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gation est en même temps la plus grande distance de la planète au soleil; celle de Vénus est de 47° 48", et celle de Mercure de 28° 20’, c'est-à-dire que la première de ces planètes ne s'éloigne jamais du soleil deplus de 48° et la seconde de plus de 28° 20". Quantaux autres planètes leur élongation peut aller à 180°, puisque la terre est située entre elles et le soleil. :

EMBOLISMIQUE (Calendrier). Mois embolismique ou intercalaire; moisajouté parles chronologistes pour former le cycle lunaire de 19 ans. Woy. Carknprmen, n° 8.

EMERSION (45t.). Réapparition d’un astre éclipsé. On se sert encore quelquefois de ce terme, lorsqu'un astre que le soleil empéchait d’apercevoir commence à devenir visible.

Dans les éclipses de lune, on nomme minute ou scrupule d'Emersion l'arc que le centre de la lune décrit depuisle moment où elle commence à sortir de l'ombre de la terre jusqu’à la fin de l’éclipse.

EMPEDOCLES. Célèbre philosophe et géomètre de l'antiquité. Son père se nommait Buton et son grandpère Empedocles. Ce dernier avait remporté aux jeux olympiques le prix de la course du char, en la 71° olympiade (environ l’an 496 avant J.-C.), et ce fut probablement en commémoration de cette illustration que son nom fut donné à son petit-fils, qui lui acquit par d’autres moyens une célébrité plus durable. Empédocles naquit à Agrigente, en Sicile, où sa famille occupait un rang distingué. On ignore sous quels maîtres il commença ses études , mais on ne peut douter qu’il appartint à la brillante école de Pythagore, dontil a été l’un des plus illustres représentans. Ses écrits ne nous sont parvenus que par fragmens. Le célèbreacadémicien Fréret a prétendu trouver dans quelques expressions de ce philosophe l’idée première du système newtonien de l’attraction. Empédocles, comme la plupart des anciens, attribuait l'harmonie du monde à une sympathie et une anüpathie, dont ils ne s’expliquaieut pas bien la nature. Il y a sans doute bien loin de ces vagues aperçus aux immortelles découvertes de Newton.

Aristote dans un de ses écrits ( De anima, lib. IT), nous apprend qu'Empédocles faisait consister la lumière dans un écoulement continu hors du corps lumineux. On objectait à cette opinion que si la lumière du soleil consistait dans une émission de corpuscules partant de cet astre, on nc le verrait jamais à sa vraie place, car il eu aurait changé dans l'intervalle de temps que le corpuscule de lumière mettrait pour arriver à nous. Empédocles, sansrecourir à l’instantanéité de cette émission de la lumière, ou à sa prodigieuse vélocité, répondait à cette objection d’unemanière assez ingénieuse, JI disait, en cffet, que cette argumentation serait vraie, si le soleil lui-même était eo mouyement; mais que la terre tour-

Bt) EN nant autour de son axe, venait au-devant du rayon, et voyait l’astre dans sa prolongation. L'ouvrage d'Empédo. les qui eut le plus de célébrité dans l'antiquité est un poëme intitulé Classica, c'est à-dire : De la allure et des principes des choses. H'admettait quatre élémens, le feu , l'eau, l'air et la terre, soumis à deux causes primitives et principales qu'il appelait l'amour et la haine ou la sympathie et Vantipathie, dont l'uue unit les élémeus et l’autre Jes divise. En donnant au feu le nom de Jupiter, à la terre le nom de Junon, à Pair celui de Pluton, à l'eau celui de Nestis, Empédocles est un dés premiers philosophes qui aieut allégorisé où du moins expliqué par des allégories, la grossière théogonie de ces temps reculés. C’est aussi dans cet ouvrage qu'Empédocles exposait Les principes de la métempsycose. Il disait que l'ame était d’origine divine, et d’une nature immatérielle, qu’elle avait été rc'éguée dans un corps en punition d’une faute antérieure, et qu’elle était condamnée à passer successivement dans plusieurs, jusqu’à .ce qu'elle fût entièrement purifiée, Où voit qu'il ue se- ‘rait pas difficile d'accorder cette philosophie avec les “dogmes les plus sublimes et les plus moraux du christianisme.

