EU

contribuërent le plus aux progrès de la géométrie, A1 cultiva la théorie des sections coniques avec assez de’ succès et d'éclat pour qu’on ait pu lui attribuer plus tärd l'invention mème de ces courbes ; dont il se seivit pour résoudre le problème de la duplication du cube: Enfin l’imposant témoigrage d’Archimède ne laissé aucun doute sur l'importance et la valeur des travaux? géométriques d'Eudoxe. Dans son traité de Spherd et Cytindro, Yilustre mathématicien de Syracuse, désigne £Eadoxe comme l’auteur de la mesure de la pyramide et du cône. et le. présente comme s’étant spécialement occupe de la contemplation des solides. Quelques écrivains et entr’autres Théon de Smyrne, lui font honneur de la théorié des proportions exposées dans le cinquième livre d'Euclide. Mais c’est surtout comme astronome et comme géographe qu'Eudoxe acquit une grande célé+ brité, Sénèque attribue à un long séjour que fit en Égypte le philosophe de Gnide les connaissances élevées qu'il montre dans cette science. Il suppose même qu'il en rapperta lathéorie des mouvemens des cinq planètes que les Grecs n'avaient point encore considérées à cette époque. Mais cette opiuion de Sénèque (Quæst. nal.

t. 7.) paraîtra au moins erronée si lon considère que plusieurs siècles après, Hipparque manquait d’observations pour établir cette théorie qui n'avait point encore été mème entrevuepar Jes Grecs. Eudoxe calcula pendant plusieurs années des éphémérides célestes, qui eurent de la renommée dans la Grèce et qu’on affichait dans leslieux de réunion les plus fréquentés tels que le prytanée d’Athènes. On lui attribue également une hypothèse physico-astronomique que les astronomes modernes se sont donné la peine de critiquer avec une minutieuse sévérité. Il avait construit unesphère dont les cercles étaient sans doute trop multipliés, et au moyen desquels il cherchait à rendre compte des apparences des planètes,

Mais à une époque où le mouvement de la terre était inconnu, Eudoxe rendit un grand service à la science cn appliquant à l'astronomie les démonstrations physiques. Deux ouvrages d'Eudoxe, dont l’un était la description des constellations, et l’autre un traité de leurs levers et de leurs couchers, connus et cités par les anciens astronomes , sont entièrement perdus, il en est de même de ses travaux géographiques que Strabon

rappelle souvent evec éloges et sur lesquels il s’'appuye

pour donuer de l'autorité à ses propres opinions. Long-

temps après Eudoxe on montrait aux étrangers qui visitaient Guide une tour qu’il avait fait construire pour

y observer la marche des astres. IL mourut, vers l'an

350 avant J.-C., chargé de gloire et d’années, après

avoir été le législateur de sa patrie.

EULER (Léonanp). Le nom de cet illustre géomètre doit briller à jamais dans les fastes de la science auprès des uoms glorieux de Descartes, de Leibnitz, de Newton.

Euler fat , en effet, un de ces hommes de génie que leur spontanéité appelle à mener Phumanité dans dé graides ét nouvelles voies , et qui sanctifient l'autorité du savoir par uné philosophie élevée et la pratique des plus nobles vertus. Ses ouvrages embrassent pour ainsi dire dans tout leur ensemble les diverses branches des inathématiquesetils marquentpourla plupartd’entrelles la production d'importantes découvertes où de quelque progrès remarquable ; nous en‘indiqueronsles caractères généraux. Sa vie, sans avoir étéagitée par les passions; sans'avoir été troublée par de grandes infortunes me fut cependant pas toujours paisibie; nous en rappellerons les principales circonstances.

Ce fut à Bâle, le 15 avril 1707, que naquit Léonard Euler ; son père Paul Euler, ministre du saint évangile ét qui était devenu en 1708 pasteur de Riechen , fat son premier maitre. Il avait étudié lui-même les mathématiques sous Jacques Bernouilli, c’est-a-dire qu’il s’attacha à développer dans son jeuné élève les hauts principes de morale qui épurent la raison en même temps qu’il exerça son intelligence par l'étude d’une science sans laquelle il est impossible de s'élever à la connaissance réelle d’aucune vérité. Le jeune Euler était destiné par son père au ministère évangélique, mais il renonca à ce projet lorsqu’à l’université de Bâle, son fils se distingua par son application et ses heureuses dispositions qui lui acquirent de bonne heurel’arnitié de Daniel et de Nicolas Bernoulli, disciples ét déjà rivaux de Jean Bernouilli, leur illustre père. On sait qu'en 1727, à l’âge de 19 ans, Euler obtint un accessit pour un mémoire sur la mdture des vaisseaux , sujet d’un prix proposé par l'Académie des sciences. Ce prix fut obteuu par Bouguer, géomètre distingué de ce temps ct qui exercait depuis dix ans les fonctions de professeur d'hydrographie, dans une ville maritime. Cette première illustration de la vie scientifique d’Euler mérite d’être remarquée, car elle donne une idée de la direction et de la force de son génie, Le jeune citoyen de Bäle, dépourvu de toute connaissance pratique dans la matière qu’il traitait, ne put lutter, en effet , qu’à l’aide de la science, contre son redoutable concurrent.

