AO : AE :: CO : DE AO : AE :: OI : FF

Mais CO est égal à OI, donc DE —EF = DG = GF; ainsi, la figure DGEF ayant ses quatre côtés égaux est un carré, puisque ses angles sont droits.

Ces exemples sont suffisans pour faire connaître la différence des méthodes analytique et synthétique, et pour donner une idée de la manière dont les anciens les employaient. Nous traiterons à Particle APPLICATION, des moyens nouveaux d’analyse géométrique. Quant à

’analyse algébrique, ses procédés seront successivement décrits dans les divers articles qui se rapportent à la science des nombres.

ANALYTIQUE. Ce qui appartient à l'analyse. Lagrange a voulu remplacer le calcul différentiel par une méthode artificielle, à laquelle il a donné le nom de Calcul des fonctions analytiques. Le but de ce géomètre, si recommandable d’ailleurs par ses brillantes découvertes, était d'éviter la considération de l'infini, dont le calcul différentiel reçoit sa signification, et de ramener ainsi les principes de cette branche de la science des nombres aux principes élémentaires de l’algèbre. C’est dans cette intention qu’il désigne sous les noms de fonction prime , fonction seconde, fonction uerce, etc., les dérivées différentielles d’une fonction quelconque fx, d’une variable x, qui entrent dans le développement de Taylor :

DE 6 LC LS Là + =

dx? ‘1.2

Se+d=fi+

Les fonctions prime, seconde, ctc., n'étant autre chose

que les coefficiens différentiels de ce développement, savoir :

! dfx (4 df. La 12 d fx Sr JE = Es sf = » etc.

Outre que les procédés du calcul des fonctions analytiques sont loin d’avoir la simplicité de ceux du calcul différentiel, la méthode de Lagrange n’est évidemment qu'une transformation, un emploi indirect de ce dernier calcul, et ses fonctions dérivées n’ont par ellesmêmes aucune signification, ainsi que nous le prouve- Calcul différentiel et Calcul des

fonctions analytiques.

rons aux articles

Les diverses espèces de quantités qui forment l'objet de la science des nombres sont autant de réalités intellectuelles, présentant des ordres différens, soumis à des lois différentes. Vouloir ramener toutes ces quantités aux mêmes considérations élémentaires, c’est non-seulement méconnaître , tout à la fois, la nature de la science et ses immenses progrès, mais C’est encore matérialiser l’esprit humain, lui ravir ses plus nobles facultés, et imiter le grossier anatomiste qui, le scalpel à la main, croit trouver dans la mort les secrets de la vie.

ANAMORPHOSE ( Persp.). Projection monstrueuse ou représentation d’une image défigurée, sur un plan ou sur une surface courbe, et qui cependant parait régulière et faite avec d’exactes proportions, étant vue d’un certain point. Voyez PERSPECTIVE.

ANAXAGORAS, de Clazomène en lonie, fut l’un des successeurs de Thalès dans la direction de l’école lonienne, fondée par ce célèbre philosophe : il commença à acquérir de la réputation vers l'an 500 avant J.-C. Il s’est principalement occupé de géométrie et d'astronomie. Ses livres, qu’on regarde comme les plus anciens de la Grèce savante, ne sont point venus jusqu’à nous, et nous n'avons guère une idée de ses travaux que par les écrits de Plutarque et de Platon, qui les ont accidentellement mentionnés. On attribue à Anaxagoras la découverte de la cause des éclipses de lune; il est du moins certain que ses opinions sur ce phénomène, qui parurent hardies et peu conformes à la cosmogonie de son temps, lui attirèrent d’injustes persécutions. Comme Galilée, le sage de Clazomène fut le martyr de la vérité. Il est douloureux de penser que de tout temps les hommes ont repoussé les lumières, et ont été disposés à condamner ce qu’ils ne peuvent comprendre. Il est probable qu'Anaxagoras à partagé les opinions erronées de l’école Tonienne sur la plupart des grands phénomènes dont les lois nous sont aujourd’hui mieux connues; mais cela ne prouve rien contre son génie, ni contre celui des philosophes de l'antiquité, dont les travaux , qui marquent le point de départ de la