Empédocles qui exerça une grande influence dans la république oùilétaitué, et quiavait refusé la tyrannie, c'est-à-dire le pouvoir souverain, vivait encore lorsque la ville d'Agrigente fut prise et saccagée par les Carthaginois, l'an 403 avant J. C. A l’époque de ce désastre, il se retira dans le Péloponèse où il finit ses jours dans la solitude et l'obscurité. Timée, historien né en Sicile, d'après lequel Diogi ne Laërce rapporte ces circonstances relatives à Empédocles, s'élève avec force contre le bruit populaire d’après lequel ce philosophe se serait précipité dans l’un des cratères de l'Etna. Les fragmens desécrits d'Empedocles ont été imprimés de nôtre temps dans deux recueils. I. Æmpedoclis agr'gentint, de vit et philosophia ejus exposuit, carminurmn reliquias collegit, Fred., Guill., Sturg, Leipzig, 1305, in8°,

a vol. II. Empedoclis et Parmenidis fra;menta, ex codice bibliothecæ taurinensis restituta ab Amedeco, Pevrou.

ENGENDRER. On se sert de ce mot pour désigner en géométrie la génération d’une étendue à l’aide du mouvement d’une autre étendue. C’est ainsi qu’on dit, par exemple, qu’un cylindre droit est engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés.

ENGIN (Mec.). Nom générique que l’on donnait jadis à toutes les machines. Il est plus spécialement consacré aujourd’hui à désigner un appareil destiné à former un point de suspension pour élever les fardeaux.

ENGRENAGE (Méc.). Système à l’aide duquel on transmet le mouvement d’une roue à une autre.

Les roues pouvant engrener extérieurement ou inté-

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rieurement, il suit qu’il y a deux espèces d’engrenages; mais comme la première espèce est à peu près la seule employée, c'est aussi la seule que nous considérerons, Pour déterminer qu’elle est la meilleure forme à donner aux dents des roues qui engrènent les unes avec les autres ; il est d’abord nécessaire d'examiner le mouve:

ment de rotation de deux cercles qui se touchent. Roues dont les axes sont parallèles.

Supposons d’abord que les deux cercles sont dans un mème plan et qu'ils puissent prendre un mouvement de rotation autour de la droite, passant par leur centre perpendicülairement à leur plan. Si on suppose qu’à l’un des cercles on applique une force F dirigée suivant la tangente à l’un ou l’autre cercle, ils tourneront avec des vitesses égales, car , puisqu'ils roulent l'an sur l’autre, les arcs décrits dans le même temps par chacun des points de leur circonférence sont égaux et ces arcs sont la mesure des vitesses. Les momens de la force F, par rapport aux centres des deux cercles, sont proportionnels à leur rayon, car ils ont pour expression FXR et FXR'’.

Si nous considérons les cercles des rayons R et R', comme les bases de deux roues cylindriques, etleslignes qui terminent les dents comme les bases de deux cylindres, ces lignes devront se toucher dans toutes leurs positions, et la normale commune qui varie avec la posion des cercles devra passer par le point de coutact des deux cercles. Si nous nommons B et B'les perpendiculaires abaissées des centres fixes sur la normale commune, et f la force qui est dirigée suivant la normale et dont le moment, par rapport au centre du cercle du rayon R, est égal au moment de la force F, nous

aurons JXB=FXR, d’où RE =

Le moment de cette force, par rapport au cercle dont le rayon est K', est f X B'; mais la normale passant par le point de contact des deux cercles, on à la propor-

tion HR RE p-D;

donc

Par conséquent les momens, par rapport aux centres des cercles, n’ont pas changé , donc les deux cercles se meuvent comme s'ils étaient conduits par une force unique F, dirigée suivant la tangente à l’un des deux cercles.

Tuaginons un cercle d’un rayon AB (PL. XXXIT,

EN

fig. 3) tournant autour de la ligne des pôles projetée en À, c’est-à-dire de la droite passant par son centre perpendiculairement à son plan, et cherchons comment il pourra transmettre son mouvement de rotation à un autre cercle d’un rayon CB, qui lui est tangent en B et qui est situé dans le même plan. Si nous décrivons un cercle sur CB comme diamètre, et que nous le fassions tourner sur la circonférence dont le rayon est AB, le point B décrira une épicycloïde plane; s’il tournait sur la circonférence dont le rayon est CB il engendrerait une droite CB (Foy. Éricxcuoïnr). Si on suppose que l’épicycloïde BP soit fixée au cercle AB et que la droite BC le soit aussi au cercle BC, cette épicycloïde conduira cette droite de manière que les vitesses de rotation seront égales et les momens constans.

