PEU
fera connaître deux valeurs correspondantes de y, et, de cette manière , on déterminera les 22 valeurs de y qui, jointes à la première y = 1, formeront les 2741 racines de y27+1—1-=0.
25. Proposons-nous pour exemple de trouver les cinq racines cinquièmes de l'unité , ou les cinq racines de l’équation
Cette équation, comme toutes les équations semblables de degré impair ayant une racine réelle y=1 , divisons
J°—1 par ÿ—1, et nous obtiendrons pour quotient
PHP I = 0
équation du quatrième degré dont dépendent les quatre autres racines.
Divisant tout par y? et rapprochant les termes également distans des extrêmes , nous trouverons
P+ titre faisant
jé — = 53 da
et substituant, cette dernière deviendra 2 Lz—1—=0o
qui, résolue par la méthode du second degré (voyez QuarrÉE) nous donnera pour ses deux racines
2 , Mais l'équation auxiliaire
Y += 2 Ou ÿ?—2y +1 = 0
traitée par la même méthode, fournit
EQ 549 Substituant successivement dans ces valeurs celles de z,
nous obtiendrons définitivement pour les cinqracines de la proposée les expressions
IV 5+V/(—r0o—2V/5) fA
Dep —
pri VE tea" des e2 n
Gas PS vu
26. D’après ce que nous venons de dire, on voit que lorsque l’exposant général » de l'équation binome peut être décomposé en facteurs simples ou premiers plus petit que 11, l’équation est toujours résoluble à l’aide des procédés connus pour les équations des second et troisième degrés; mais si cet exposant renfermait des facteurs égaux ou supérieurs à 11, la méthode de décomposition dont nousvenons de faire usage deviendrait insuffisante, car pour le facteur 11, seulement, il faudrait résoudre l’équation partielle
qui nous conduirait à l'équation réciproque du dixième degré
dr dr Alu rdv ds ru 7° ds LES LA rm
laquelle ne peut être abaissée qu'au cinquième degré. Mais s’il est impossible d'obtenir dans tous les cas l'expression théorique élémentaire des racines de l’équation F—1—0,
on peut au moins les exprimer toujours d’une mamère
générale à l’aide des fonctions circulaires (voy. Sinus) car, en vertu du théorème connu
(cos DÆsing\/—1}"—cosmp+sinmpy/—1 m et ® étant des nombres quelconques , si lon fait ; on mp=a2nr, d'où —=— 7 m r désignant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1 , On aura cos 2nr+- sin 227\/—1=1
tant que x sera un nombre entier positif, puisque dans ce cas
EQ
tOB2Nr= I , SN 2Hr—0 ;
on a donc aussi, dans le même cas, 2n . 2n ——\"# COS — 7 $in —7T —1 T1:
( mt he m V )
Substituant cette expression à la plaçe de l’unité dans l'équation binome, nons obtiendrons
on . 20 7m ya ={c0s 7 sin FrV=i) et, conséquemment , (À)
on on —- == cos —7 — sin —7\/—1, y ne T sio rV
En faisant donc suecessivement n=0,n=1,n=9, etc., jusqu'à n=m—1, dans cette dernière expression nous aurons des 2 racines de l’unité.
Si l'on prenait pour » des nombres plus grands que m—1 on retrouverait à l'infini les » premières valeurs, à cause de la périodicité des fonctions sinus et cosinus.
27. Il existe entre les racines de l’unité une relation importante que nous devons signaler, La première des racines imaginaires , correspondante à la valeur 7—=1, est, en la désignant par «
27% "DT ÿ = C0 +sin— V—1 = à or, d’après le théorème fondamental ,
on L IN = a 03 RU LAS — sin — —1—= {| COS — SLIL —V/ — cos 7 + TV ( TE in = V %
Ainsi toutes les racines de unité pourront être représentées par les puissances de cette première x, ou par la suite
«at, a, «3, af, etc... am—3
Cette propriété des racines de l’unité rend plus facile l'évaluation de leurs valeurs puisqu'il suffit de trouver la première racine imaginaire en faisant n — 1 dans l’expression (k). S'il s'agissait par exemple de l'équation binome
Y°—1=0 on aurait »m —6, et par conséquent la première racine
imaginaire serait
MERE RE J = cos gr +sin s"V—1
mais SE ED 7 De nn cos 47 = sin (1r—}r) — sin
car le sénus de 30° est égal à la moitié du rayon; on a donc, à cause de la relation générale cos’@+sin’® = 1,
sin? Fr=—1—}, et sin 5r—=V/1—5—1y3
d’où YVES nn
Telle est la première racine imaginaire. D’après cequi précède on aura donc pour les six racines de l’unité
peer - ET sous [ST ue
valeurs que nous avons déjà ebtenues, ci-dessus n° 22 par un procédé bien différent.
28. Examinons maintenant les racines de l'unité negalive , ou celle de l'équation binome
PH 1—0 On sait (voy. Sinus) que <os(2n+i)r=—1, sin (224 1)z—0 :
lorsque » est un nombre entier positif quelconque; ainsi on a
cos(an+i)r—+sin(2n+1)ry—1=—1
et, par suite,
y cos {2n+r1)r+ sin (2244)r\/—1
d’où y—V Je on+ Da | =
FV/—1.
Telle est l'expression générale les racines de l’unite
négauve, dont on obtiendra les valeurs en faisant successivement 2—0, n—1, 2—2, CtC., jusqu'à 27h En désignant par « la racine correspondante à n—0,
ou + SAT re cos — SIO=— —1—=6 Im Eu mt V on a
T CR Dr EL an+1—{ cos . sin — V/—1 U