science, inspireront toujours sous ce rapport un vif

intérêt. F n’est pas au reste bien certain que nous inter-

prétions avec exactitude le sens de leurs propositions scientifiques ; et d’ailleurs toutes les idées qu’elles résument n’ont pas été détruites par l’expérienceet les progrès de la science. Ainsi que ses prédécesseurs, et le célèbre fondateur de l’école Tonienne , Anaxagoras regardait le soleil comme une masse enflammée, mais dense et semblable à la terre, opinion qui est conforme aux lois de la gravitation universelle. Quand ce philosophe soutenait que les cieux étaient de pierre, voulait évidemment dire que tous les corps célestes étaient d’une matière pesante et à peu près semblable à celle de la terre. On demandait à Anaxagoras, contre ce sentiment sur la matérialité des astres, comment il arrivait que ces corps si pesans ne tombaient pas. Il répondait à cette objection, que la cause en était dans leur mouvement circulaire, et que leur chute serait immédiate si ce mouvement cessait. Cette opinion remarquable est la plus ancienne trace , qu’on trouve dans l’histoire de la science, de la connaissance de la force centrifuge qui retient les corps célestes dans leur orbite. Anaxagoras, à qui l'on a aussi attribué des recherches sur la.solution du problème de la quadrature du cercle, mourut à Lampsaque, vers l’an 469 avant J.-C., dans un âge avancé. (Poyez Tuarës, pour les détails historiques relatifs à l'école Tontenne:)

ANAXIMANDRE, de Milet, né vers l’an 620 avant J.-C. , successeur de Thalès dans la direction de l’école Tonienne, a attaché son nom aux premiers progrès des sciences. Quelques auteurs l'ont rangé, d’après des documens historiques peu certains, parmi les philosophes qui ont connu le mouvement de la terre. Mais il est probable que les opinions d’Anaximandre à ce sujet n'avaient rien de plus décisif que celles du fondatèur de l'école d’'Ionie. Ce géomètre se persuada néanmoins, dans ces jours d'enfance de l'astronomie, que le soleil était une masse enflammée , aussi grosse que la terre; et quoique cette opinion ne füt en lui que conjecturale, elle doit faire concevoir une idée avantageuse de son génie, car elle prouve que plusieurs siècles après il eut eu peu de peine à s'élever jusqu'aux réalités dont la science est maintenant en possession. Diverses inventions ingénieuses qui eurent lieu à cette époque, et qui furent le résultat des travaux de l’école Tonienne , ont été attribuées à Anaximandre. Il parait étre l'inventeur de la sphère, c’est-à-dire qu'il construisit un instrument qui représentait le système céleste, tel qu’on le concevait de son temps. Mais l'invention qui a le plus contribué à illustrer le nom d’Anaximandre est celle du gnomon. 11 s’en servit pour observer les solstices. Les sciences mathématiques doivent enfin à Anaximandre les cartes géographiques et les horloges solaires. I mourut l'an 545 avant l'ère chrétienne.

T4 AN ANAXIMEÈNE, de Milet, disciple d'Anaximandre, et

son successeur à l’école Ionienne, suivit avec éclat les traces de ses prédécesseurs. Pline lui attribue l'invention des cadrans solaires, qui appartient évidemment à son maître Anaximandre. L'incertitude qui règne dans la chronologie de cette époque, et le peu de documens historiques qui nous sont restés de ces âges reculés, ne permettent guère que des conjectures à l'égard des faits qui intéressent le plus l'histoire de la science. Anaximène s’occupa spécialement de gnomonique et de géographie, et sa position à l’école de Thalès a naturellement fait attacher son nom aux premiers progrès de ces sciences. On ignore la date précise de la naissance de ce philosophe; mais il succéda à Anaximandre vers l'an 545 avant J.-C., et il est probable qu’il était alors parvenu à l'âge mür. On croit qu'il mourut vers l'an 500 avant la même époque.