Verscetteépoque, Euler futappeléàSaint-Pétersbourg par ses amis Daniel et Nicolas Bernouilli, dont il s'était séparé avec peine deux ans auparavant. À peine arrivait-il en Russie qu'il apprit l'accident funeste arrivé à Nicolas Bernouilli et la mort de l’impératrice Catherine I"°, circonstance ficheuse et qui mettait en question l'existence de l’Académie récemment fondée par cette princesse. Euler obtint le titre de professeur et succéda ; en 1733, à Daniel Bernouilli, qui revint alors dans leur commune patrie. Le sombre despotisme du gouvernement russe, sous le ministère, de Biren, dut influer sur le caractère d’un jeune homme naturellement

mnt e

grave et élevé dans une républiqué. Euler venait dés

pouser Mile Gsell ; file d'un peintre | son compatriote,

amené en Russie par Pierre KI se Hivra tout entier &

l'étude et cacha sa vie dans le sanctuaire de la science et des affections privées. Si c’est à ceite circonstance qu'il dut l’opiniätreté pour le travail, dont il donna depuis tant de preuvés ; c'est aussi à élle qu'il faut attribuer cette tristéssé profonde et cette! vague inquiétude de Vavenir qu'on remärqua toujours-dans cet homme dé mœurs si donces etsi pures et doué de tant de bienveillancé: Cette impression fut si forte sur son esprit qu’en 1941, lorsqu Euler se rendit à Berlin , la reine de Prusse

qui l’accueillit avec-une noble bonté ne put obiënir de

lui que des monosylläbes, et comme elle s’étonnait de la timidité et de l'embarras d'un savant aussi distingué , Euler lui répondit naivement : — Madäme;, c’est que je viens d'un pays où; quand ôn parle on est pendu. Il retourna néanmoibs en 1766 dans ce pays, auquel il était d’ailleurs attaché par des lieris dificilés à briser , mais il ne fit à cette époque que déférer aux vœux-de l'impérat'ice Catherine IE, dont le règne brillant excitait alors Yadmiration de l’Europe. <

Dès Yannée 1735 Euler avait été attéint: d’une ôphtalmie x assujetti, il perdit alors un œil et fut bientôt menacé

la suite d’un travail forcé auquel il $était

d’une cécité complète. Les craintes de ses amis et de sa famille ne furent que trop justifiées par l'évènement, il devintaÿeugle, mais il conserva cependant la faculté de distinguer de grands caractères tracés sur une ardoise avec de la craie. Cette douloureuse circonstance ne fit rien perdre à Euler de sou amour pour la scieyce et de son ardeur pour létude etl continua de se livrer aux trayaux multipliés qui ont illustré sa vie. Ses fils ou ses élèves copiaient ses calculs et écrivaient sous sa dictée le reste de ses mémoires; et si, dit Condorcet, on en juge par leurnombreetsouvent parle géniequ’on y rewouve, on pourrait croire que l’absence encore plus absolue de toute distraction ; et la nouvelle énergié que ce recueillement forcé donnait à toutes ses facultés, lui ont fait plus gagner que l’affaiblissement de sa vüe n’a pu lui faire perdre:dé facilité et dé moyens pour le travail. On a dit avec,raison qu'Euler, en succtdant à Nicolas Bernouilli, avait continué l'école de Heibnitz; cette expr ession caractér ise, en effe (er d’ une manièr € gé né rale les productions de cet illustre géomètre ; qui out exercé unesi gruide ufluëencé sir les progrès de la science, Nous w’entreprendrons point ici d'exposer même l'énoncé des immenses travaux d'Eûler; il faudrait, pour en présenter digrrement Je xésumé ; foriner un tableau méthodique des dhfféréntes branthes des sciences mathématiques, en marquant pour chacune les progrès, les changemens heureux qu'elle doit au génie d'Euler , cette méthode qui à èté suiyie oudu moins indiquée par Condorcet