Supposons en effet que l'épicycloïde soit arrivée dans la position B'd'P', elle coupera alors le cercle du diamètre CB en un point d' tel qu'on aura

arc Bd’ — arc BB';

car si on suppose que la position primitive du cercle soit telle qu’il touche en B'le cercle AB sur lequel il roule , on aura le point d' de la courbe parcourue eu faisant l’arc BB'— arc Bd!.

La position correspondante du rayon CB passera aussi parle point d', puisque d’après la définition des épicycloïdes les arcs BB'; Bb', Bd', sont de même longueur. Mais Ja droite C£' est tangente à l'épicycloïde B'dP', donc la pression de cette épicycloïde contre le rayon Cb’ aura lieu suivant la normale dB qui passe par le point de contact B des deux cercles AB et BC: donc la force qui fait tourner l’un ou l’autre cercle, et le moment de cette force, sont constans.

Soient maintenant AB et OB les rayons de deux cercles situés dans le même plan et tangeus l'un à l’autre au point B. Imaginons un troisième cercle décrit d’un rayon quelconque O'B et tangentaux deux premiers du même point À. S'ilse meut successivement sur les deux cercles AB et OB, un de ses points engendrera deux épicycloïdes BP et BQ. La première de ces épicycloïdes étant fixée sur le cercle AB et l’autre sur le cercle OB, dans leur rotation ;avec les cercles elles auront des vitesses égales: ec. les momens seront proportionnels aux rayous AB ct OB, Supposons en effet les épicycloïdes daus les positions B’P" et B’Q". Par construction elles aurout de commun le point d” situé sur la circonférence dont le rayon est O'B, par conséquent une tangente commune Cd"; et leur pression l’une, contre l’autre s'exercera suivant la normale Bd” qui passe nécessairement par le point B. Il suivra.de là que le momerit d'une force appliquée à l’un des cercles étant constant , le moment d’une force appliquée à l’autre cercle le sera aussi. |

EN

Nous allons nous occuper de déterminer la forme de: dents de deux roues cylindriques de même épaisseur,

comprises entre deux plans parallèles et tournant autour de deux axes parallèles passant par leur centre, de manière à ce qu’elles se meuvent comme deux cercles situés dans ie même plan et constamment tangens l’uu à l’autre.

Soient À et B (PL. XXXII, fig. 2) les projections des deux axes parallèles autour desquels ces roues doivent tourner. Sur la droite qui joint ces deux points, prenons un point C qui ait sur l’une et l’autre roue la même vitesse de rotation, et des rayons AC ct BC, que nous nommerons rayons primitifs, traçons deux cercles qui seront tangens en C. Les circonférences de ces cercles sont dans le rapport de leurs rayons, qui est déterminé par le nombre des dents des roues: de sorte qu’il est toujours exprimé en nombres entiers.

Les épaisseurs des dents, qui sont égales sur l’une et l'autre roue, se mesurent sur les circonférences des rayons primitifs ; l'intervalle qui les sépare et qui s’appelie creux, est aussi le même pour les deux roues etse mesuresur les mêmes circonférences. {l est un peu plus grand que l’épaisseur des dents: On a soin de prendre les deux arcs déterminant l'épaisseur d’une dent et la largeur du creux dans + rapport tel que leur somme soit contenue un nombre exact de fois dans les deux circonférences. Supposons que FI soit l'épaisseur des dents de Ja première roue, dont le ravon est CB, et FH la longueur du creux, ct VOYONS comment nous déterminerons les courbes qui doivent servir de base aux sure faces cylindriques terminant les dents, Sur la droite AC, comme diamètre , nous déctirons un cercle dont nous supposerons la cireoriférénce tournant sur la circonférence BC. Dans ce niouvement le point € décrira une épicycloïde CM. Si maintenant nous prenons l'are CN

et que nous menions le rayon BNM, le point M où il coupe l’épicyeloïde CM sera le dernier point de la courbe qui doit servit de base à la surface cylindrique du plein de la dent.

