CoroLLaIRE. Dans un triangie rectangle, la

somme des deux angles aigus est égale à un angle droit.

12. Turorime. Dans un méme cercie ou dans des cercles égaux , les angles égaux qui ont leurs sommets au centre interceptent des ares égaux sur la circonfe-

rencee

Soient les deux cercles égaux B et », et les angles égaux ABC, abc, qui ont leurs sommets aux centres de ces cercles. Les arcs AC et ac interceptés par les côtés de ces angles sont égaux.

Car , si l’on suppose Je cercle b transporté sur le cercle B, de manière que les centres coïncident, et que le rayon ab tombe sur le rayon AB, ces deux cercles, étant égaux, coincideront parfaitement dans toutes leurs parties; mais alors, comme l'angle abc est égal à l'angle ABC, le côté be tombera sur le côté BC; et comme ces côtés sont des rayons égaux, le point c se trouvera sur le point C; et, conséquemment, les arcs ac et AC coincideront parfaitement. Ces arcs sont donc égaux.

Réciproquement; les ongles qui ont leurs sommets au

centre, el que interceptent des arcs égaux sur la circon-

Jtrence, sont égaux.

Soient les deux arcs égaux AC, ac; les angles ABC, abc, dont les côtés interceptent ces arcs, sônt égaux; car, s'ils ne l’étaient pas, on pourrait t ujours construire un angle abd plus grand ou plus petit que abc, et qui serait égal à ABC ; mais, d’après la proposition directe les ares AC et ad seraient égaux. Or, on a supposé AC — ac: on aurait donc aussi 4e = ad, ce qui est absurde. Donc, puisqu'il ne peut y avoir un angle plus grand ou plus petit que abc, qui soit égal à ABC, ces deux angles sont nécessairement égaux.

13. Turorème. Les angles qui ont leurs sommets au centre d'un méme cercle ou de cercles égaux sont entre eux comme les arcs interceptés par leurs côtés.

Soient les deux angles MBN, bn, qui ont leurs sommets aux centres des deux cercles égaux B et b, et dont les côtés interceptent les arcs MN et 77 : on a la proportion

MBN : nbn :: MN : mn.

Car les arcs MN et mn étant mesurés. à l’aide d'un arc quelconque Mr, pris pour unité de mesure, nous pouvons supposer que le premier contient 2 fois la mesure

Mir, et que le second contient x fois cette même me-

AN

sure, ou que le rapport de ces deux arcs soit le mème que celui des nombres », »; c’est-à-dire qu’on ait la proportion

MN :mn::mi:n.

Or, les nombres » et x peuvent être rationnels ou irrationnels; où, ce qui est la même chose, les deux arcs MN et mn peuvent être commensurables ou incommensurables. Dans le premier cas, divisant l’arc MN en m parties égales, Mr,12,23, 34, 45, etc., l'arcman contiendra x de ces parties 7211, 12, 23, 34, 45, etc. Si par les points de division on mène les droites Br, B2, B3,B4 ,etc.. b1,b2, b3, b4 , etc., l'angle MBN sera partagé en »2 angles égaux (12), et l'angle bn sera partagé en » angles égaux; le rapport de ces deux angles sera donc celui de »2 : 2, ou le même que le rapport des arcs MN et mn. On a donc effectivement

MBN : mnbn :: MN : mn.

Si les deux arcs MN et nn étaient incommensurables, c'est-à-dire s’il n'existait aucun arc Mi, quelque petit qu'on puisse le supposer, qui fût capable d’être contenu un nombre exact de fois dans MN et dans mn , le

rapport de ces arcs serait néanmoins encore le même

que celui des angles MBN et bn; car le rapport

serait dans ce cas égal à une quantité irrationnelle que nous supposerons d’abord égale à y/3, pour faire mieux saisir l’esprit de la démonstration: on aurait donc

MN :mn::1:y3.

V3 est égal à la fraction 1,732050817, etc. , la suite des chiffres décimaux étant infinie.

Or, on pourrait prendre 1, ou 1,7, ou 1,73, Ou 1,732, etc., pour valeurs approchées de y/3; et il est évident que plus on prendrait de décimales et plus on approcherait de la véritable valeur. Prenant donc 1,7 pour