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ÉPACTE (Astr.). Nombre déjours et de fractions de jour dont les révolutions lunaires diffèrent dés solaires. Nous avons expliqué en détail au mot Cazenprier l'usage des épactes pour trouver les nouvelles lunes ecclésiastiques, ainsi nous ne nous occuperons ici que de celles ‘qu’on nomme astronomiques , parce que jadis les astronomes s'en servaient pour préparer les calculs des éclipses.
Les épactes astronomiques sont des nombres qui expriment l’âge de la lune au commencement dé l’année, ouletempsquis’est écoulé depuisla dernière conjonction moyenne del'année précédente jusqu’au commencement dé l'année actuelle, si elle est bissextile, ou à la veille, ‘si c'ést une annéé commune. Outre ces épactes , qu’on nomimeépactes d'années, on considère encore les épactes les Mois, qui sont, pour châqué mois en particulier l'âge qu'aurait la luné à son comméncement si la dernière éonjonction de l’année écouléé avait eu lieu le 31 décembre à midi. Ainsi ; en ajoutant l’épacte de l’année à celle d’un mois quelconque on a l’âge réel dé la lune au commencement de ce mois ; et, couséquemment, en retranchant ensuite cet âge de la durée d’une révolution entière de la lune, le reste exprime le temps de la conjonction moyenne qui doit avoir lieu dans le cours du mois. Par exemple, l'épacte d’une année étant égale à 14j 20b 44" 18", si l’on voulait connaître l’époque de la nouvelle lune du mois d’avrildont l’épacte est 19" 4752", on retrancherait la somme de ces nombres 16i 64 3210" de la durée d’une révolution lunaire , savoir de 29j 12" 44" S", et le reste 13j 6h 11° 53" indiquerait que la nouvelle lune cherchée aurait lieu le:13 avril à 6h 11! 33”.
On trouve des tablés dés épactes astronomiques dans les ouvrages de Riccioli, de La Hire, de Cassini et dans l'astronomie de Lalande, mais l’état actuel de perfection des tables solaires à fait renoncer à l'emploi de ces épactes.
ÉPHÉMÉRIDES (Astr:). Tables qui donnent pour chaque jour d’une année l’état du ciel. Les astronomes des diverses nations publient des éphémérides dont les plus célèbres sont en France, la Connaissance des temps, en Angleterre, l'Almanach nautique et en Italie, les Ephémérides de Bologne.
EPI DE LA VIERGE (A4str.). Brillante étoile de la première grandeur, située dans la constellation de la Vierge.
ÉPICYCLE (des, sur, et de xvxaos, cercle). C'était, dans l’ancienne astronomie, une orbite circulaire subor= donnée dont le centre était supposé se mouvoir sur la circonférence d’un plus grand cercle appelé le déférent; on s’en servait pour ramener à des mouvemens réguliers lesirrépularités apparentes des mouvemens des planètes.
La découverte du véritable système de l'univers rend
556 EP inutile la considération des épicycles dont l'invention toutefois est des plus ingénieuses. Foy. Révozurion.
ÉPICYCLOÏDE (Géom.) (de #74, sur, et xvxaos, cercle). Courbe décrite par un point d’une circonférence de cercle roulant sur une autre circonférence. Lorsque les deux cercles sont dans un même plan, l’éspicycloïde est plane ; lorsqu'ils sont dans des plans difjférens l'épicycloïde est sphérique.
Occupons-nous d’abord des épicycloïdes planes et supposons que l’épicycloïde soit extérieure, c’est-à-dire que le cercle mobile soit tangent extérieurement au cercle fixe. Soit À (Pr. XXXII, Jig. 1) le centre du cercle fixe dont AB est le rayon. Le rayon du cercle mobileest Ba. C'est le point de contact des deux cercles dans leur première position. Lorsque le cercle mobile arrive en BPD, le point C de ce cercle s’est transporté en P, de manière que l'arc BP=BC, et cette condition suffit pour déterminer tous les points de l’épicycloïde décrite par le point C.
Pendant que le cercle mobile roule sur le cercle fixe, son centre décrit une circonférence dont le centre est en À et dont le rayon égale AB+ Ba. La première position de ce centre est en a’. Si on augmente ou si on diminue le rayon Ca’ du cercle mobile d’une quantité CO ou CO", les points O et O', mobiles avec le rayon Ca’, décriront des courbes dont la première a reçu le nom d’épicycloïde ralongée , et la seconde d’épicycloïde racourcie. Soit AP l’une des positions du rayon du cercle mobile, en portant sur cette droite la longueur Pp—CO, et Pp'— CO", le point p appartiendra à l’épicycloïde ralongée , et le point p' à l’épicycloïde racourcie.
On se propose de déterminer au point P la tangente à l’épicycloïde, Le point P tend à décrire un cercle dont le point de contact B du cercle fixe et du cercle mobile, correspondant au point P, est le centre; par conséquent BP est normale à l’épicycloïde , et partant la droite PD est la tangente demandée. Les normales aux épicycloïdes ralongées et racourcies au points p et p' concourent aussi au point B, ce qui donne le moyen de déterminer leur tangente.