À cet arc CM, de la dent de la grande roue, correspond un flanc de la petite roue que nous allons déterminer. Du point B comme centre et du rayon BM décrivons un arc de cercle MPL, Get are coupe la circonférence du rayon AG au point L, et la circonférence du diamètre AC au point P. En traçant une circonférence du point À comme centre avéc le rayon AP, le point Q, où elle rencontre le rayon AC, déterminera la longueur CQ du flanc demandé. La portion d'épicycloïde CM, conduisant le flanc CQ de AC en AC, passe de la position CM à la position PP’, et alors elle

a pour tangente le rayon APC’. Au-delà de cette position la deut glisserait cncore sur le flanc qw'elle pousse-

rait au-delà de AC! jusqu'à ce que les deux extrémités de la dent et du flanc fussent réunies en L; maisalorsles conditions de mouvement ne seraient plus satisfaites. Aussi lorsque le flanc AC est arrivé en AC", il faut qu’une autre dent engrène avec un autre flanc et qu’elle communique à la roue du rayon primitif AC un mouvement uniforme de rotation. Aussitôt que cet engrenage aura lieu, le flanc CQ étant arrivé dans ia position APC', il cessera d’être passé par la dent et lorsque la dent sera parvenue en LL’ Ie flanc sera au-delà de AL.

On fera absolument les mêmes constructions pour déterminer les dents de la petite roue et les flancs de la grande. Il reste maintenant à tracer la forme du creux qui sépare deux denis, car au point où nous sommes arrivés, le mouvement ne pourrait avoir lieu puisque les arcs d’épicycloïdes qui terminent le contour des dents ne pourraient se loger dans l'espace pratiqué entre les dents. L’intervalle entre deux dents dela petite roue est terminé par la courbe que décrit l'extrémité M de la dent CM de la grande roue sur le plan du cercle du rayon primitif AC. Or, en faisant tourner les deux cercles des rayons AC et BG autour de leur centre, le point C décrit, d’un mouvement rapporté au rayon AC comme axe fixe, une épicycloïde: partant, le point M décrit une épicycloïde ralongée (voy. Éprcyccoïnx). Mais tous les points du cercle qui a pour rayon BNM décrivent la même ligne. Si donc on prend Ca=MN, les points M et a décriront la même épicycloïde ralongée. Soit ab l'épicycloïde ralongée décrite par ce point a. En décrivant du point À comme centre avec AM pour rayon un arc de cercle jusqu’à ce qu’il rencontre ba en 1, on construira la droite Aa’ faisant l’angle MAa'—mAa ; transportant la branche de courbe amb en a'Q ct en «' Md, Ma'Q sera la courbe décrite par le point M sur le plan du cercle primitif de la petite roue, en rapportant cette courbe à la droite Ad, considérée comme un axe fixe de coordonnées.

En supposant la dent CM de la grande roue transportée en PP’ où elle cesse de toucher le flanc de la petite roue, le creux Qa' aura pris la position PY ; l'extrémité de la dent CM et la naissance de la courbe de creux se confondront alors en un même point P. Les courbes PP' et PY ont encore en ce point la même normale CP, car le point P appartenant à l’épicycloïde ralongée, on a un triangle APB dans lequel PB — MB, d'ou il suit que la normale de cette épicycloïde passe par le point C. On doit conclure de là qu’au point Q la courbe de creux est tangente au rayon AQ.

Cet exemple suffisant pour bien faire comprendre comment on peut tracer les dents des roues tournant autour d’axes parallèles entre eux, nous ne considérerons pas le cas où l’une des roues devient une lanterne, ni

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celui des lames et pilons, renvoyant pour cela au traité des machines de Hachette.

Roues dont les axes se rencontrent.

