AB BA

et donnant le signe —, au groupe dont le nombre des variations alphabétiques est impair, on a

AB — PA, ce qui devient

AB'—BA, en plaçant l’accent prime sur la dernière lettre de chaque groupe.

Cette dernière quantité est le dénominateur commun des valeurs dexet de y.

Pour former le numérateur de +, on change A en C, c’est-à-dire, le coefficient de x, en terme absolu, et

pour former celui de y, on change B en C. On obtient

ainsi CB—BC ET AP BA “AGEACA Y— AB BA

valeurs qui, en changeant les signes des deux termes des fractions, sont identiques avec celles que nous avons trouvées ci-dessus n° 9. :

13. Pour appliquer cette règle au cas de quatre équations et de quatre inconnues, soienties équations

formons les permutations suivantes du produit général ABCD ,

ABCD BACD CABD DABC

ABDC BADC CADB DACB

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADCB BDCA CDAB DCAB

ADBC BDAC CDBA DCBA

EQ

donnons à tous les groupes dont les variations sont en nombre pair, le signe + et aux autres le signe —; placons ensuite l'accent prime sur la seconde lettre de chaque groupe, l’accent seconde sur la troisième et l’accent tierce sur la quatrième , et nous aurons pour le dénominateur commun des valeurs de x, y, z et ul’expression

AB'C'D"—AB'D'C"+AD'B"C"—AD'C'B” +-AC'D'B"—AC'B'D"+BA'D'C"—BA'C'D" BC'A'D"—BCD”A"-+-BD'C'A"—BD'A"C" +-CA'D'B"—CA'B’D"--CB'D’A"—CB'A'D" 4-CD'A'B"—CD'B'A"-+DA'C'B"—DA'B"C" +-DB'A'C"—DB'C'A"--DC'B'A"—DC'A"B"

En changeant successivement dans cette expressien À, B,CG,DenE, on formera les numérateurs des valeurs de æ, 7, et u.

La démonstration de cette formation symétrique des valeurs des inconnues, qui rendinutiles les procédés d’élimination, ne peut trouver place ici (voy. dans les imémoires de l’Académie des Sciences pour 1772, 2° partie, un écrit de La Place sur cet objet), nous devons seulement ajouter , pour terminer tout ce qui concerne les équations du premier degré, que ce que nous avons dit exemple 3 et 4, peut s'appliquer à un nombre quelconque d'équations et d’inconnués , c’est-à-dire, 1° que le problème est indéterminé lorsqu’on trouvedes valeurs

0 de la forme x=— - et 2° qu'il renferme des conditions Oo

SE M contradictoires lorsqu'on en trouve de la forme si

14. Quoique les dénominations quarrée, cubique, et biquadratique données jadis aux équations des second, troisième et quatrième degrés aient beaucoup vieilli, nous les avons conservées dans notre dictionnaire afin de pouvoir renvoyer à chacun de ces mots en particulier la résolution de l’équation à laquelle il s'applique. Nous nous contenterons donc, dans le présent article, d’examiner les propriétés communes à toutes les équations supérieures au premier degré.

15. D'Alembert a démontré le premier qu’il existe toujours une quantité 4, rationnelle ou irrationnelle, réelle ou imaginaire telle qu’en la substituant à la place de x dans une équation d’un degré quelconque (p)

am Aæm—i HA œm—2 etc. : Am —0

le premier terme se réduit à zéro, ou ce qui est la même chose, que cette équation à nécessairement une racine a. Voy. les Mémoires de Berlin 1346. Depuis, cette proposition importante a été démontrée de plusieurs

manières (voy, Complément des élémens d'algèbre de

EQ 545

Lacroix) et nous devons la considérer comme suffisamment établie pour pouvoir fonder ici sur elle la théorie des équations.

Soit donc & la racine de l’équation générale (p), si l’on divise par le binome (x—a) le premier membre de cette équation, et que lon poursuive l'opération jusqu’à ce que l’on trouve un reste qui ne contienne plus x, en désignant le quotient par Q et ce reste par R, on aura

am HA ,xm—1+etc. on A» ST (x—a)Q+R.

Or, lorsqu'on fait x—a, le premier membre de cette égalité se réduit à zéro, il doit donc en être de même du second membre, et l’on a

(a—a)Q+4R=0o ou R=o.

