M : N:: AB : AD

Menons la droite BD, et du point C où elle rencontre le cercle, menons AC, le problème sera résolu.

Démonstration. Les triangles ABC, ABD sont équiangles, car l’angle B est commun, et l’angle BAD est par construction égal à tous les angles dont le segment est capable, et conséquemment à l’angle BCA. Ces deux triangles sont donc semblables et donnent

BG: AG: AB: AD: M: N les deux droites, AG et BC, ont donc le rapport demandé.

Pros. II. Inscrire un carré dans un triangle donné. ANALYSE.

Soit ABC le triangle donné. Supposons le problème résolu , et que DEFG soit le carré inscrit : par les point A et E menons la droite AE prolongée jusqu’à ce ‘qu’elle rencontre en O Ja ‘ligne CO parallèle à la base AB, et abaissons la perlpendiculaire Of sur cette

base prolongée s'il est né-

cessaire ; abaissons également la perpendiculaire CH qui sera la hauteur du triangle. Les triangles CAO et DAE étant semblables, ainsi que les triangles OAI et EAF, on a les deux proportions