ON

substituant à la place de y? sa valeur prise dans l’équation de l’ellipse , cette dernière égalité deviént

x b ON = x? + (a—2°)

ce qu'on peut mettre sous la forme

Il résulte de cette égalité que la valeur de ON et conséquemment celle de MN est variable et dépend de la grandeur de x. On aura donc la valeur de la plus petite ligne qui passe par le centre en faisant x=o et la valeur de la plus grande en faisant x—a, puisque telles sont les deux limites de l’abscisse. Or, lorsque x — 0, on trouve

ON — ba et lorsque x—a ON — c’est-à-dire que le petit axe est la plus courte de toutes les droites qui passent par le centre de l’ellipse et que le grand axe est la plus longue.

On nomme diamètre toute droite qui, passant au centre

d’une ellipse, se termine de part et d’autre à son périmètre.

5, Si de l'extrémité du petit axe CD avec un rayon égal à la moitié du grand axe on décrit deux arcs de cercle qui coupent le grand axe en deux points fetF, ces points, ainsi déterminés, présenteront une des pro-

riétés les plus remarquables de lellipse: c'est que la [ (

somme de leurs distances à un point quelconque de la

courbe est une quantité constante, égale au grand axe. En effet, soit un point quelconque » dont l'abscisse æ=On et l’ordonnée y—mn, ses distances à F et f seront les droites »F et mf dont les valeurs, comme hypothénuses des triangles rectangles fin et mnF, sont (a)

mE =Fr + mn mf = fn » + Fri mais fr =$0+On=fo+r,

et Fn=OF—On—OF—x ;

de plus, par construction, fO —OF , et l’on a dans le triangle rectangle fCO

0° =ÿC" __TO" ou

JO = & —b Ainsi, en substituant, les égalités (a) deviennent à cause

—1 demn =,

LA) re (Ver 2) + (a—x)

2 pee db mf = (Va—b+hr) +7 (a—x°)

développant les carrés et réduisant, nous aurons

— + 2@xV/a—b+(a—bhes

fm = 2

(w+ever}

ce qui donne, en prenant la racine carrée,

En 4 — ai Ace «

L x va —b

Jn=a a a

donc Fra + fn = 24

ce qui est la propriété énoncée.

Les points f'et F se nommeut les foyers de l'ellipse, et la distanceOfon OF du centre à ces points se nomme

l'excentricité. Toutes les droites menées des fovers à la courbe prennent le nom de rayons vecteurs.

6. Quand on considère l’ellipse indé peadaniment ct: sa génération dans le cône, on la définit bar la propriété que nous venons de démontrer ; on dit alors que c'est une courbe dont la sontmeé dés distances de chacun de sespoints à deux points fixes, est égale à une ligne dounte, et en partant de cettè définition of-trouve son équation et l’on reconnait que la ligne donnée est le plus grawd des diamètres de la: courbe. Sans nous-arrêter à ces déductions , que ce qui précède rend inutiles , proposonsnous de décrire une ellipse dont les deux axe: sont

donnés.

LA ee 02 us RLILEETP PIECE

Avant mené sur le milieu du grand axe"AB use pérpendiculaire OC égale à la moitié du petit, on commencera par déterrhinér. les fovers E et-f'en: décrivant du point C comme centre , avec un ravon égal à AO ou OB, un àrc de cer cle TE. Les foyers étañ£ trouvés, de l’un d’eux F avec un rayon arbitraire Fra, on décriraun arc de cercle ; et de l'aitre foyer fs avec un rayon égal à AB— Fm, on décrira un autre arc de cercle , le point de rencontre 7z# de ces deux ares sera un des points de l'ellipse. On déterminera de la mème manière autant de

points que lon voudra, suffisamment rapprochés les uns - - 9; Le problème de mener .une tangente à J'ellipse

des autres pour qu’on puisse les Joindre par une ligne continue ArCB qui sera la moitié de l’ellipse demandée. En opérant dé la même manière de l’autrecôté de AB, on décrira l’autre moitié de la courbe,