ED : CE :: BD : AB
de laquelle on tire (v0y. ProronrTion });
or, connaissant AB, il suffit de lui ajouter BI ou DG, hauteur du plus petit jalon, pour avoir la hauteur cherchée AT. Supposons, par exemple, que la distance mesurée IG soit de 80 mètres, FG de 10 mètres, la hauteur du premier jalon CF de 3 mètres, et celle du second, DG, de 1": 255. On aura CE —CF — DG —
*3—1,275—1%,795; ED—FG=10 ; et BD = IG = 80... Donc
in 1.725 X 80
ajoutant à cette dernière valeur BI = DG = 1,255, on aura définitivement pour la hauteur cherchée Al=,15%,005.
On pourrait également faire cette opération ec un seul jalon; mais il faut alors, après avoir planté ce jalon CF, trouver exactement le point H, déterminé
par le rayon visuel AC. Les deux triangles semblables ATH, CFH fournissant la proportion
IH : FH::: AI : CE on en tirera immédiatement it LIEX CE FH Ainsi, substituant dans cette expression les valeurs de IH, CE et FH, qu'on aura préalablement mesurées avec exactitude, on trouvera celle de AT.
Le problème de mesurer une hauteur accessible sans faire usage de la trigonométrie, peut encore se résoudre par la réflexion des rayons visuels opérée dans un miroir, où par le moven de l'ombre que projettent les objets; mais ces deux méthodes ne fournissent que des approximations peu précises, et nous nous contenterons de donner une idée de la dernière.
Pros. Il. Mesurer la hauteur AB d’une colonne par le moyen de l'ombre qu'elle projette. (Pr. 1, fig. 4.)
Mesurez la longueur BC de l'ombre; plantez un jalon DE, et mesurez également sa hauteur, ainsi que la longueur EF de son ombre. Les longueurs des ombres étant entre elles comme les hauteurs des objets, vous aurez la proportion (7)
EF : DG:::,BCi: AB d’où vous tirerez facilement la valeur de AB.
La détermination de AB sera d’autant plus exacte que les ombres auront été plus nettes, et conséquemment plus faciles à mesurer exactement; de plus, il est important de les mesurer en même temps, car leurs lengueurs variant à chaque instant ; les rapports de ces longueurs ne sont réellement égaux aux rapports des hauteurs des objets que dans un même instant. Ainsi, pour plus d’exactitude, il faut commencer par marquer les points F et C sur le terrain, et mesurer ensuite les lignes BC et, EF.
Dans le cas présent, si l’on avait trouvé BE — 3 mèt., BC — 65 inèt., et EF — 4":,533 , en substituant ces valeurs dans la proportion (#72), on obtiendra
AB == — = — 3 mètres.
Pros. II. Mesurer une hauteur accessible BC à
l’aide d’un graphomètre ou d'un instrument propre à relever les angles. (PL. IL. fig. 2.)
Ayant choisi unestation À, et mesuré sa distance AC, au pied du mur dont on veut connaître la hauteur, on y placera le graphomètre en lui donnant une position verticale. On dirigera ensuite l’alidade de manière à apercevoir le sommet B dans le rayon visuel des pinnules, ou dans l’axe AB de la lunette, si l’instrument en est muni, et on relevera sur le limbe le nombre des de-
AL
grés de l'angle BAC. Cela fait, le triangle rectangle ABC donnant la proportion ( Foyez Tnic.)
R : tang BAC :: AC : BC, on en conclura
AC X tang BAC
BC in :
R désignant le rayon. En opérant par les logarithmes, cette expression devient :
Log. BC — Log. AC + Log. tang BAC — Log. R.
Supposons, pour exemple, la distance AC = 60 mètres et l'angle BAC — 29° 50’, alors, par la formule précédente,
Log. AC ou Log 80 — 1,9030900
Log. tang 29°.50" — 9,696:745
Le logarithme de BC répondant au nombre 39,798, la hauteur BC est donc de 39," 508. Ajoutant à BC la hauteur du graphomètre, ou aura la hauteur totale du mur.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que le terrain sur lequel on a mesuré AC, était de niveau avec le pied du mur; si cela n’avait pas lieu, la ligne visuelle AC étant toujours parallèle au terrain ( fig. ci-contre), letriang le ABC ne serait plus rectangle en C. Dans ce cas, ayant déterminé le point C tel que CN soit égal à la hauteur AM du gra-
phomètre, on mesurera AC ou MN , ainsi que les deux angles BAC et CAM; mais les lignes AM et BN étant parallèles, les angles alternes internes CAM et ACB sont égaux ( J’oyez ANGLES ); et par conséquent connaissant deux angles du triangle ACB, on déterminera le troisième angle ABC, en retranchant la somme de ces deux angles de deux angles droits. ( f’oyez Anezes.) Or dans le triangle ABC, on a la proportion
Sin ABC : sin BAC :: AC : BC qui donne, pour calculer BC, l'expression
AC. sin BAC nr des sin ABC Ou, employant les logarithmes, Log. BC = Log. AC + Log sin BAC — Log. sin ABC. Avant effectué le calcul, il suffit d'ajouter à BC la hauteur du graphomètre pour avoir la hauteur demandée BN.
AL
une hauteur inaccessible CD.
Pros. IV. Mesurer (PL. IL. fig. 3.)
Ayant choisi et mesuré une distance MN bien de niveau , on fera deux stations, l’une en M et l’autre en N, mesurant avec le graphomètre les angles CAD et DAB de la première, ainsi que les angles ABC et ABD de la seconde. Cela fait, dans le triargle ACB on calculera le côté AC par la proportion
Sin ACB : sin ABC :: AB : AC
et l’on aura, pour la valeur de ce côté,
AB. sin ABC Tim sin ACB ?
l'angle ACB étant égal à deux droits, moins les deux angles observés CAB, ABC.
Dans le triangle ADB, on calculera également le côté
AD par la proportion
Sin ADB : sin ABD :: AB : AD
qui donne, vour la valeur de ce côté, l'expression
AB. sin ABD
Dee 7 sin ADB ?
l'angle ADB étant aussi égal à deux droits, moins les deux angles observés DAB, ABD.
Ayant effectué les calculs, on connaît les deux côtés AC et AD du triangle ACD, ainsi que l'angle observé CAD, compris entre ces côtés, il ne s’agit donc plus que d'obtenir le troisième côté CD de ce triangle. Pour cet effet, on remarquera que, connaissant l’angle CAD, on aura la somme des deux autres angles ACD et ADC , en le retranchant de deux angles droits, et que la différence de ces mêmes angles est donnée par la proportion
AC + AD : AC -— AD :: tang £S : tang 3 D,
S désignant la somme, et D Ja différence des angles ACD, ABC. Or, connaissant la somme et la différence de deux quantités, on obtient la plus grande en ajoutant la moitié de la somme à la moitié de la différence, ct la plus petite en retranchant de la moitié de la somme la moitié de la différence. En effet, soient M et N deux quantités quelconques, £ M + © N sera la moitié de leur somme, et ? M — EN la moitié de leur différence : on a évidemment