Sile cerclemobile étaittangentintérieurementau cercle fixe, l’épicycloïde décrite serait intérieure, et on en déterminerait les points d’après la condition que les arcs parcourus dans le même temps sont égaux dans l’un et l’autre cercle. Dans le cas où le cercle mobile a pour diamètre le rayon du cercle fixe, l’épicycloïde devient une ligne droite, qui est le rayon du cercle fixe passant par le point où il est touché par le cercle mobile considéré dans sa première position. Soit en effet B le point où le cercle mobile AEBF touche le cercle fixe GIBH dans sa première position, Dans une autre position quel-
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conque ACD , ii touche le cercle fixe en D , et en prenant l’arc DC=BD), le point C sera le point de la courbe
décrite, Or, ce point C est nécessairement sur le rayon AB. Supposons en effet qu’il puisse être en C’ hors du rayon AB. L’angle BAD a pour mesure l'arc BD ou la moitié de l’arc CD; or, cet arc CD est décrit d’un rayon moitié de celui avec lequel est décrit l'arc BD , donc ces deux arcs sont égaux. Mais nous avons supposé que l'arc DC’ était égal à l'arc BD, donc les deux arcs DC et DC' sont égaux, ce qui serait absurde si le point C ne se confondait pas avec le point C. Comme il en sera de même pour toute autre position du cercle mobite, il suit que la ligne décrite est la droite AB.
Imaginons que deux cônes droits ayant même sommet et étant tangents, sont coupés par une sphère ayant pour centre le sommet commun. Ils auront pour base sur cette sphère deux cercles dont les plans feront entre eux le même angle que les axes des cônes ; et si on conçoit que l’un de ces cônes roule sur l’autre, sans ces. ser de lui être tangent , un point quelconque de la base du cône mobile décrira dans l’espace une courbe qui porte le nom d’épicycloïde sphérique. Elle est en effet tracée sur une sphère ayant pour rayon la distance constante du point générateur au sommet commun des deux cônes.
Le rapport connu de la circonférence à son rayon déterminera les longueurs absolues des circonférences du cercle fixe et du cercle dont l’un des points décrit l’épicycloïde. Divisant donc la longueur de la circonférence mobile en un certain nombre de parties égales , chaque partie correspondra à une partie égale sur le cercle fixe. Considérant le cercle mobile dans la première position, on abaissera de chacun de ses points deux perpendiculaires, l’une sur sa tangente commune avec le cercle fixe, l’autre sur son diamètre perpendiculaire à cette tangente. Lorsque le point de contact changera, la tangente commune et le diamètre qui luiest perpendiculaire changeront aussi de position et deviendront des axes mobiles dont la position sera connue à chaque instant. Les projections des deux perpendiculaires abaissées d’un point du cercle mobile sur ces axes se couperont en un point qui apparticudra à la projection de l’épicycloïde.
Au lieu de considérer chaque point du cercle mobile comme l'intersection dedeux coordonnéesrectangulaires, on pourrait les considérer comme l'intersection de l’une de ces coordonnées et d’un rayon du cercle mobile, alors ce serait la projection de ces deux droites qui déterminerait un point de l’épicycloïde.
Soient AaB (PL. XX XII, fig. 1 )le cercle fixe, aa l'arc de cercle égal en longueur à la demi-circonférence «RS du cercle mobile »#M#, l'angle du plan des deux cercles
‘ mesuré dans un plan Mr perpendiculaire à leur intersec-
“ tion aM. Ayant divisé la circonférence du cercle mobile en parties égales, soit L'un des points de division duquel on abaisse la perpendiculaire L'wsur le diamètre 4S qui correspond au point de contact a des deux cercles ; soit a'L unarc du cercle fixeégal en longueur à l’arcaL'. Lorsque les deux points L et L' se confondront, les coordonnées du point à, par rapport au rayon xL seront égales aux coordonnées L'u et ua du point L', par rapport au rayon ax. C’est à l’aide de ces considérations que nous allons construire le point L” de la projection de l’épicycloïde sphérique. Le centre x du cercle mobile et le point L’ de ce cercle se projettent sur la droite M» du plan Mn en des points £'et à' tels qu’on a MB'—ax et MA'=au. Sur le plan du cercle fixe ils se projettent en Aeten A. Si maintenant on prend La”-=aù et LA, le point L” sera le point cherché. On peut construire ce point de plusieurs manières , car les droites AA et AL' sont les rayons d'un même cercle, et letriangle rectangle aaA est égal au triangle rectangle L2"L,”.
En même temps que le point « du cerclemobile décrit une épicycloïde sphérique, tous les points de son plan décrivent d'autres courbes, qui sont des épicycloïdes ralongées ou racourcies suivant qu’elles sont en dehors ou en dedans du cercle 4aRS.
Cherchons maintenant comment nous pourrons mener une tangente en un point déterminé de l’épicycloïde sphérique ; au point I par exemple. BI" est la position du cercle mobile lorsque le point [” de ce cercle générateur de l'épicycloïde se projette en I. Le point de contact des deux cercles est en B; et si par ce point et par les centres des deux cercles, on conçoitun plan vertical ABV, l'angle dBV sera égal à celui des plans des deux cercles. La verticale AO' et la droite OO perpendiculaire sur le milieu du diamètre B4 du cercle mobile se rencontrent en un point O’, centre de la sphère du rayon O'B sur laquelle est tracée l'épicycloïde sphérique; d’où il suit que la tangente à cette courbe, en un point quelconque, est dans le plan tangent à la sphère O'B qui correspond au même point. Mais ce point 1”, générateur de l’épicycloïde, en passant de cette position à une position infiniment voisine, ne quitte pas la sphère dont le centre est en B, et le rayon BI’; par conséquent
