IR

(on +i)r . (ni, -— — cos DES EU V—1

c'est-à-dire que toutes les racines peuvent être encore exprimées par les puissancesde cette première et qu’elles

sont représentées par la suite

at, «5, 25,87, Hz GtET sir au, 29. Les racines de Punité tant positives que négatives

sont encore données par les expressions générales

2n 27 = Y—= €0$ — 7 — sin —7r V/—1 mn

ne on+1

— COS ———- 7 — sin Y Tr

on

nt

Li nn — rV/—1

car on a effectivement pour toutes les valeurs de x entières et positives

= cos 2nr Æ sin 277 W—1=I

cos (22 1)r + sin(an1)rV/—1 = —1

Mais il est facile de voir queles valeurs des racines correspondantes aux valeurs 70, 1, n—2, etc. , seront les mêmes que lorsqu'on prend le signe - ; seulement elles se présenteront dans un ordre différent.

Il résulte de cette considération que si

est une racine imaginaire de l’unité a—b\/—1

en est nécessairement une autre du même degré. On nomme racines conjuguées, de telles racines qui ne dif-

frent que par le signe du coefficient de W=1.

30. Si nous représentons généralement par a+ by —x une des racines imaginaires de l'équation binome æM—1—0, a—b VTT sera laracine conjuguée, etle premier membre de cette équation æ”—1 sera exactement divisible (15) par l’une et l’autre des quantités

EQ 581 æ—a—b\/— 1 æ—a+b\/—1 Ce premier membre sera donc aussi exactement divisible par le produit

(a—a—b\/ 5 Ya —a+bl/ 1) = x—0ax+a+b

ou, ce qui est la même chose, x°—2ax+a+4b? sera un facteur du second degré de l'équation proposée.

On peut donc facilement trouver tous les facteurs du second degré d'une équation binome en prenant le produit de ses facteurs conjugués du premier degré. Par exemple les cinq racines de l'équation &°—1—0, sont

coso + sino V—1

cos se+ sin $ vi

4 1 F 4 TE cos set sin FrV—1 cos de + sin es cos SAT re v—1

ce que l’on trouve en faisant successivement 2—0, 1, 2, 3 et 4 dans l'expression k, n° 26.

Or, en observant que (voy. Sinus)

cos Oo — sino — 0

cos se — cos(r + 57) cos (r—57)

= COS ET . 6 : 1 k ï SiNn-Xx =—— Sin TR) = =—SID(T—pe == sin(r+ 5) (r—3*) = —Ssin-T

8 3 3 COS 5 — cos(r+27) = cos (x — pr)