Imaginons mainteuant que deux cercles en contact ne sont pas dans un même plan et qu'ils soient mobiles autour deleurs centres. Dans ce cas une force F passant par leur point de contact, est équivalente à une autre force f dans un rapport déterminé avec elle et dirigée suivant la tangente commune aux deux cercles. En effet la force F, qui passe par le point de contact des deux cercles, peut se décomposer, par rapport au plan de chacun des deux cercles, en trois forces , l’une suivant la perpendiculaire au plan , la seconde suivant un rayon du cerele situé dans ce plan , et la troisième fsuivant la tangente commune aux deux cercles. Les deux premières sont détruites par la résistance des axes fixes de rotation des deux cercles. Pour trouver le rapport entre f'et F, il suffit de remarquer qu’en décomposant, cette dernière en deux autres, l’une suivant la tangente commune aux deux cercles, etl’autre perpendiculaire à cette tangente, la première sera égale à f, et que par conséquent cette force fne dépend que de l'angle formé par la tangente commune aux deux cercles avec la direction de la force F. Par conséquent, la force f' est la même, soit qu’on décompose la force F par rapport au plan de l’un ou de l’autre cercle. Mais les momens de cette force f, par rapport aux centres des cercles, sont proportionnels aux rayons de ces cercles , donc quelle que soit la direction de la force F, par rapport au plan des deux cercles, pourvu qu’elle passe par le point de contact de ces cercles , elle est équivalente à une force f dont les momens, par rapport aux centres des cercles, sont proportionnels à leurs rayons: proposition qui est encore vraie, si la force F est dans le plan de l’un des cercles.

Si on nomme à l’angle de la force F avec la tangente commune aux deux cercles, le rapport entre F et f'sera déterminé par l'équation.

J=F cos «;

et les momens de la force f, par rapport aux centres des cercles des rayons R et R', seront RF cos «, R'F cos &. Ce rapport est donc celui de R à R', et il est indépendant de la grandeur et dela direction de F.

Désignons par C et C' les deux cercles qui se touchent sans être dans un même plan, et éonsidérons-les comme les bases de deux cônes droits C et C’ qui ont pour sommet commun le point d’intersection de leur ligne des pôles.

Dansie plan du cercle C' traçons un troisième cercle C” qui ait pour diamètre le rayon de ce cercle et qui lui soit tangent au point de contact qu’il a avec le cercle C. En faisant rouler le cône C' sur le cône C, un point

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quelconque du cercle C” décrira une épicycloïde sphérique dont l'origine sera sur le cercle C. Prenons cette épicycloïde pour base d’un troisième cône ayant même sommet que les deux premiers et qui soit fixe sur le cône C. Par la ligne des pôles du cercle C! menons un plan contenant le triangle formé par un rayon du cercle C', la ligne des pôles de ce cercle et une arête du cône C', etfixons ce triangle sur le cercle C’ qu’on veut faire tourner autour de la ligne des pôles comme axe.

Une force quelconque faisant tourner le cône droit GC sur son axe, fera tourner en même temps le cône à base épicycloïdale fixé sur le cercle C. Le dernier cône pressera le plan du triangle fixé sur le cercle C' et obligera ce cercle à tourner.

Mais le cône à base épicycloïdale est touché danstoutes ses positions par le plan du triangle suivant une arête ; etsi par cette arête on mène un plan normal au cône , ce plan passe par l’arête de contact des deux cônes droits Cet C', dont l’un est fixe et l’autre mobile (Foyez ÉpreYGLoÏDE spuÉrIQUE). Mais la force qui conduit le plan du triangle fixé au cercle C' est nécessairement perpendiculaire à ce dernier plan, donc elle est dirigée dans le plan normal au cône épicycloïdal ; par conséquent elle passé par l’arête de contact des deux cônes droits. La force appliquée tangentiellement au cercle C, se change alors en uue autre force passant par le point de contact des deux cercles GC etC', et dirigée darsle plan du cercle C. Mais les momens de cette force, par rapport aux centres des cercles C et C', sont préportionnels aux rayons de ces cercles , donc les deux cercles se meuvent comme si le mouvement de l’un d'eux se transmettait à l’autre par leur élément commun.

Siles deux cercles C et C' sont les bases de deux roues, la dent dela premièresera formée par un tronc du cône épicycioïdal, et elle conduira la seconde roue en touchant continuellement une portion du plan triangulaire qui est fixé au cercle C' et qui porte le nom de flanc.