ANDERSON (AzEexanpre), géomètre écossais, qui vivait dans les premières années du XVII siècle, a dû sa réputation à l'amitié du célèbre Viète, dont il était aussi le disciple. Il a rendu aux sciences mathématiques un seryice important, en publiant plusieurs ouvrages de géométrie et d'analyse, laissés par ce savant mathématicien, Alexandre Anderson possédait aussi fort bien l'analyse ancienne, et il en a donné la preuve dans son Supplementum Apolloni redivivi (Paris 1612), travail dans lequel il a suppléé à tout ce que Ghetaldi avait Jaissé d’incomplet dans son ouvrage.

ANDROIDE ( Mec. ). Du grec éwp, génitif, évèpes, homme, et d'tides, forme, ressemblance; automate qui a reçu une forme humaine, et qui, au moyen de ressorts disposés dans son intérieur, exécute divers mouvemens et diverses fonctions qui appartiennent à l'homme. Albert-le-Grand construisit, dit-on, uue de ces machines, qui, malgré le génie qu’elles permettent de supposer dans leurs auteurs, offrent plus d'intérêt à la curiosité, qu'elles ne sont réellement utiles aux progrès de la science. Dans le dernier siècle, Vaucanson s’acquit, par un ouvrage semblable, une célébrité qui depuis n’a point été dépassée. Le flüteur automate que coustruisit, en 1736, cet habile mécanicien, excita à Paris la plus vive admiration: où courut en foule pour voir ce chef-d'œuvre de mécanique, exécuté avec une rare perfection. L’automate jouait plusieurs airs sur la flûte, et imitait parfaitement tous les mouvemens d’un musicien. L'Académie des sciences, dont Vaucanson était membre, nomma dans son sein une commission pour examiner l’androïde, à qui la renommée était loin de se montrer défavorable, car elle lui accordait une foule de facultés qu'il n’est pas au pouvoir de la science de donner à la matière. Cette commission constata que le mécanisme employé pour faire rendre des sons à la

flûte, exécutait rigoureusement les mêmes opérations

qu'un véritable musicien, et que le mécanicien avait imité à Ja fois les effets et les moyens de la nature, ayec une exactitude etune précision auxquelles on n'avait pas imaginé qu'il fût possible d’atteindre.Vaucanson a publié un mémoire qui a reçu les éloges de l’Académie, et où l'on trouve la description de son joueur de flûte. (Voyez Mémoires de l'Académie des sciences, 1738, etl'Encyclopédie, au mot Anxproïne.) Quelques années après, Vaucanson construisit un nouvel androïde qui n'eut pas moins de succés : c'était un joueur de tambour provençal, qui tirait en même temps des sons d’une flûte, et frappait sur un tambour.

L’androïde n’est qu’une sorte d’automate. On donne

généralement ce dernier nom à

toute machine qui porte en elle le principe de son mouvement, et surtout à celles qui imitentle mouvement des corps animés. Il vient du grec #èréwaros, spontané, de soi-même, composé d’adros, soi-même, et de pau, je veux, je désire. L'histoire fait mention d’un assez grand nombre d’automatest mais ces relations, la plupart fort douteuses, ne donnent aucune idée des moyens d'exécution employés par les auteurs de ces machines. Archytas construisit, dit-on, un pigeon qui pouvait voler; mais le célèbre Vaucanson acheva un canard, dont le mécanisme Jui faisait exécuter toutes les fonctions du boire, du manger et de la digestion, ou du moins de la trituration des alimens,