EU 571 dans l’élépe académique de l'homme célèbre qui fait le sujet décette notice, nous entraîncrait à d’inutiles répétitions, püisque la théorie des diverses branches de la science qui ônt fait ne de ses travaux doit. être exposée tour à tour dans d’autres articles de ce-dietionnaire,

Euler paraît s'être attaché surtout à perfectionner la science du calcul , en écartant de plus en plus les considérations de pure géométrie que l’école de Newton affectionnait. Génie profond , inventif, doué d'une émi- | nente sagacité , il étendit considérablement la théorie des suites ét créa le calcul algébrique dés fonctions circulaires. L'analyse indéterminée et la théorie des nombres, qui depuis Diophante n'avaient été cultivées avec quelque succès que par Bachet de Méziriac et Fermat, doivent à Euler de nombreux accroissemens, et le premier il démontra les théorêmes dont l'illustre Fermat w’avait donné que l'énoncé. Il traita entièrement la méchanique par l'algèbre ct en augmentant ainsi l'étendue de cette science, il perfectionna beaucoup le calcul intégral et le calcul différentiel. Il sempara avec tout son génie du calcul intégral aux différentielles partiches, dont la pensée paraît appartenir à d’Alembert, mais dont le premier il a donné la notation. Il embrassa tour à tour dans des traités qui sont devenus célèbres, la science navale et ladioptrique. On lui doit des essais importans sur la théorie générale de la lumière ; sur celle du son, de l’aimant, de la cohésion des corps, des frottemens, sur le calcul des probabilités, et sur l’arithmétique politique,

Euler n’éprouva point ces douloureuses injustices, ces poiguantes déceptions qui troublent trop souvent la vie des hommes supérieurs, au contraireses talens furent noblement appréciés et son génie a reçu des hommages dignes de lui, En 156o les Russes , ayant pénétré dans la marche de Brandebourg ; Pillèrent une métairie qu'Euler possédait près de Charlottembourg. Mais le général Toltieben, qui les commandait, s'empressa de réparer la perte que lillustre géomètre avait pu essuyer ét l'impératrice Elisabeth, sa souveraine, ajouta un don considérable à l'indemnité genéreuse qui lui avait été Eù r77 tersbourg atteignirent la maison d'Euler aveugle et

accordée: 1, les flammes qui dévoraient Pé-

souffrant, Pierre Grimon, de Bâle, se dévoua pour le salut de son célèbre compatriote; il pénétra jusqu'à lui, le chargea sur ses épaules et le sauva au péi il de sa vie. Sa bibliothèque et ses meubles furent consumés, mais les soins empressés du comte Orloff sauvèrent ses manuscrits. Cette maison, qui était un des bienfaits de l'impératrice , fut rétablie à ses frais : et, cette attention, au milieu du trouble et des horreurs d’un grand désastre , ajoute Condorcet, l'éloquent panégyriste d'Euler , est uu des hommages les plus vrais et les plus flatteurs que

572 EX jamais l'autorité ait rendu au génie des sciences. Voici comment cet écrivain raconte les derniers momens de l'illustre associé de l'Académie des sciences. Il avait con: servé, dit-il , toute sa facilité et en apparence toute sa force, Aucun changement n’annonçait que les sciences fussent menacées de le perdre. Le 7 septembre 1783, après s'être amusé à calculer sur une ardoise les lois du mouvement ascensionnel des machines aérostatiques, dontla découverterécente occupaitalors toute l'Europe, 1l dina avec M. Lexell et sa famille, parla de la planète d’'Herschell et des calculs qui en déterminent l'orbite; peu de temps après il fit venir son petit-fils, avec lequel il badinait en prenant quelques tasses de thé, lorsque tout-àcoup la pipe qu’il tenait à la main lui échappa et il cessa de calculer et de vivre. Teile fut la fin d’un des hommes les plus grands et les plus extraordinaires que la nature ait jamais produits, dont le génie fut également capable des plus grands efforts et du travail le plus continu.... Euler avait alors quatre-vingt-cinq ans, il avait eu treize enfans et trente-huit petits-enfans. Ever (Jean-Albert), son fils aîné, à Saint-Pétersbourg en 1734 et mort dans la même ville en 1800 , a été un géomètre distingué. Eurer (Charles) et Euzer (Christophe), son second et son troisième fils, avaient également des connaissances étendues en mathématiques, mais leurs talens ne peuvent soutenir le rapprochement de la gloire de leur père.