Soient AB le rayon du cercle fixe (PL. XXXIT, fig. 3) et AHlaligne des pôles ; le cercle mobile a pour rayon Ba et pour ligne des pôles Hd. L’angle 4BG est celui du plan des deux cercles. Sur Bd comme diamètre on décrit le cercle C”,qui, rabattu, prend la position BP4. Un point de ce cercle décrit une épicycloïdesphérique dont le centre est en O', point d’intersection de la ligne AH et de la droite OO" perpendiculaire sur le milieu de Bd,

Lorsque les deux cônes GC et C', dont le sommet commun est en H, se tournent suivant l’arête BH, on suppose que le point générateur de lépicycloïde sphérique est projeté en EE’, sa vraie position étant en P. Alors le plan du flanc passe par les droites Pd et dIT: il est perpendiculaire au plan BPd et touche le cône épicyeloïdal suivant une arête dont les projections sont AE, HE' et

Pd, La position de cette arête, par rapport à la droite

EN 533 Hd, varie en même temps que la position du cône épicycloïdal.

Une force F appliquée tangentiellement au cercle Ge du rayon AB , et par conséquent au cercle C' du yo BO', se change en une autre force f qui est dirigée suivant BP; de sorte que plus le point P s'approche du point d, plus la force f'augmente, et par conséquent la pression de la dent contre le flanc. Le frottement croissant avec la pression, il est nécessaire, pour le rendre le plus faible possible , que la dent ne fasse tourner le flanc que d’un petit arc. La différence entre les deux droites dB et dP détermine la portion du flanc contre laquelle la dent a glissé pour faire tourner le cercle C' d’un arc égal à BP.

Si on suppose que le cône épicycloïdal a pour base une portion déterminée d’épicycloïde , telle que celle dont la projection est 4Ë, dans cette position le cône est touché par ie plan du flanc passant par l’axe de rotation Hd suivant l’arête qui se projette en HE’ et en Pd. Lorsque le pointa, crigine de l’épicycloïde, était en B , le cône épicycloïdal touchait alors le plan du flanc passant par l'axe de rotation H4, suivant la droite HB qui se projette en Bd; d'où il suit, que tandis que le cône épicycloïdal tourne autour de l’axe AH d’un arc Ba, le plan du flanc tourne autour d’un arc égal à celui qui mesure l’angle P4B. Si donc du point d comme centre, avec dP pour rayon, on décrit un arc qui coupe la droite dB au point p, la portion du flanc passant par l’axe Hd, sur laquelle glisse la portion de cône épicycloïdal, est comprise entre les deux droites Hp et HB. L'angle de ces deux droites comprend la portion utile du flanc, qui correspond à la portion du cône épicycloïdal dont les arêtes extrêmes se projettent en Aa et AE. Ainsi, connaissant l'arc décrit par un point quelconque du cône épicycloïdal autour du premier axe de rotation AH , on en conclut la grandeur de l'arc épicycloïdal qui lui sert de base, l'angle qui comprend le flanc; et l’arc décrit par un point quelconque de ce flanc autour du second axe de rotation Hd.

Lorsque le cône épicycloïdal tourne autour de l'axe de rotation AH, chacun des points de l’épicycloïde sphérique qui lui sert de base, décrit un cercle autour de cet axe. Ainsi, le point extrême EE’ décrit un cercle qui a pour rayon AE, qui se projette en FE'e. Si donc on décrit l’arc de cercle E£ du point À comme centre avec AE pour rayon, et si on prend et—nE, eHF sera l’angle de l'axe AH avec l’arête extrême qui se projette en AE. Dans toutes les positions du cône épicycloïdal cette arête fait avec l'arc de rotation un angle constant, puisque le cône tourne autour de cet axe. Connaissant cet angle , on peut en conclure la grandeur de l’arc que le cône épicycloïdal fait décrire à un point quelconque du flanc. En effet, soit FHe cet angle ramené dans le plan

des deux axes de rotation AH, H4 ; Te étant la longueur de l’arête extrême du cône épicycloïdal, la perpendis culaire eF, abaissée sur l'axe de rotation AH, est le rayon du cercle décrit par l'extrémité de cette arëte autour de cet axe; le plan de ce cercle coupe le plan du cercle gés nérateur de l’épicycloïde suivant PE’. Joignous donc P et d'par une droite, le flanc a d’abord pour trace Pd et ensuite Bd; il a donc tourné d’un augle égal a P4B. Nous allons déterminer la forme des deuts de deux roues d'angle en nous appuyant sur les considérations que uous venons d'établir.

