AIN LM COS

æ, représentant la distance OC du point O au centre du cercle , m» le nombre des divisions, et @ l’arc Am.

En effet, supposons le rayon AC égal à l’unité, et

prenons »=—/4 pour simplifier la démonstration. Nous aurons seulement les quatre lignes On , Or, O2 et O3.

Or On =0p + np =(&—pC)+np amor. pC+pC + np mais pG = cos : , et np = sin donc

On = x—27.c0s ? Pos À £ sin €

= x'—2%. COS A

On trouvera de même

O1 — [e — cos (= Ï + (22) tar co (Ts) — 1

Gi-[e ne (ss)

= x1—2T,COS (=) +1

mais, d’après le numéro précédent, en décomposant l'équation

xi—2xi,cosp#+1—=0 ;,

en facteurs du second degré on obtient

donc

af—oxi.cosb+r = On KXOr KO KXO3

34. En faisant @=r et 9=0, il est facile de déduire de ce théorème celui de Cotes dont la découverte fit faire, dans le temps, des progrès au calcul intégral. Nous allons le démontrer directement par la décomposition de l'équation binome en ses facteurs du second

degré.

Théorème. Si dans un cercle décrit du rayon AC—a on mène un diamètre quelconque AB, qu’à partir de l'extrémité À on divise la circonférence en un nombre pair 2m de parties égales et qu’on désigne pare, 1,2, 3, étCs, om—1, ces divisions , en faisant répondre o à l’origine À , et que de plus , d’un point quelconque O pris sur le diamètre ou sur son prolongement et du méme côté du centre que l’origine, or mène des droites à tous les points de division, le produit de toutes les droites menées aux numéros impairs est égal à la somine des puissances 72 du rayon et de la distance du point O au centre; le produit de toutes celles menées aux numéros pairs est égal à la différence des mêmes puissances.

Ainsi désignant par x la distance OC, ou a anbar—01xXO03XO5X07.,....etc.

am—an—OoxXO2XO4XO8......etc.

En effet, du point 1 abaissons la perpendiculaire 1P el nous aurons

EQ ; à — O1 —OP +:P° mais & étant le rayon du cercle nous avons

1P — a.sin arc Ar PC = a.cos arc Ar

et, deplus,

OP—OC—PC—x—a.cos arc Ar

nous avons donc, en désignant simplement l'arc Ar par AT,

O1 —x—2axcosAr-Ha?cos Àr-Ha’sin?Ar

= 2°—2ux cos A1+a?

On trouverait de la même manière

O2 — 2°—0ax. cos A24a?

O3 — x°—oax, cos A3+a

O4 —x—2ax. cos A4+a etc. etc.

mais r désignant la demi-circonférence du cercle, on a

Fr 27 37 Ar==—,A2——, A3——, mm mn m " etc. etc. ' LZ

Ainsi les carrés des lignes menées aux numéros pairs seront

2% = ai — 24X.C0S — + a?

(7 = X? — 24% .C0S - + ee

__ Gr O6 = x? — 24x.c0S + a*

et les carrés des lignes menées aux numéros impairs se-

ront

—3 Tr

O1 —x'—2ax.cos— + «& um -

O3 = x? — 24ax,cos — + æ& me

O5 = x—24ax.cos — + & m

etc, etc.

Or, si l’on décompose l'équation binome

LT me = O

EQ

en ses facteurs du second degré, on a évidemment, lorsque 72 est un nombre pair (p),

Dm — (x —a) : (a—aar.c0s a + & 4r

SA (= 24ax.c0s + œ) De EC...

et lorsque "7 est un nombre impair (q) Œm—am— (x —a) . (æ°—amcos = + a 4x 4 (a°—sarcos = + a

X(a°—sax.e0s = -L a mt M retciun.