Les développemens qu’on pourrait donner à la des. cription de ces ingénieuses machines ue peuvent entrer dans cet ouvrage; on les trouvera dans les recueils que nous avons cités plus hant. Cependant nous ne pouvons passer sous silence une découverte que fit Vaucanson en construisant son flûteur , et qui peut intéresser la science. Ce célèbre mécanicien, en combinant les vents dont il avait besoin pour produire l'effet qu’il cherchait, reconnut que la petite flûte est un des instrumens qui fatiguent le plus la poitrine des joueurs. Il faut que les muscles de ce viscère fassent un effort équivalent à un poids de 56 livres (28 kïlog.), puisqu'ils ont besoin de cette force, ou de cette pesanteur, pour produire le si d'en haut, note la plus élevée que puisse atteindre cet instrument.

ANDROMÉDE (A4str.). Constellation située dans l'hémisphère boréal. ’oyez CONSTELLATION,

ANELAR ou ANHELAR (Astr.), Nom de l'étoile marquée « sur la tête de Castor, constellation des Gémeaux.

ANÉMOMÈTRE (Mec.)( de dysues, vent, et de wérper, mesure). Machine pour mesurer la force du vent. Le premier instrument de ce genre paraît avoir été inventé par Wolf, en 1708, et perfectionné ensuite par Martin.

Dans les Transactions philosophiques de 1766,

M. A. Brice expose une méthode qu'il a pratiquée avec succès, pour mesurer la vitesse du vent par l'ombre dés nuages qui passent sur la surface de la terre.

M. d'Ons en Bray a donné, dans les Mémoires de l'Académie des sciences, annéé 1734, la description d'un anémomètre de son invention, qui marque sur un papier les différens vents qui ont soufflé pendant vingtquatre heures avec les temps de leur durée, et leurs vitesses différentes.

Où trouve la description de plusieurs autres instrumens du même genre dans l'Encyclopédie britanniquë.

ANÉMOSCOPE (Mcc.). Machine qui indique les variations du vent.

ANES ( Astr.). Étoiles de la constellation du Cancer ou de l'Écrevisse, marquées 7 et d dans les catalogues. Elles sont désignées sous le nom d’Anes dans l'Æ{/mageste de Ptolémée.

ANGLE ( Géom.). On nomme angle, l'inclinaison d’une droite CB vers une autre AB À c qu’elle rencontre quelque part en B.

Le point de rencontre B est le som-

met de l'angle, et les droites elles-

mêmes AB et CB en sont les côtes.

Comme on peut prolonger indéfini-

ment ces deux droites sans que leur

inclinaison mutuelle en soit affectée,

il est visible que la grandeur d’un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés, mais seulement de la différence de leurs directions.

Un angle est donc d'autant plus grand que la différence des directions de ses côtés est plus grande, et son maximum de grandeur a licu lorsque ces côtés, ayant des directions opposées, ne forment plus qu’une seule ligne droite. (Noriows pRÉLIMINAIRES, 29.) De cette seule considération on peut facilement déduire, ainsi que nous allons le faire, tous les rapports des angles entre eux. Quant à leurs noms particuliers, pour ne pas nous répéter, nous renvoyons aux Norioxs PrÉLimI- NAIRES.

1. Tuéonème. La somme: de deux angles contigus est équivalente à celle dé deux angles droits.

La somme de deux angles contigus est égale au maximum de grandeur des angles : car l'angle DAC est, en d’autres termes, la dif- 2 férence de la direction de B * PU TUE DA, avec la direction de AC ; l'angle BAD est également la différence de la direction de BA avec celle de AD; donc la somme de ces angles ou de ces différences, est égale à la différence de la direction de BA avec celle de AC, c'est-à-dire à un maximum.

Il suit de Jà, que la somme de deux angles contigus est

AN 75 égale à la somme de deux au- D L tres angles contigus quelconques. Or, les angles droits ( ft- F guré 2) sont deux angles con- Ba RAT PAe c

tigus; donc la somme de deux angles contigus est équivalente à celle de deux angles droits.