Nous considérerons d’abord la roue qui a pour axe de rotation la droite AC (PL. XXXI, fig, 1). Elle est ter+ minée extérieurement et intérieurement par deux troncs de cônes droits qui ont pour axe commun la droite AC, et pour génératrices l'un la droite LI et l'autre la droite L'T'. Ces troncs de cône ont pour base inférieure deux cercles dont les rayons sont {Let Z'L', etles centres en 2 et L' sur l’axe de rotation. La distance entre ces deux cercles est égale à l'épaisseur des pièces de bois qui forment l’enrayure de la roue. Les dimensions des cônes droits qui terminent l'extérieur et l’intérieur de la roue déterminent la portion de cône épicycloïdal qui formele plein d’une demident. Soient donc DE la projection de l’épicycloïde sphérique qui sert de base au cône épicycloïdal dela dent,sur un plan perpendiculaire l'axe AC, et DME' laprojection sur le même plau de l’intersection du cône épicycloïdal et du cône droit qui a pour génératrice LI, Le cercle Mi, décrit du point O comme centre avec le rayon OM=HI, coupe la ligne DM au point M. Dai étant l'épaisseur d’une dent et la largeur d’uu creux, on divisera cet arcen deux parties Dn etnt, de telle sorte que rt soit plus grand que Dn d'environ >; on mènera ensuite la droite Oz' qui est la bissectrice de l’anglezOD, et qui déterminera Je milieu du plein de la dent. Sur le cercle du rayon OM on prendra l'arc M'x'=Me et, par cet arc Ma'M' et par le sommet du cône épicycloïdal on fera passer un cône droit qui terminera la dent, et en séparera les deux parties. Le tronc de cône droit qui forme l’intérieur de la roue estterminé au cercle qui a pour rayon Où = H'T', Sion mène les rayons OM et OM, ils intercepteront sur le cercle décrit du rayon Of’, l'arc mm" et la projection de la face conique qui sépare les deux parties d’une dent sera MM'm'm. Si maintenant on fait la courbe M'n égale à la courbe MD, et qu'on trace les courbes dr et pm' semblables aux courbes DM et M'r et semblablement placées par rapport à axe Ox!, on aura la projection du plein de la première roue. La seconde ayant pour axe de rotation A'C qui fait avec le premier l'angle ACA", on déterminera, de la même mamière, sur un plan perpendiculaire à son axe, la projection du plein d’une deses dents. Mais les dimensions de . selte dent déterminant la longueur du flanc de la pre-

mière roue, il est nécessaire, pour déterminer ce flanc, de connaître le cercle MM' décrit du rayon A'4' et qui termine les dents de la seconde roue.

Le cercle BaD décrit du rayon A'4—BA', contient les naissances de ces dents. Les deux cercles des rayons À'x, A'u' peuvent être considérés comme bases de deux cônes droits, ayant pour axe commun l’axe de rotation de la seconde roue, et pour sommet commun le point de rencontre des deux axes de rotation. Les extrémités et les naissances des dents de la première roue, sont sur les deux cercles décrits des rayons Ox' et Oz qu’on peut aussi considérer comme base de deux cônes droits, ayant pour axe commun l'axe derotation de la première roue, et pour sommet commun le point de rencontre des deux axes de rotation. Les arêtes de ces cônes contenues dans le plan qui passe par leur axe commun font entre elles un angle qui est pris pour mesure de la saillie de ladent; et c’est le rapport dessaillies des deux roues, qui détermine le cercle MM' qui limite les dents de la seconde roue. Dans le cas dont nous nous occupons, uous supposerons les saillies égales.

