V5+1/(—2+6V5) PRE LE

ZT

av V2 +GVE)

44. Équarions TranscenpanrTes, Les diverses espèces d'équations que nous venons d’examiner,ainsi que toutes celles quine contiennent que des puissances entières des inconnues, se nomment généralement équations algcbriques , tandis qu’on donne le nom de transcendantes, aux équations qui renferment , soit des puissances irra: tionnelles telles que x", soit des exposans eux-mêmes indéterminés tel que ax, soit des fonctions dérivées des. variables telles que sin x ou log x etc., soit enfin des quantités infinitésimales, Ces équations se divisent en plusieurs classes que nous allons examiner rapidement.

: Nous devons faire observer ici que les équations qui ; contiennent des exposans fractionnaires sont a/gebriques et non transcendantes parce qu'il est toujours possible de faire disparaitre ces exposans. ’oy. Transrorma- TION.

45. ÉQuarTioNs EXPONENTIELLES. Ce sont des équations dans lesquelles les exposans des puissances sont inconnus, comme a*—b, xt=—m, etc. , etc. Lorsqu'elles sont

” 558 EQ simples, c'est-à-dire lorsque les exposans seuls sont indéterminés, on les résout facilement à l’aide des loga-

rithmes. :

Soit en effet l'équation a? —=b en prenant les logarithmes des deux membres on a log. at = log.b mais d’après la propriété des logarithmes log.ar=x log a , on à donc aussi

ee log.b x log.a= log.b, d'où x ne

0g.a et en cherchant dans les tables les logarithmes de b et de a, leur quotient fera connaître la valeur de #. Si l’on avait par exemple a—12 et b—20; ou l'équation

197 — 20 en prenant les logarithmes de 12 et de 20, on trouverait

log.20 1,3010300

LT = — log.12 1,0791812

Tr

L’équation & —c peut encore se traiter de la même

manière caren faisant br=% on a

désignant par» le quotient des logarithmes ; mais &x=—z, donne alors b*=m, d’où

c’est-à-dire

L'équation x — a présente bien plus de difficultés; car en prenant les logarithmes on a x log x=a, expression dont on ne peut dégager x que par des développemens en sérietrès-compliqués(voy. REsoLuTION et SERIE). Il est beaucoup plus simple et plus prompt de se servir ici de la règle de Fausse PosiriON (voy. ce mot), règle précieuse dans tous les cas où l’on ne peut aborder di-

rectement l'évaluation des quantités.

ÉqQuations DE DirrÉrENces. On les divise en équations aux différences finies et en ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

EQ

Par exemple, À et B étant des fonctions quelconques des variables rety,

A. Ar4+B,4y =0 est une équation aux différences finies, et ÀA.dzx + B. dy = 0

est une équation différentielle.

Ces équations se classent d’après l'indice le plus élevé des différences qu'elles renferment; ainsi on nomme équations du premier ordre , celles qui ne contiennent que des différences simples, Ar où dæ; équations du second ordre, celles qui contiennent des différences secondes , 4’x ou d’x , etc., etc.

Lorsque les équations de différences renferment la différence complète de la fonction primitive, on leur donne le nom d'équations totales ; par exemple @ étant unc fonction quelconque des trois variables x, y, =, la différence totale de cette fonction prise en faisaut varier successivement x , y et z, est de la forme (voy. Carcur DES DIFFÉRENCES , N° D1)

(EE jar (É9) a+ (Es

-et l'équation

A? AD Le +) pre (art Go) y+ (a) = 0

; j ; 2st une ÉQUATION TOTALE DE DIFFÉRENCES. :

De même l'équation

(ae) a+ (Leo

est une ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE TOTALE.

Si l'équation ne renferme pas la différence complète de la fonction primitive, elle prend le nom d’ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES PARTIELLESs

Enfin lorsqu'une imême équation contient en mème temps des différences finies et des différentielles, on la nomme ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES MÉLÉES.

Outre la classification de toutes ces équations par rapport à l’ordre des différences, il en existe deux autres fondées sur le degré de puissance auquel $e trouvent les différences , et sur l’ordre d’indétermination des variables. Ainsi une équation de différences d’un ordre que: conque est du premier degré, du second degré, ete., selon que les différences contenues dans cette équation sont au premier degré de puissance, au second degré, etc., et elle est du premier ordre d'indéterminaton, du second ordre, etc., selon qu’elle renferme un ,

deux, etc., quantités variables.

FQ

® Résoudre nne équation de différences, c’est déterminer l'équation primitive qui exprime la relation des variables équivalente à celle qui est exprimée par la proposée. Cette résolution est l’objet du CALCUL INTÉ- GrAL. P’oy. ce mot.

ÉQUATION (Astr.). On nomme généralement équationen astronomie la différence qui existe entre l'élément vrai d’un corps céleste etson élément moyen; c’est-à-dire laquantité dontil fautaugmenter ou diminuer sa position, calculée dans l'hypothèse d'un mouvement moyen uniforme, pour trouver sa véritablesituation résultante de son mouvement réel et inégal. Il y a plusieurs espèces

d'équations astrononiques.

Équariox pu remps. C’est la différence entre le temps vrai et inégal indiqué par le soleil , et le temps #0yen, marqué par une pendule bien réglée,

Le jour solaire, pris pour base de la division du temps par tous les peuples, est l'intervalle entre deux passages consécutifs du soleil au méridien , ou entre deux midis vrais; c’est cet intervalle qui, divisé en 24 parties égales, détermine le grandeur de l’heure civile et par suite celle des subdivisions de cette dernière, Mais la durée du temps écoulé entre deux passages du soleil par le même méridien, n’est pas constamment uniforme, et, par conséquent , les jours solaires ne sont pas égaux entre eux, d’où il suit qu’en divisant chaque jour en 24 parties égales, ces parties n’ont pas tous les jours la même grandeur ; de sorte qu’une bonne pendule dont toutes les heures sont nécessairement uniformes et qui est réglée de manière à compter exactement 24 heures pendant la durée d’un jour solaire déterminé, en marquant 7nidi au moment du midi vrai, ne s'accorde plus les jours suivans avec le soleil , et marque midi un peu avant où un peu après midi vrai, selon les circonstances. Cette inégalité, dont l'importance est peu sensible pour les usages civils, exerce une grande influence sur les calculs astronomiques qui réclament une mesure de temps fixe et invariable.

La différence de la grandeur des jours solaires est due à plusieurs causes que nous allons signaler. Dans sa course annuelle autour du soleil, la terre est animée de divers degrés de vitesse correspondant aux différentes distances où elle se trouve de cet astre. Cette vitesse est à son maximum dans la partie de l'orbite la plus rapprochée du soleil ou au périhélie, tandis qu’à l’aphélie elle est au minimum. Comme nous transportons au soleil lui-même le mouvement de la terre, il nous paraît se mouvoir sur l’écliptique justementavec les vitesses variables de la terre, de sorte qu’à certaines époques de l’année il semble décrire en un jour un arc de 61" 11”, tandis qu’à d'autres cet arc n’est que de 57' 11". Mais la rotation de la terre autour de son axe, ou la rotation

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apparente de la voûte céleste qui en est la conséquence,