Ainsi le reste de la division est nécessairement égal à géro , c'est-à-dire que lorsque a est racine de l'équation (p), le premier membre de cette équation estexactement divisible par le binome (x—a). On prouve aisément la réciproque de cette proposition , ou que a est racine de l’équation , lorsque le premier membre est exactement divisible par le binome (x—a).

Ceci posé, d’après les règles de la division, le quotient Q étant de la forme (q)

ami LBxm—3 EL Bum—2Letc...+Bn—,

nous avons l'égalité (x)

am A,xm—3 LA m2 etc, . =(x—a) ami +

B,xm—:+etc..

Mais, en vertu de la proposition fondamentale, il existe aussi une quantité b réelle ou imaginaire, dont la substitution à la place de x rend (g) égal à zéro, et par conséquent , d’après ce qui vient d’être démontré, la quantité (g) est exactement divisible par le binome (x—b). Opérant la division nous aurons un quotient de la forme (s)

am Can LC,aom—ibetc...+ Cm, et l'égalité (x), pourra être mise sous la forme aœm+A ami HA am betc...—(x—a)(x—b) [as

+ Ciem—S bete, .;., }

Divisant de La même manière le second quotient (s) par Je binome (x—c » € étant le nombre qui réduit ce quotient à zéro, et poursuivant ainsi jusqu'à ce que ke dernier quotieut soit du premier degré, nous trouverons

évidemment {#) am 2 A ar Æ ete. = (xa)(x=b)(xc)... (22m)

le nombre des binomes (x—a) , {æ—b) etc. étant 7.

16. H résulte de l’équivalence générale (® que, le preimnier membre étant nécessairement divisible par chacun des binomés, les quantités a, b,€, ete. sont toutes des racines de Féquation (p), et que cette équation est satisfaite en faisant indifféremment æ = a, ou x = b, ou æ=e, étc. Ainsi, ces quantités étant au nombre dé rm, né équation adinel autant de racines différentes qu'ily a d'unités dans le nombre qi marque son degré.

Une considération très-simple prouve qu'il ne peut pas y enavoir davantage: en cffets'il existait un nombre pautré que a, b,e,ctce., capable de réduire ä zéro le premier membre de l'égalité (0 en Le substituant à æ, il faudrait aussi que la même substitution rendit Le second

membre égal à zéro, où que l’on eût (p—a) (p—b)(p—c).:.(p=m)=0.

Or, un tel produit ne peut devenir o qu’autant que l’un de ses facteurs (p—a) par exemple, ne devienne o; ais si p—a=0 on a pæ«, et ainsi de même pour tous les autres facteurs : donc ce produit ne peut devenir o, qu'en faisant p égal à l'une des quantités a, b, ©, d, etc. et ces quantités seules sont les racines de l'équation (p),

17. On sait qu’en formant le produit de #2 binomes (x—a), (x—b), (x—c), etc, (Foy. MurriPicaTioN) on obtient une expression de la forme

am Agm—s LBan—2—Crr—i bete... (—1)7Z

dans laquelle le premier cocfficient A est égai à la somme des seconds termes des binomes , savoir :

A = a+b+cdLd+etc,..+m.

Le second coefficient B est égal à la somme des produits deux à deux des mêmes seconds termes, savoir :

B=abLac+ad+betc...+be+bd+4etc..,

Letroisième coefficient € est égal à la somme des produits trois à trois , des seconds termes, savoir :

C = abc, abd, cbd, cbebetc....

et ainsi de suite jusqu’au dernier coefficient Z, qui est égal au produit de tous les seconds termes, savoir :

Z=a.b.c.d... im.

EQ

Or, le produit des » binomes (x—a), (3—b), (x—v), etc., devant être identique avec le premier membre de

l'égalité (£), nous avons

Ay=——E

étc.—= elc.

D'où il résulte la proposition générale suivante : Dans une équation d'un degré quelconque

ani HA œm—iRA qui? LA sam etc... HAm—=o.

Le coefficient du second terme est égal à la somme des racines prise avec un signe contraire; celui du troisième, à la somme de leurs produits deux à deux; celui du quatrième, à la somme de leurs produits trois à trois pris avec un signe contraire, etc., etc., et enfin le deruier coefficient est égal au produit de toutes les racines, pris avec le même signe si équation est de degré pair, et pris avec unsigne contraire, si l'équation est de degré impair.

Par exemple , si nous désignons par x, 8, 7 les trois racines de l'équation du troisième degré

LP +qgu+re0 ,

nous avons p=—(a+85+) gare tb