2. Corollaire. Tous les angles droits sont égaux entre eux; car un angle droit est la moitié de deux angles contigus.

3. Tuéorèur. Les angles verticaux formés par deux droites AG, DB, qui se coupent en un point O, sont

égaux. A D La somme des deux angles contigus \ :

AOD, DOC, est équivalente à celle \

des deux autres angles contigus DOC, Ne

COB; c’est-à-dire qu'on a l'égalité AOD +- DOC — DOC + COB. Retranchant DOC de part et d'autre, /

il reste AOD = COB.

On a, par les mêmes raisons, AOB = DOC. On voit immédiatement, par l'inspection äe la figure, que la somme des quatre angles AOD , AOB, COB, DOC, est équivalente à celle de quatre angles droits. On aurait évidemment toujours la même somme , en divisant ces angles par des droites menées au point O; comme on n'aurait aussi qu'une somme équivalente à deux angles droits, en divisant deux angles contigus par un nombre quelconque de droites menées au sommet commun. On exprime ces propriétés de la manière suivante :

- 4. Tous les angles formés autour d’un point pris sur une droite, et situés d’un même côté de cette droite, ont pour somme deux angles droits.

5. Tous les angles formés autour d’un point, et situés dans toutes les directions, tant d'un côté que de l’autre d’une droite qui passerait par le point donné ; ont pour somme quatre angles droits.

G. Tniorèus. Les angles correspondans formés par la rencontre de deux paral- A c léles AB, CD, ct d’une trans- | versale EH, sont égaux.

Les droites AB et CD étant paralliles, ont une même di- f rection; conséquemment, la E différence de la direction de AB avec celle de EH est identique- L D ment la même que la différence de la direction de CD avec celle de la même droite EH. En d'autres termes, les deux angles correspondans AFG, CGH, sont égaux. Ilen est évidemment de même des autres angles corres-

pondons AFE ct CGE , EFB et FGD, BFG et DGH.

Fa ConozLatrE. L'égalité des angles correspondans entraine nécessairement celle des angles alternes internes , ainsi que celle des angles alternes externes.

En effet, les angles verticaux FGD, CGH étant

égaux (3), on a en même temps les deux égalités : FGD=CGH et AFG—CGH.

D'où l’on conclut FGD = AFG, et ainsi de même pour les autres angles alternes in-

ternes.

Quant aux angles alternes externes, on a aussi les deux égalités :

EFB = FGD

et FGD —CGH,

desquelles on tire

EFB = CGH; c'est-à-dire l'égalité des deux angles alternes externes EFB et CGH : raisonnement qui s'applique aussi aux autres angles alternes externes.

8. Turorimx. La somme des trois angles d'un triangle quelconque ABC est équivalente à deux angles droits.

Prolongeons la base AC jusqu’en D; et, par le point C, menons la droite CM parallèle au côté AB. Nous aurons autour du point C les trois angles ACB, ACM, MCD, dont la somme est égale à deux angles droits (4), égalité que nous exprimerons par

ACB + ACM + MCD — 2 droits.

Mais les angles ABC et MCD sont correspondans par rapport à la transversale BD, et les angles ACM et BAC sont alternes internes par rapport à la transversale BD;

‘on à donc (3)

BAC — ACM et ABC — MCD.

Substituant BAC et ABC à M la place de ACM et de MCD

: dans la première égalité, elle deviendra B en

ACB + ABC + BAC — 2 droits.

Donc la somme des trois angles du triangle ABC est égale à deux angles droits.

9. CorozLaire. L’angle extérieur ACD, formé par le côté AC d'un triangle, et le prolongement du côté adjacent BC, est équivalent à la somme des deux angles intérieurs opposés CAB, ABC.

Car CAB — ACM, ABC — MCD; donc

CAB + ABC — ACM + MCD — ACD.

10. CorozLaAIRE. Un triangle ne peut avoir qu’un angle droit , et, à plus forte raison qu’un angle obtus.