Problème. Trouver la racine cinquième de

Ici »—5. On séparera cing chiffres à droite, et on cherchera dans la table la cinquième puissance immédiatement au-dessous de 64 ; c’est 32 dont la racine est 2. À côté du reste de 64—32, on écrira les cinq chiffres retranchés 36343; on séparera quatre chiffres à droite, et on divisera 323 par 5.2=—80. Le quotient étant 4, on élèvera 24 à la cinquième puissance, mais comme le résultat de l’opération donne 24° = 7962624 c’est-à-dire un nombre plus grand que le proposé, ce qui indique que le quotient 4 est trop grand, on lui substituera 3, et en élevant 23 à la cinquième puissance, on trouvera 23°—6436343 ; ainsi 24 est la racine de mandée.

7. On peut facilement étendre ce procédé à la recherche d’une racine composée d’un nombre quelconque de chiffres. Mais avant d'aborder cette question, remarquons que À étant un chiffre quelconque de notre système de numération, la puissance n de ce chiffre (x étant unnombre entier) ne peut contenir tout au plus que achiffres, car en supposant même que A soitle plus grand des chiffres, c’est-à-dire A=g=10—1 il est évident que 9" ou (10—1 doit être plus petit que 10"; orona

10710, 107—100,107— 1000,10{—10000, etc.

d’où l’on voit que 10" a na chiffres , ainsi 9" ou (10—1) ne peut donc avoir au plus que x chiffres.

EX

Cela posé, sion vouäit extraire la racine cubique de 45382463 , après avoir séparé 3 chiffres à droite, il en reste à à gauche, 45382; les dixaines de la racine ont donc plusieurs chiffres puisque, d’après ce qui précède, la troisième puissance d’un seul chiffre ne peut contenir que 3 chiffres au plus. Supposant alors qu’il s'agisse seulement de trouver la racine troisième de 45382, on agira comme dans les exemples précédens, et comme 45382 n'est pas une troisième puissance parfaite, on trouvera 35 pour cette racine approchée. Retranchant la troisième puissance de 35, de 45389, on aura 2507 à côté duquel écrivant 463, chiffres séparés à la droite de la quantité proposée, on formera un reste sur lequel on agira d’après la règle donnée, en considérant les dixaines 35 comme ne formant qu’un seul chiffre. Le quotient de la division donnera 6, et on aura par conséquent pour la racine demandée 356.

45,382,463 3 plus hautes dixaines

Te: É quotient

reste général25074,63 3675—3X 32 6 quotient.

reste

La troisième puissance de 36 étant 46656 on ne prend que 35 pour les dixaines.

La troisième puissance de 356 étant 45115016, on voit que la quantité proposée n’est pas une troisième puissance exacte et que sa racine est entre 356 et 357.

8. On peut conclure de ce qui précède, la règle générale suivante pour l'extraction des racines. Pour extraire la racine du degré quelconque 7 d’une quantité donnée, il faut : 1° diviser la quantité en groupes de x chiffres en commençant de droite à gauche. 2° Chercher la plus grande puissance # contenue dans les chiffres du dernier groupe, au moyen de la table des puissances. La racine de cette puissance sera le chiffre de l’ordre le plus élevé de la racine cherchée. 3° À côté de la différence de ce dernier groupe et de la puissance qu’il contient , abaisser le groupe suivant, séparer »—1 chiffres à la droite, et diviser le restant par x fois la #—1 puissance du chiffre trouvé. Le quotient sera le chiffre de la racine qui vient après le premier déja connu. 4° Élever les deux chiffres connus à la puissance #, et retrancher le résultat des deux premiers groupes sur lesquels on vient d'opérer. À côté du reste, abaisser le troisième groupe, séparer ensuite #—1 chiffres à droite, et diviser le reste par rx fois la puissance »—1, des deux chiffres connus. Le quotient sera le troisième chiffre de la racine. 5° Élever les trois chiffres connus à Ja puissance », retrancher le résultat des trois premiers grou-

EX 577 pes , abaisser le quatrième groupe à côté du reste, etc. Et ainsi de suite.

On trouvera ainsi successivement tous les chiffres de la racine en ayant soin de diminuer les quotienslorsqu’is sont trop grands.

9. Lorsque les quantités dont on veut extraire les racines ne sont pas des puissances parfaites, on ne trouve, en faisant l’opération d’après la règle donnée, que les racines des plus grandes puissances contenues dans ces qnantités, et il peut se faire alors que la différence, entre la puissance de la racine trouvée et la quantité donnée, soit assez considérable pour faire croire que la racine trouvée est trop petite d’une unité. Dans le dernier exemple précédent la différence 264627 qu'il y a entre la quantité proposée 45382463, et la troisième puissance de 356,se trouve dans ce cas ; on pourrait donc croire que 357 donnerait une troisième puissance plus approchée de 45382463. Comme pour vérifier ce doute, il faudrait élever 356 à la troisième puissance et que dans plusieurs cas cela peut entraîner à de Tongs calculs, ilest essentiel d’examiner si l’on ne peut abréger ces calculs, en trouvant un caractère qui indique le cas où la racine trouvée est trop faible d’une unité.

D'abord pour la troisième puissance, en désignant par À la racine trouvée, la différence qu'il y a entre A

et (A1) est 3A243 A+, car (A+ 1) —AS+3A1H+3A LI

Ainsi tant que la différence, entre la quantité donnée et la puissance de la racine trouvée, est moindre que 3 A?+3A—+Y, c'est-à-dire , est moindre que trois fois la seconde puissance de cette racine, plus trois fois cette racine plus un, la racine en question n’est pas trop faible.

Par exemple , dans le cas cité on a

3X(G356) + 3X(356)+1 = 381277 >264627, ainsi la racine 351 n’est pas trop faible d’une unité.

S'il s'agissait d’une seconde puissance, comme

(ai) =æ+aatr, on aurait (abri) —a—aa+r.

Le reste ne doit donc pas surpasser le double de la racine trouvée plus un.

Pour une cinquième puissance on aurait

(a+) —a = baiÆHroa+roa+5atr et en général pour une puissance quelconque 4

m{ri—1) (a+ in am = mans ù SRE VU

am—2 +

(m—1)(m1—2 1 DC Dans etc, et,

578 CX expression dans laquelle en faisant 72 Cpaite, 20, DE

6, etc. , on obtient tous les cas particuliers.

10. Les propriétés des quantités radicales, peuvent servir à simplifier, dans certains cas, l'opération de l'extraction des racines. Si on voulait extraire par

exemple la racine 6° d’une quantité À ,en observant que