M—1 > (a—saxcos. —7 + æ) m

Mais dans le cas de 7: nombre pair, parmi toutes les lignes menées du point O aux numéros pairs se trouveront les lignes OA et OB quirépondrontaux extrémités du diamètre et dont les valeurs sont

OA=x—a, OB=x+a

et le produit OA XOB—22— a :

ainsi dans ce même cas l’expression (p) devient

axm—am=OAXOBKO> XO4 XO6 .…... KO)"

Mais toutes les lignes O2, O4, O6, etc. Ofm—2) qui sont situées d’un même côté du diamètre ont leurs correspondantes O4, Od, etc., qui leur sont respectivement égales, de sorte qu’on peut écrireO2X Ob à la place

de O2, O4XO4 à la place de Of ‘etc. , etc. Nous aurons donc définitivement

am—am=OAKO2XO4etc... XOdXOBX etc.

c’est-à-dire que la différence des puissances æ" et am est égale au produit de toutes les lignes menées aux nurméros pairs.

La méme chose a évidemment lieu dans le cas de m nombre impair, car On a alors OA—x—a et par suite

zm—am=OAX O2" x Of > ET Of) =OAXO2XO4Xetc... XOZXObX etc

EQ 555

En décomposant l'équation binome æ#-+a"—o en ses facteurs du second degré nous trouverons, en suivant la même marche,

amtanm=O1 XO3KXOSX...KOaXOcKetc.

et ainsi se trouvent démontrées les deux parties du théorème de Cotes.

35. Equarions rÉcrPROQUES. Toute équation d’un degré quelconque qui, ayant une racine =a, en a une

I zu sue AT autre =) prend le nom d’équation réciproque.

On démontre aisément qu’une équation ne peut être réciproque que dans les cas suivans : 1° quel que soit Le degré, pair ou impair, si les coefficiens des termes à cgale distance des extrêmes sont égaux et de mémes signes ; 2° lorsque le'degré est pair et que le terme du milieu manque, ou lorsque le degré est impair , si les coefficiens des termes à égale distance des extrémes

son égaux e* de signes contraires

Ces équations sont remarquables parce qu’on peut abaisser leur degré de moitié et qu'il devient ainsi possible de résoudre celles des neuf premiers degrés à l’aide des procédés théoriques connus jusqu’à présent.

36 Soit, pour fixer les idées, l'équation réciproque du sixième degré (a)

Axf+Bzx+Cri+DxLCr+Bxr+A — o.

Il est d’abord facile de s'assurer que 4 St racine de

ns he ; I cette équation si a en est une, En effet substituons -

à la place de x, nous aurons

ï I Le I Le Li AH BT+ CE +DE+CT+B'+A=M

en désignant par M la valeur inconnue que prend le second nombre de l'équation par cette substitution. Or, en multipliant les deux membres de cette dernière par

aÿ , nous obtiendrons (b) A+Ba-+Ca+ Da Cai+Ba5+A a — My,

Mais a étant racine de la proposée et le premier membre de (b) étant précisément ce que devient (a) en y faisant x=a , nous ayous nécessairement

Maï=o , ou M—o donc le premier membre de l'équation (a) se réduit PES | . I ñ L aussi à zéro en faisant æ = - , et par conséquent : est a racine de cette équation.

On vérifierait de la méme manière le cas des expo-

556 EQ

sans égaux et de signes contraires lorsque l’équation est de degré impair, ou lorsque, étant de degré pair, le terme du milieu manque,

37. Ea divisant tous les termes de l'équation (a) par le premier coefficient A, on peut donner à cette équation la forme (c)

xiHax+bri+cxr Lbx Lax+i = 0.

c’est-à-dire qu’on peut ramener toute équation réciproque à avoir l'unité pour terme absolu. Nous supposerons, dans ce qui vasuivre, qu’on a opéré cette réduction.

39. Comme il suffit de connaître la valeur d'une racine pour obtenir immédiatement celle de sa réciproque,

à cause de la relation a X a = #0npeut prendre pour

inconoue auxiliaire la somme de deux telles racines, ou poser

et transformer en z l'équation en x, par le procédé suivant.