La multiplicité des écrits d'Euler ne nous permet pas d’en donner ici laliste, qui formerait à elle seule une bibliographie considérable. Fuss, son élève, et le gendre d’un de ses fils, en a dressé une table générale à la fin de l'éloge qu'il a prononcé le 28 octobre 1783 à l’Académie de Pétersbourg. On la trouvera à la fin de 2° volume de l'édition des Znstitutions du calcul différentiel d’Euler, donnée à Pavie, en 1787, par Grégoire Fontana. Elle existe aussi dans le Dictionnaire de Mensel,

EUTOCIUS , d’Ascalon, géomètre célèbre, vivait sous l’empereur Justinien vers l’an 540 de notre ère. Il ne nous reste de lui que ses commentaires sur Apollonius et sur quelques écrits d’Archimède. Ces travaux sont encore fort estimés des savans. On ignore absolument l’époque de la naissance, celle de la mort d’Eutocius et les événemens de sa vie.

EVANOUIR (4{g.). faire évanouir une quantité est la même chose quela chasser ou la faire disparaître d’une expression. Ÿ’oy. ÉLrmiNArION et TransFORMATION.

EVECTION (Astr.). Inégalité dansle mouvement de la lune produit par l'attraction du soleil sur ce corps et dont l'effet est de rapprocher ou d’éloigner la forme de son orbite de celle du cercle.

Cette inégalité, découverte par Ptolémée, influe par-

ticulièrement sur l'équation du centre (voy. ce mot) qu’elle diminue dans les sysigies et augmente dans les quadratures. Voy. Lune et PERTURBATION.

EXCENTRICITÉ (Gcom.). Distance entre le centre et le foyer d’une ellipse. Voy. Ezzrrse.

EXCENTRICITÉ (Astr.). Dans l’ancienne astronomie on désignait sous le nom d’excentricité la distance de la terre au centre de l'orbite d’une planète; mais depuis Képler ce mot n’est plus employé que pour exprimer la distance entre le centre de l’orbe elliptique d’une planète ou d’un satellite, et son foyer occupé par le soleil ou par la planète principale.

Les observations fournissent plusieurs moyens pour déterminer l’excentricité d’une planète. Celle de la terre par exemple, ou, ce qui est la même chose, celle de l’orbite apparente du soleil, pourrait se conclure de la différence des diamètres apparens de cet astre. En effet le diamètre du soleil devant paraître d'autant plus petit que la distance réelle est plus grande, et d’autant plus grand que cette distance est plus petite , il suffit de connaître le plus grand et le plus petit diamètre apparens du soleil pour connaître le rapport entre la plus grande et la plus petite distance, puisque ce rapport est l'inverse de celui des diamètres apparens. Or, on sait que ces diamètres sont :

Plus grand diamètre apparent = 32/35"’,6 — 1955'’,6 Plus petit diamètre apparent —3131* —41891"

et, par conséquent que leur rapportest celui desnombres 1955,6 : 1891. Ainsi, désignant par D la distance moyenne de la terre au soleil , ou le demi grand axe de l'orbite solaire, et par e l’excentricité de cet orbite, D+e représentera le plus grand rayon vecteur , ou la plus grande distance, et D—e le plus petitrayon vecteur, ou la plus petite distance ; on aura donc

et, par suite,

Ainsi, en prenant, comme c’est l’usage , le demi grand axe pour unité, l’excentricité de l'orbite solaire = 0,016794 :

Lorsqu’on connaît l'équation du centre , on peut cal-

culer approximativement l’excentricité par la proportion :

57° 17’ 44,8 {l'arc — rayon) est à la moitié de la plusgrande équation , comme le rayon =1, est à l’excentricitg

la valeur résultante différera d'autant moins dela véri« table que l'excentricité sera plus petite. Par exemple, sachant quela plus grande équation du centre est pour le soleil de 1° 55" 26”, on tirera de cette proportion

c— moi Ce = ee 016794 57°1744",8 206264",8 ?

L'excentricité et la plus grande équation du centre sont deux quantités tellement liés entr’elles qu’on peut toujours calculer l’une au moyen de l’autre. Euler , qui s’est occupé de ce problème (voyez les Mémoires de l'Académie de Berlin, tome 2), a donné les deux sériessuivantes , dans lesquelles a désigne la plus grande

équation et e l’excentricité :

20 1 Ù Le 599 - LE DEC RP AMEN VPN sde 11 587 der NUS fe ee Da an ee

a doit être exprimée en parties du rayon dans la seconde série, ce qui se fait en réduisant l'angle a en secondes et en divisant ensuite par 206264",8, ou par le nombre de secondes que contient l’arc égal au rayon. Dans la première série a est donnée en parties du rayon el par une opération inverse de la précédente on peut la convertir en degrés.

