes, point quel’on nomme aussi le centre de la courbe, la relation entre ces nouvelles abscisses , désignées par x’, et les précédentes sera évidemment x'=x—4a, d'où x=—x'+a en substituant cette valeur dans l’équation(r) elle deviendra

EL Telle est l'équation de l’ellipse rapportée à ses deux axes.

4. En comparant les équations (1) et (2) avec les équations du cercle.

+. Y=2rX—2°

Jo...

Dssocse VI —2?

dont la première est rapportée à l'extrémité du diamètre et la seconde au centre (Woy. AppzicarTion , n° 34), on voit qu’il existe une grande analogie entre l’ellipse et le cercle ou que le cercle n’est qu’une ellipse dont les deux axes sont égaux, puisque , lorsque b=—a, les deux équations (1) et (2) se réduisent à 1 et 2.

Cette circonstance qui fait du cercle un cas particulier de l'ellipse doit nous faire rechercher si les propriétés connues du cercle existent pour l’ellipse, ou du moins commentelles sont modifiées en passant de l’une à l’autre figure.

Or, dans un cercle toutes les cordes qui passent par le centre sont partagées au centre en deux parties égales et de plus sont toutes égales entre elles, voyons d'abord ce qui a lieu dans l’ellipse pour les droites qui passent par le centre etse terminent de part et d’autre au péri-

mètre. Soit donc MN une telle droite, en prenant O pour origine des coordonnées, son équation sera (voyez Appuicarion IT, n°0)

Y—=IMET

m étant la tangente trigonométrique de l'angle NOB. Les points M et N appartenant à l’ellipse, on aura aussi pour les coordonnées de ces points la relation

CT Nr (a?—x*) et, par conséquent , b mL (ax) d’où

Van + b2

EL cette valeur substituée dans y=mx, donne Sn abm “4 ee — Va m+b

les valeurs positives de x et de y seront les coordonnées On et ñ»=N du point N, et les valeurs négatives, celles du point M, savoir Om et mM ; et comme ces valeurs sont égales, indépendamment du signe, on a

Om—On et mM=—nN.

Ainsi les triangles rectangles MmO et NO sont égaux et l’on a MO—ON. Donc toute droite menée par lecentre se trouve partagée.à ce point en deux parties égales : ce qui est exactement la propriété du cercle,

Le triangle ON, nous donne

ON = On + Nr ou