Nous supposerons d’abord qu'il s’agit d’une équation de degré pair et nous prendrons l'équation ci-dessus (c) pour exemple. Divisons tous les termes par une puissance de æ, moitié de la plus élevée, c’est-à-dire, par x, dans le cas que nous examinons, et rassemblons les termes affectés des mêmes coefficiens; (c) deviendra

(d) a+ + af +) U(e eo

mais en faisant

CA = —=Z 5 T nous aurons G+y=r x?+2+ on et, par conséquent x? + ee = 229 de même (x + Ly = 2 ou

3 Lara air +3 +

EQ

La

ce qui est la même chose que

a+ = six +)

Substituant donc ces valeurs de

dans l'équation (d) elle deviendra (e)

mHaz+(b—3):+c—2a—0

équation d’un degré sous-double dela proposée, dont la résolution fera connaître les six racines de cette dernière , puisqu’en désignant par &, 8, y les trois racines de (c), chacune de ces quantités substituée à [a place de z dans l'équation

= X+ Zu X—2X +1 = 0

fera eonnaître deux valeurs de x, en résolvant cette équation.

4o. En examiuant les valeurs, en fonction de z, des it I 1 quantités x + . x 0 cetc., sur lesquelles repose

cet akaissement des équations réciproques, il est facile d'arriver à l’expression générale (f).

ml (m3), An RL — 24 1 7" ym—6 +2 + M A te 5) BL L ctc.

dont la démonstration ne présente aucune difficulté.

41 Considérons maintenant les équations réciproques de degré impair, et pre ons pour exemple l’équation du septième degré (g)

x ax br +cxi+cxLbr+Hax+i = 0

On voit aisément que cette équation a une racine =—1,

car, substituant —1 à la place de & , on a évidemment

—i1+a—b+c—c+b—a+ti=o, ainsi le premier membre de (g

par æ+1 (voy.

vision On à pour quotient

2 + (a—i a + bat) L(o—b+a—i)xt +(b—a+i)x a +e—ne +1

équation réciproque du sixième degré de laquelle dé-

t exactement divisible

ci-dessus n° 15). Mais en opérant la di-

pendent les six autres racines.

EQ

Ainsi après avoir divisé le premier membre de toute équation réciproque de degré impair par le binome æ+-1 on obtiendra une autre équation réciproque de degré pair qu’on résoudra par les procédés exposés ci-dessus.

Quant à l'équation réciproque de degré impair dans laquelle les coefficiens des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires, on voit aisément qu’eMe a une racine =1, et qu’il faut par conséquent la diviser par x — 1, pour obtenir une équation réciproque de degré pair.

42. Si l'équation est de degré pair et que, son terme du milieu manquant , tes coefficiens des termes à égale distance soient égaux et de signes contraires, ellea une racine = 1, et en la divisant par le binome x—1, on obtient une équation de degré impair dont les coefficiens sont égaux et de mêmes signes, laquelle a, par conséquent, une racine==— 1, et est divisible par x+1. Donc la proposée estdivisible par (x—1)\x+1)=2x—1, et le quotient est une équation d’un degré pair, moindre de deux unités, résoluble de la même manière que celle du numéro 41.

43. Nous avons déjà vu (n° 23) un exemple de résolution d’équation réciproque , nous nous contenterons donc ici d’appliquer les règles précédentes à l’équation

A Lx Hoxi—2r—3r—1 = 0 Cette équation ayant une racine —1 , divisons son premier membre par x—1 et nous obtiendrons pour quotient à°+/4xiLGxr+G6x+ix+r , lequel, égalé à zéro, nous donnera l’équation réciproque du cinquième degré 2° + 4x Gr +Gx Lx trio

Cette dernière ayant une racine = — 1, divisons son premier nombre par æ+41, et nous obtiendrons défini tivement l'équation du quatrième degré

diH3x +32 +3xtr = o

qui nous fera connaître les quatre autres racines. Divisons donc tous les termes par x? et rassemblons ceux qui ont le même coefficient, nous aurons (k)

m4 (et) = 0

faisons maintenant

et substituons dans (4), cette équation deviendra

dont les deux racines sont

—3+ V5 nn —3\/5

Or, l'équation æ + mg = QU 257410, ré-

solue par rapport à x, donne ” m2 — 2 RAS

DNS Tu

Substituant successivement dans chacune de ces valeurs les deux valeurs de z, et rassemblant tous les résultats , nous aurons définitivement pour les six racines de la proposée les valeurs

nd en em €)