TION

Équations du premier degré AoZ+A;=0

Fquations du second degré

- Ao%7HA;x+A —=0 Equations du troisième degré

A,@ LA ,2+A:xx+As—o

Et en général, équation du degré »2

Aoxn A gmit,.....Am1t Am

L’équation est complète quand toutes les puissances de l’inconnue x, depuis la plus élevée æ”, jusqu’à la puissance 0, æ° sous-entendue dans le terme absolu A», s'y trouvent; mais elle ne change pas de désignation lors même que plusieurs termes manquent.

Pour plus de simplicité on peut faire disparaître le

premier coefficient A, , en divisant toute l'équation par A.

G. Si les équations contiennent plusieurs quantités in-

"erminées ou inconnues, on les nomme encore du

510 * EQ premier degré, du second, etc., seen la plus haute

puissance qui s’y trouve, ainsi Ax+By+C=o est une équation du premier degré à deux inconnues. Ax+Bzxy+Cy+Dx+Ey+4F=0

est une équation du second degré à deux inconnues, et ainsi de suite. Nous reviendrons sur ces classifications.

7. Déterminer la valeur des inconnues qui entrent dans une équation , est le problème le plus important de l'algèbre. S'il nous est impossible d'entrer dans tous les détails que réclame une telle question, nous allons au

moins essayer de l’exposer le plus simplement possible.

ÉqQuarions pu PREMIER DEGRÉ. La résolution des équations du premier degré à une seule inconnue ne présente aucune difficulté, car la forme générale de ces équations étant (a)

Aox+A,—=0 en faisant passer le second terme du premier membre

dans le second membre, et divisant ensuite les deux membres par le coefficient de x, on a (b)

Il ne s’agit donc que de ramener une équation quelconque à la forme générale (aj pour obtenir immédiatement la racine (b). Un seul exemple estsuffisant pour indiquer la marche à suivre dans tous les cas. Soit l’équation

4x—8—5x=g—8x—11+ix

en transportant tous les termes dans le premier membre on a

4x—8—5x—0+8x+ 11520 ou, en rassemblant tous les facteurs de x,

548) pri 8 0

opérant les réductions

—9+#11—68=—6 l'équation devient

at—0=0 ar

EQ

et, multipliant les deux termes par 3 pour faire disparaitre la fraction, on a définitivement

comparant avec la forme générale (a), on a

D'où l’on tire

de ; 13 : :

Ainsi substituant le nombre —, dans l’équation pro-

posée, à la place de x , les deux membres de cette équation doivent devenir identiques. On trouve en effet.

8 18 18 2 18 LT DÉS md DU et, en réduisant, PR LE D 19 19 :

8. Si dans une équation du premier degré à une seule inconnue la valeur de l’inconnue se trouve insnédiatement déterminée par celles des quantités connues qui entrent dans sa composition, il n’en est pas de même des équations à plusieurs inconnues: une seule équation est insuffisante pour déterminer la valeur des racines. Dans l'équation à deux inconnues, par exemple,

Ax+By+C=—o

Il est évident qu’on ne peut obtenir aucune détermination pour æ et y à moins de décomposer le ombre GC en deux autres a et b capables de donner les deux équations séparées

Ax+a=o, By+b=o

Or, la quantité C peut être décomposée en deux parties d’une infinité de manières différentes ; ainsi, tant qu’on n'a qu'une seule équation entre deux inconnues x ct y, ces inconnues restent complétement indéterminées.

Mais si l’on a deux équations différentes entre fes deux mêmes inconnues, telles par exemple que

Ax +By +C =o

A'x+B'y+4C'=0o en remarquant que la valeur de x doit être telle que l'on ait

—C—By À

pour la premièreéquation , et

équation par laquelle la valeur de y est déterminée, il en résulte que ces deux équations déterminent entièrement lés inconnues. On verrait facilement qu’il faut trois équations si l'on a trois inconnues, et, en général, autant d'équations que d’inconnues.

9. Sachant qu'il faut deux équations différentes entre deux inconnues pour déterminer ces inconnues , proposous-nous de résoudre les deux équations générales.

Ax +By +C—o

A'x+B'r+C'=0o ou detrouver les valeurs de x et de y quiréduisent , en même temps, à zéro leurs premiers membres.

La solution de ce problèmerepose sur l'élimination de l'une des inconnues , opération qui estexposée en détail au mot Éciminarion. Il suffit donc de multiplier la première équation par À’, et la seconde par À, elles deviennent

A'Ax+A'By+A'C—o AA'x+AB'y+AC'=0 et, prenant leur différence, on a (A'B—AB')}y+A'C—AC'—0 équation finale qui ne contient plus que y, et donne (c) ee 7 A'B—AB

Pour trouver la valeur de x, on éliminera y entre les proposées en multipliant la première par B', et la seconde par B, elles deviendront

AB'x+-B'By-+B'C—0o A'Bx+-B'By-+BC'=0

et leur différence

(A'B—AB')r+BC'—B'C=0

ra l’équation finale en x, dont la solution donne rs