A PAR MN

première approximation, Je rapport Fe sera à peu

. I 10 els .

près —— ou Fr et, divisant MN en 10 parties égales, )

l'arc in contiendra 17 de ces parties, plus un reste quelconque on; alors, supposons menéc la droite bo , uous aurons , d’après ce qui précède,

MBN : m1b0 :: MN : m0.

Prenons actuellement 1,73 pour valeur approchée de

AN Fr

V3,lera rat eu près ——, ou; di < PRO re EP ER UE

1, visant l’arc MN en 100 parties, l’arc mn contiendra 173 de ces parties, plus un reste o'r évidemment plus petit que on. Supposons encore menée la droite bo",

nous aurons aussi MBN : mbo' :: MN : mo’.

En prenant 1,732 pour valeur approchée de y3, nous tomberions de même sur un arc o’m qui donnerait

MBN : mbo" :: MN : mo’.

et ainsi de suite,

On voit aisément que les arcs mo, mo', mo", etc., augmentent successivement , et diffèrent de moins en moins de l'arc proposé »1r , et qu’en prenant pour valeurs approchées de 1/3 les quantités 1,7; 1,73; 1,732; etc., on est tombé sur des angles z2bo, mbo', mbo', etc., dont les rapports avec l'angle MBN sont les mêmes que ceux de leurs arcs respectifs 20, mo', mo", etc. , avec l'arc MN. Il est évident qu’en prenant un plus grand nombre de décimales pour la valeur de \/3 on trouve rait toujours des angles qui auraient la mème propriété. Donc cela aura lieu pour un nombre quelconque de chiffres de la suite 1,320, et, par conséquent, pour la totalité de ces chiffres ou pour la quantité y3, qu'ils représentent. Ainsi, On a dans tous les cas

MBN : mbn :: MN : mn.

Pour généraliser cette démonstration, fondée entièremeut sur la nature des quantités incommensurables ou irrationnelles (Foy. ces mots), il suffit de remarquer