La droite qui joint le point D etle point de rencontre des deux axes de rotation se projette parallèlement à elle-même en BC, Si on ramène le point Menz, et qu’on élève la perpendiculaire ëL à la droite OD, la mesure de la saillie de la dent de la première roue sera mesurée par l’angle BCI, puisque les deux droites BC et IC sont dans un plan passant par l'axe de rotation, et qu’ellesappartiennentaux deux cônes droitsqui ont pour base les cercles Dz et MM'. Menons maintenaut CQP, faisant avec BC un angle PCB.= BC ,1cet augle sera la mesure de lasaillie des dents de la seconde roue. Cette roue.est terminée extérieurement etintérieurement par deux troncs de cônes droits dont la section par le plan des deux axes de rotation, est composée de deux parties égales à celle qui a pour contour PBré£gp Q. Cette figure en tournant autour de l'axe de rotation AC, engeudre la surface, qui termine la seconde roue avant qu'on.ait taillé les dents. Si du point P, on abaisse la perpendiculaire PP' sur A'B, A'P' sera le rayon du

.cercle terminant les dents de la seconde roue.

Le cône épicyclaïdal formant une dem -dent de la se-

.çonde roue a pour base l’épicycloïde sphérique qui a

pour projection MD. Supposous que æ et7 soient les points milieux des droites AB et OD. La droite x perpendicujaire à OD coupe l'axe de rotation AC en un point y, centre de la sphère sur laquelle est tracée l'6picycloïde MD , yB étant le rayon de cette sphère. Si donc du point y comme centre et avec ce rayon on décrit un arc de cercle, on aura toutes les données nécessaires pour résoudre la question proposée. En effet, décrivons le cercle yD du point y comme centre; du point G intersection de la droite CP et de l'arc By, abaissons

EN

la pérpendiculaire £9 sur l'axe de rotation AC, et projetons le point : où elle coupe la droite AB, sur le ctrcle décritdu rayon yD.Ramenons ce point d’intersection » sur la droite AB en 8; joignons 0C, et le point €, où cette droite coupe la droite BL, projeté en #, déterminera le rayon Oy du cercle qui termine le flanc de la dent de la première roue. Le point €’, où la droite CÈ coupe la droite L'L', projeté en £”, déterminera de même l’autre extrémité de ce flanc, qui ainsi est projeté en pp'n'n. Dans l’espace, ce flanc a la forme d’un trapèze, dont les deux côtés parallèles appartiennent aux côtés des cônes intérieur et extérieur de la roue, et les deux autres côtés concourent au point d'intersection des deux axes de rotation. it 10.

Déterminons maintenant la forme du creux qui doit exister entre deux dents, Lorsque.les deux roues tournent autour des axes AC et A'C, l'extrémité M de la dent de la secoude roue, décrit autour de son axe un cercle dont le rayon est A'M. Si on-rapporte le mouvement du point M aux droites AG et AB, considérées comme des axes fixes, le point décrit une épicycloïde sphérique ralongée. Le cône dout le sommet est au point de rencontre des deux axes de rotation, et qui a pour base l'épicycloïde raiougée décrite d’un mouvemeut relatif par Je point M, pénètre le solide sur lequel on a taillé les dents de la roue, ct c’est cette pénétration qui détermiue.le creux. Sa grandeur sur une roue déperd évidemment de la longueur des dents de l’autre, Le contour des creux de la première roue est en projection composé des deux droites x'p',rg quiconcourent au point O, et des deux courbes n'q, rp' résultant de l'intersection des cônes droits intérieurs et extérieurs de la roue, et,du cône à base. d’épicycloïde sphérique ralongée. Les deux courbes sont tangentes à la droite np. La courbe g't'=q'u', intervalle qui les sépare, étant terminé par une portion de surface conique dont

le sommet est au point C, et dont la base est l'arc gg’.

Pour tracer les coutours du creux et du plein d’une dent, on développe les surfaces coniques droites qui terminent la roue extérieurement et intérieurement, Pour le détail des procédés pratiques employés pour le tracé des diverses sortes d’eugrenages , voyez les dessins de machines publiés par M, Leblanc.

ENIF (4s1r.). Étoile de la troisième grandeur, située à la bouche de Pégase. Elle est marquée « dans les ca: tlogues. Où la nomme encore nf Alpheras.

ENNEADECATERIDE (Calend.). Période de 19 ans qui ramène les nouvelles lunes aux mêmes jours du . x e mois. Foy. CarrNprier 7.

ENNEFAGONE (Géom.) (de ervtaæ, neuf, ct. yorie y

angle). Figure de neuf angles et de neuf côtés, Voy. Po- LYGONE.