B VE = À
dans laquelle la base À prend le nom de racine ; tandis
que Bet C conservent les désignations précédentes.
Le dernier mode élémentaire de la construction des
nombres donne donc, comme les modes précédens,.
EX
naissance. à deux opérations ou à deux règles dont la première a pour objet de calculer C au moyen de A et dé B, c’est-à-dire de calculer une puissance dont on connait Ja base et l'exposant, et dont la seconde a le but inverse de calculer À au moven de Bet de C, c’està-dire de calculer wne ‘racine dont on connaît la puissance et l’exposänt. La première de ces ppérations se nomme élévation aux puissances, elle a été tr aitée ail leuis (boy. ÉLévarion) ; la seconde se nomine extraction des racines ; nous allons en donner ici l'exposition.
1. Pour considérer la question dans toute sa prénéralité désignons par A; B; C, D, éte. des nombres quelconques simples ou primitifs, c’est-à-dire des nombres dont les valeurs ne surpassént paso; et alors nous pourrons représenter par (1)
A(10}#+ B(10}n—1 + Cro)”--2 + ete... Y(10)'ÆZ(10)
un nombre composé quelconque ; Z étant le chiffre des unités et À celui des plus hautes dixaines. Foy: Ariru- MÉTIQUE, 113 ÉCHELLE ARITAMÉTIQUE ct NUMÉRATION. Proposous-nous d'extraire la racine du degré x, du nombre (1) et supposons d'abord, afin de rendre l'opération plus facile, que la racine cherchée n'a que deux chiffres. Sinous représentons para le chiffre des dixaines et par à eelui des unités, cette racine pourra s'exprimer ar
ao) + b(ro), ou simplement par
a.10 + b et nous devrons avoir l'égalité (2).
(a.10+b}*= A(1o}"+B(r10}"—1:+#+etc. . +2
Ceci posé, en développant le premier nombre de l'égalité (2) par la formule du binome (voy. BivomE DE Nrwrox) nous avons (3)
(a.10+b)h=an(1o)" nant. (1o"—1b
en 1)
'an—1{10}—?.b? + etc.
ce que nous pouvons mettre sous la forme (4)
(a.ro+ bn — (and rohHA:(10)—1+# A (10)?
+ Aro) Hetc....
en désignant par A:, À,, À, les coefficiens des puissances (10)"—*, (10)? , etc.
ordres qui résultent de la réalisation des ealculs, apres qu’on a reportés les dixaines d’un ordre sur l'ordre sui
vant plus élevé. 3 désigne donc ici les dixaines de
; ou les chiffres des divers
l’ordre (10}—* s'il y en a.
Or, la quantité a4-9 pouvant être conrposée d'unités
et de dixaines, représentons encore par À, B', C', etc.,
EX les chiffres au moyen desquels elle est représentée dans notre système décimal de numération et nous pourrons poser, p étant l’exposant des plus hautes dixaines,
art = A'(1oÿ+BGop=i ete, M1) 4-N' (10)
substituons cette valeur. dans (4); nous obtiendrons (5)
| (a.104+b} = A'(1o}#+r4-B'(10)}+arx dE etc... na AS Æ#Airo)n—t LA (ro) etc...
égalité qui doit être identique avec (2). Nous avons douce nécessairement
m—=p#n, d'où p—mR, et de plus
A'=A, B—B, C'—C, D'—Didesgtei
Ainsi les chiffres A B', C''etc., qui expriment la quantité a+, sont les premiers chiffres À , B, €, etc. du nombre proposé depuis celui de Fordre le plus élevé (ro” Nous avons donc {6}
usqu'à celui de l’ordre (ro} inclusivement.
jusq )
ar +0—A(10)"4B(10)#—-4C(10)#-24etc.+P(ro)"-r
Aïnsi, en admettant qu’on connaisse d’avancé les puis= sances du degré »2 des nombres simples, 1, 2,3, 4, 5; 6, 7, 8,0, la plus grande de ces puissances, que con: tiendrait le second membre de légalité (6) sérait &r et la racine connue de cette puissance serait «, c'est-à-dire le chiffre des dixaines de la racine cherchée.
2. On voit donc ici la nécessité de calculér préalablement une table qui soit pour l'extraction des racines ce qu'est celle de Pythagore pour la division. Lid cobstruetion de cette table ne présenteaucane difficulté.
Ayant écrit sur une même ligne verticale les neuf chiffres de nôtre numération, on multipliéra sSuCCESSivement chacun de ées chiffres par lui - même et on écrira les résultats à côté, de manière À former une seconde colonrie vérticalé qui Contiehira conséqueme ment Les $econdes piissances dés ‘nombres de a
piémière. On multipliéra ensuite Châcun des nothbres
dé la seconde colonne par son correspondant dé là pre
mière colotine et'on formera avec Tes produits une trot: sièëmé colonne qui contiendra les #roiWbmies püissances des nombres de la première. En multipliant de nouveau les nombres de la troisième colonne par leurs correspondans de la première, ‘on forméra la colonne des quatrièmes puissances, et ainsi de suite! 241" -01)
