CETTE NE L

542 EQ

Pour faire disparaître les fractions de ia seconde équa- ; tion, on la multipliera parleproduit des dénominateurs met n (4), etelle deviendra

ax my =mnq

Ainsi, en rameuant ces équations aux formes générales (d), on aura

2+y—p=0 nx+my—mrng=0

comparant avec (d),on a

A:,Bz1: Cp

A'zn, B'=m, ÇC'=nnq

et, en substituant dans (e),

mnq—m = 7 P

n—nm

np— mnq = scans

Ainsi, s'il s'agissait de diviser 17 en deux parties telles que Le tiers de la première ajouté au quart de la seconde fût égal à 5, on aurait

et, par conséquent,

Exemple 3°. Résoudre les deux équations 3x—2y+ 5=o 6y—g9x—15=0

Nous avons ici

A3, B——2,C——5 A'=—9,B=6, C'—15 et par suite ,730o+30a o

DT

résultats singuliers qui ne peuvent rien nous apprendre sur les véritables valeurs de x et de y.

EQ Examiuons d’où PCUL provenir ce cas remarquable. Les expressions ” BC'—B'C AB-TAR : A'C—ACG AE A'B—AB'

pe peuvent généralement donner de pareils résultats qu'autant que l'on a (»1)

A'B—AB'=0o BC —B'C'=0 A'C—AC'=0

Or, l'une quelconque de ces égalités est une conséquence nécessaire des deux autres; car prenant, par exemple, la valeur de B' dans la première, valeur qui est

p AB A et la substituant dans la seconde , on trouve

HO. C=o

D'où, multipliant par A, et divisant par B,

AC'—A' C—0o Ce qui est la même chose que la dernière égalité, en changeant les signes.

Ceci posé, prenant les valeurs de A’ et de B' données par les deux dernières égalités ; savoir :

et les substituant dans l'équation générale

A'x+B'y—C'=0 on a

AC' | Die Eu

ce qui devient en multipliant par C, et divisant par G's AxHBy—C=0o

Ainsi dans l'hypothèse des trois égalités (m), la seconde équation n’est qu’une conséquence de la première, et au lieu d’avoir deux équations indépendantes, on n’en a réellement qu'une; c'est-à-dire qu'alors les valeurs de æ et de y sont indéterminées. Donc, lorsqu’après Jes réductions faites, on trouvera les résultats

o o LE Y—=— Fe 7. 5

EQ

ot eh éénelura que les valeurs des inconnues sont indétérminées etque des deux équations, dont-on est parti, l'une n'est qu'une transformation de l’autre, En effet,

si ous examinons les proposées

Gy—9x—15=0

Nous verrons facilement qu'on obtient la seconde, en

multipliant la première par le facteur —3.

Exemple 4°. Soient les équations proposées

4ax+67—15—0 Nous avons, eh comparant avec (d) et (e) .

d’où 45—30 15 12—12 O 20—30 10 ARE TES TI 0

valeurs infiniment grandes. Voy: Division, n4 22,

Pour que de semblables valéurs soient dünnées par les expressions générales (d), il faut qu'on ait

A'B—AB'— 0 Or, cette égalité donné

RD À ss Re

substituant cette valeur de A’ dans l'équation

À'z+B'y—C'=0 nous aurons

A æ+By=C =

et en multipliant par B, 1 ...... AB'x+BB'y—BC'=0

Or, en multiplant par B', l’équation Ax+By—C=0, on aurait

2 44... AB'x+BB'y—B'C=o

Ainsi, pour que les deux expressions 1 et 2 ne soient pas contradictoires, les premiers termes étant identiques, il faudrait que l’en eût

BC'-B'C ou BC/— B'C—o

EQ 543 Mais alors à cause de A'B--AB'=0, ou conclnrait, comme ci-dessus (exemple 3°) A'C—AC'=%,etilré: sulterait de ces égalités les valeurs L

x [e) D — 2 SU nr |

résultats qui ne sont pas ceux qu’on a obtenus. Ou ne peut donc avoir BC'=B'C, et la condition isolée