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le plan tangeut à cette sphère contient encore la tangente à l’épicycloïde au point 1”. Cette tangente est donc l'intersection de deux plans tangens à deux sphères dont Les centres et les rayons sont connus. Le plau tangent à la dernière sphère est perpendiculaire au rayon BI”, ou au rayon BD (le cercle BD4 étant le cercle mobile rabattu autour de son diamètre). Ce plan tangent a donc pour traces la droite D et la droite H4V perpendiculaire à Bd; par conséquent la tangente à l’épicycloïde sphérique rencontre la droite H4V qui est la perpendiculaire au plan du cercle mobile mené par l'extrémité d de son diamètre B4 passant par son point de contact B avec le cercle fixe.

Puisque cette tangente est dans le plan tangent à la sphère dont le centre est O", et dont le rayon est O'B, et qu’elle rencontre la droite HV , elle passe par l’intersection de cette droite et du plan tangent. Tous les plans tangens à la sphère suivant le petit cercle BDd font le même angle avec le plan de ce cercle; mais le plan tangent en B fait avec le plan du cercle l'angle dBJ , BJ étant perpendiculaire à O'B; de plus, la droite d£ perpendiculaire à la tangente DE au cercle mobile au point D est égale à DF ou ['4: si donc on mène l'G parallèle à BJ, le point G appartiendra à la tangente à l’épicycloïde sphérique au point 1’. Projetant le point Gen G', la droite G'T sera la tangente demandée.

L'invention des épicycloïdes est attribuée au célèbre astronome danois Roemer, auquel on doit la découverte du mouvement de la lumière. Ces courbes, qui furent l’objet d’un traité particulier publié par la Hire, en 1694, occupèrent les plus grands géomètres; Newton, Jean Bernouilli, Halley, Maupertuis, Nicole et Clairault ont successivement examiné leurs propriétés principales, ’oy.les Mémoires de l Académie des sciences, pour 1706, 1927 et 1932, et les transactions philosophiques, n° 218.

ÉPOQUE. Terme nsité en chronologie pour fixer un point de départ dans la succession des temps, d’où les années sont ensuite comptées. Les diverses nations font usage de différentes époques. Les Chrétiens comptent les années à partir de la naissance ou de l’incarnation de Jésus-Christ; les Mahométans, de l’époque de l'Hégire ou de la fuite de Mahomet ; les Juifs, des époques hypothétiques de la création du monde et du déluge universel; les anciens Grecs les comptaient de la première olympiade; les Romains, de la fondation de Rome ; et les Persans et les Assyriens de l’époque de Nabonassar , etc.

Trouver la concordance des années de deux époques différentes, ou quelle année d’une époque correspond à l’année donnée d’une autre époque, forme l’un des problèmes les plus importans de la chronologie ; on le

résout facilement en rapportant toutes les époques con:

538 EQ

nues à une période d'années dont lé commencemeit leur est antéricur, et qu'on nomme période julienne (voy. ce mot). Cette période, formée par la multiplication des trois cycles, solaire, lunaire et d’indiction, c’est-à-dire, des nombres 28, 19 et 15, embrasse un espace de 7980 années dans lequel il ne peut y avoir deux années qui aient les mêmes nombres pour les trois cycles, mais au bout duquel les trois cycles reviennent ensemble dans le même ordre, La première année de la période julienne étant celle qui a l'unité pour le nombre de chacun des trois cycles, elle se trouve avair commencé avant l’époque juive de la création du monde, et devient ainsi très-propre à servir d'échelle de comparaison entre toutes les époquespostérieures. Ayant donc détérininé les années de la période julienne auxquelles correspondent les diverses époques, il ne faut plus qu'un calcul très-simple pour établir la concordancé des années comptées à parti de chacune de ces époques.

Les principales époques rapportées à la période ju-

lienne donnent les résultats suivans :

Années de ja période julienne,

Création du monde..... 706 Délupe. rss sense 2302 Première olympiade.... 3038 Fondation de Rome..... 3961 Êre de Nabonassar.…. 3967 re chrétienne... .... 4713 MÉPITEe senc decee set 00300

Pour plus de détails, voy. Êre.

ÉPOQUE (4st.). On nomme époque des moyens mouvemens d’un astre , le lieu moyen de cet astre fixé pour un instant déterminé, afin de pouvoir ensuite , en partant de cet instant, trouver le lieu moyen de l’astre pour un autre instant quelconque.