On voit que lorsque e est très-petit on peut négliger sans erreur sensible tous les termes qui suivent le premier, et qu'on a alors

égalité identique avec la proportion ci-dessus,

Les excentricités des planètes sont constamment variables, entre certaines limites, comme tous les autres élémens de ces corps (voy. OrmiTe et PLanères). Voici le résultat des calculs les plus exacts.

Noms

Ercentricités en parties des Planètes,

du demi grand axe,

Mercure....... 0,2055149 0,0068607 0,0167836 0,0933070 0,0891300 0,2578480

MÉQUS.. ss pie 4 La Terre... 24 Mars...

VOSTR Se oees ele JUNOND. ms.

GCÉT ES rose se PASS ee

0,0784390 0,2416480 Jupiter........ 0,0481621t Saturne........ 0,0961505 Uranus........ 0,0466794

Lalune.,.,.... 0,0548447

Les données pour Vesta, Junon, Cérès et Pallas se rapportent au 1° janvier 1820, et pour les autres planètes au 1°" janvier 18or.

Variations séculaires de l'excentricité.

Mercure...., Vénus.......

La Terre...:.

Mars...

Jupiter...

Saturne......

Uranus...... —0,00002 5072

Le signe + indique une augmentation et le signe — una diminution.

EXCENTRIQUE ( Géom.). On donne le nom d’excentriques à deux cercles ou à deux-sphères qui, quoique renfermés l’un dans l’autre n’ont pas le même centre, par opposition aux concentriques qui ont un seul et même centre. P’oy. CONCENTRIQUE.

EXCLUSION (4rith.). La méthode des exclusions , ainsi nommée par son auteur le mathématicien Frénicle qui vivait du temps de Descartes , a pour objet la solution numérique des problèmes en procédant par voie d'exclusion, c’est-à-dire, en examinant quels sont les nombres qui ne peuvent satisfaire aux conditions demandées et en les excluant successivement jusqu’à ce qu’on trouveenfin celui qui résoud la question. Cette méthode, à l’aice de laquelle Frénicle-traitait avec succès les problèmes numériques les plus compliqués, excita jadis l'admiration de Fermat et de Descartes ; mais aujourd’hui les progrès de la science ont fait abandonner son usage. Nous renverrons donc nos lecteurs, pour son exposition, aux Mémoires de l’Académie des sciences,

EXÉGÈSE numerique. Ancien terme dont Viète s’est servi pour désigner la recherche des racines des équations.

EXHAUSTION. Nom de la méthode dont les anciens faisaient usage pour la découverte et la démonstration des vérités géométriques. P’oy. Mérnonr.

EXPONENTIEL. Les quantités exponentielles, sont des puissances dont l’exposant est indéterminé ou variable, telles que ax ,x*, etc.

Le calcul exponentiel est l'ensemble des procédés à l’aide desquels on trouve les différentielles et les intégrales des quantités exponentielles. Poy. DiFFÉRENTIEL et INTEGRAL.

Ou nomme équation exponentielle (voy. ce mot) équation dans laquelle 1 entre des quantités

“onto > mt

514 EX exponentielle; comme on donne anssilenom de courbes

exponentielles aux çourbes dont l'équation est Spor: nentielle.

EXPOSANT (4{g.). Nombre qui désigne le degré d’une puissance ou d’une racine. Ÿ’oy. ALGÈBRE 19, et NOTIONS PRÉLIMINAIRES 7e

On nommait jadis exposant d’une raison, le rapport de deux quantités (60y. Rapport), et exposant de rang le nombre ou l'érdice qui exprime la place qu'occupe un terme dans une suite quelconque. Aujourd'hui le mot exposant est consacré exclusivemént äux puissances.

EXPRESSION (41/g qui représente la génération d’une quantité. Par exem-

.). On donse ce nom à la formule

ple dans les égalités

Fe a PV La ar Den et <a + V/a—1 sont les expressions de + et de y.

EXTERNE ({ Ur ). On nomme angle externe. ou extérieur l'angle formé par un des côtés d’une figure rectiligne quelconque et le prolongement, hors de la figure , du côté adjacent.

La sommie de tousles añglesexternes d’un polygoné est équivalente à quatre angles droits. foy. Pozycone.

L’angle extérieur d’un triangle est équivalent à la somme des deux angles intérieurs opposés. Voyez ANGLE, 9.

EXTRACTION DES KACINES (Arith. et Alg.).

Une des six opérations élémentaires de la science des nombres. Elle a pour obiet de trouver la base d’une puissance connue.

Nous avons vu (ALGÈBRE, 19 et 48) que le troisième

et dernier mode élémentaire de la coustruction des. nombres a pour forme générale