Dans les anciennes tables astronomiques les époques se rapportaient au 31 décembre, à midi, temps moyen, pour les années communes et au 31 janvier à midi pour

: les années bissextiles; mais le bureau des longitudes, dans toutes les tables qu'il a publiées, a pris pour origine le premier janvier de chaque année, à minuit moyen au méridien moyen de Paris. Voy. Tases.

ÉQUANT (Astr.). Cercle dont le centre était celui des mouvemens réguliers dans l’ancienne astronomie. On n’en fait plus usage depuis que Kepler a démontré queles planètes se meuvent dans des orbes elliptiques dont le soleil occupe l’un des foyers.

ÉQUATEUR (Astr.). Grand cercle de la sphère autour duquel s’effectue le mouvement diurne, et dont les pôles sont les pôles du monde, 74 0Y+ ARMILLAIRE, 12.

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ÉQUATION {4/3.).On donne généralement ce nom à la relation d'égalité qui existe eutre deux générations différentes d'une même quantité. Par exemple, æ étant un nombre indéterminé, si l’on sait que quatre fois x plus 4, où 4x4, doit former le même nombre que deux fois la seconde puissance de x moins 2, ou 2x?» l'expression

iati=or—,

qui désigne cette circonstance, est une équation.

Les quantités séparées par le signe de l'égalité = se nominent les »embres de l'équation, et particulièrement, premier membre celle qui est à la gauche de ce signe, second membre celle qui est à la droite. Les différentes parties dont les membres sont composés prennent le nom de termes; ainsi dans l'équation ci-dessus 4x et 4 sontles termes du premier membre, et 2x7? et 2 sont les £ermes du second membre.

Résoudre une équation, c’est trouver la valeur de la quantité indéterminée et inconnue qui sy trouve liée aux quantités connues, valeur dont la substitution dans chaque membre, à la place de l’inconnue, doit rendre ces membres identiques, Cette valeur prend le nom de racine de l'équation. 3 , par exemple, est la racine de l'équation :

Lx +220 parce qu’en substituant 3 à la place de x, ona 4.3+44=2.3—5 , où 16—16

Les équations forment une des parties les plus importantes de Ja science des nombres, car la solution de tous les problèmes des mathématiques peut être ramenée à celui de la résolution d’une équation. Nous exposerons aux mots MarmémariQuEs et PuiLosopuie, l’origine de leur théorie, les principes supérieurs aui fixent leur rang dans la science, ainsi que les caractères qui les distinguent des simples égalités ; ici, nous nous contenterons de les examiner sous le rapport de leurs diverses propriétés, et sous celui des procédés qui peuvent conduire à déterminer les valeurs de leurs racines.

1. En se rappelant les axiomes posés ALGÈBRE, n°5, on voit immédiatement que dans toute équation on est libre de faire passer un terme quelconque d’un membre dans l’autre en changeant le signe dont il est affecté. Par exemple, si l’on a l’équation

8xt—3x—7x ri

on peut transporter —3x dans lé second membre, en changeant le signe — en +, et l'équation devient

Bret 11432

EQ En:effet, lorsqu'on ajoute ou qu'on retranche une même quantité de deux quantités égales, les résultats restent égaux ; or, le transport de 3x du premier membre au second, en changeant le signe, est identiquement la même chose que l'addition simultanée de +3x à chacun des membres ; car, par cette addition, l'équation

devient Ba—3x+3x— 7x + 11432

ou.

8x=7x+rr+3x

à cause de —37—+3x—0.

2. On peut donc transporter de la même manière tous les termes d’un membre dans l’autre, ct, après cette transposition , l’ensemble de tous les termes sera égal à zéro. Ainsi, l'équation précédente pourra se mettre sous

la forme

Ba—Bx—Tx—11—0 ou plus simplement

en additionnant —7x et —3x.

3. Il suit encore de là qu'il est toujours permis de changer tous les signes des termes qui composent une équation quelconque en les remplaçant par des signes opposés. On peut donc écrire indifféremment

Sx?—10x—11—0

4. En partant toujours des mêmes principes, il est évident qu’on peut multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par le même nombre sans détruire l'égalité de ces membres. Donc, ayant l'équation

On peut faire disparaître les fractions, car en réduisant d’abord tous les termes au même dénominateur on a