M—I IT

37 30 Réalisant ensuite les opérations, nous trouverons

D Le 0,0309742

Pour la première fraction intégrante. .

Pour les deux premières. . . .

Pour les trois premières. . . . . . . . ns

AN La dernière valeur ne diffère de la véritable, 4

que de deux millionièmes.

La table des annuités peut encore abréger tous ces calculs, lorsqu'ils se rapportent à des questions comprises entre ses limites; car, après avoir divisé 4692 f. 53 c. par 500 , afin de connaître la somme correspondante à 1 franc d’annuité, 1l suffit de chercher dans la colonne horizontale de chiffres placée devant 12 années le nombre qui approche le plus du quotient trouvé. Ce nombre étant ici 9,385074 , de la colonne 4 pour 100, nous voyons immédiatement que le taux demandé est Si le quotient ne se trouvait pas exactement, c'est que le taux serait compris entre ceux des deux colonnes dont les nombres seraient immédiatement au-dessous et au-dessus de ce quotient. Prenant alors la différence de ces nombres, ainsi que la différence du plus petit et du quotient, on pourrait, à l’aide d’une règle de trois, calculer la différence du plus petit taux avec le taux cherché, car on a en effet, à peu près, la proportion : La différence des nombres est à la différence du plus petit et du quotient comme la différence des taux est à la différence du plus petit taux et du taux cherché. En se bornant aux millièmes, ce qui suffit dans le plus grand nombre des cas, tous les chiffres seront exacts.

I! résulte de la formule (a) plusieurs autres particularités dont il sera fait mention aux articles InrsrÈr et ASSURANCE.

ANNULAIRE, Éccipse ANNULAIRE (Astr.). On a donné cette dénomination à une éclipse de soleil qui a lieu lorsque le disque de cet astre et celui de la lune se trouvent concentriques, et que cependant le diamètre apparent de la lune est moindre que celui du soleil. Dans cette circonstance, le centre de cette planète est seul éclipsé; sa lumière déborde autour du cercle obscur occupé par la lune, et forme pendant quelques minutes un mince anneau lumineux. Ce phénomène singulier ne se reproduit qu’à de rares intervalles. Voyez Écrrpse.

ANOMALIE (de & privatif, et de opunos, régulier). Distance angulaire d’une planète au sommet de l’axe de son orbite où au point de son aphélie. On a donné le nom d'anomalie à cette distance parce qu’elle détermine l'inégalité du mouvement de la planète, et qu’elle sert à Ja calculer dans les divers lieux de sa marche, Elle est mesurée par l'angle formé entre le rayon vecteur et la ligne des apsides , en partant de l'apogée pour la lune et le soleil, et en partant de l’aphélie pour les

autres planètes. On distingue trois sortes d'anomalies : moyenne, excentrique , et vraie.

L'anomaLiE moyenne était, dans l’astronomie des anciens, la distance supposée uniforme de la planète au

AK 8g

point de l'apogée. Cette distance était alors proportion nelle au temps du mouvement; c’est-à-dire que, pour une planète qui décrirait en six mois la moitié de son orbite, ou qui parcourrait uniformément en six mois les 180 degrés de ce demi-orbite , en allant de l'apogée au périgée, l'anomalie serait de 30 degrés à la fin du premier mois, de 60 degrés à la fin du second mois, de 90 degrés à la fin du troisième, etc.

Mais, en réalité, une planète décrivant autour du s0leil une ellipse dont il occupe l’un des foyers, et les arcs elliptiques n'étant pas proportionnels aux temps pendant lesquels ils ont été parcourus, l’astronomie moderne donne le nom d’anomalie moyenne au temps seul du mouvement. Ainsi, deux heures après le passage d'une planète à son aphélie, l'anomalie est de 2h; 3 heures après, elle est de 3" , et ainsi de suite.

Soit S Le foyer de l'orbite occupé par le soleil, AMDP la moitié de l'orbite, A l’aphélie, P le périhélie, et M le lieu d'une planète , l’anomalie moyenne sera le temps que la planète aura mis pour parvenir de A en M.

Or, d’après les lois de Képler , l’aire elliptique ASM est proportionnelle au temps du mouvement selon AM (Poy. Ares proportionnelles au temps). Cette aire peut donc aussi représenter l'anomalie moyenne. De plus, si l’on imagine un demi-cercle AKP décrit sur l'axe AP , et que l’on mène par le lieu M de la planète une perpendiculaire MR à l’axe, cette perpendiculaire déterminera un point N, duquel menant la ligne NS on formera un espace mixtiligne ANS, toujours proportionnel au secteur elliptique AMS par une propriété connue de l’ellipse (Foy. Errrrse). A l’aide de cet espace, l’anomalie moyenne pourra être exprimée en degrés du cercle; ce qui est essentiel pour la faire entrer dans les calculs astronomiques, ces calculs ne s’exécutant que par le moyen des degrés circulaires.

En effet, si du point S on abaisse la perpendiculaire ST sur le rayon NC prolongé, etque l'on prenne ensuite l'arc NX égal à ST, l'arc de cercle ANX sera l’anomalie moyenne ; car le secteur circulaire CXN est égal autrianglerectiligne CNS :

la surface du premier étant IXN X NC, et celle du second :ST X NC. Donc l’espace mixtiligne ANS est égal

au secteur circulaire AXC ; et ce secteur, et conséquemment son arc ANX , peuvent servir à mesurer le secteur elliptique AMS oul’anomalie moyenne, puisqu'il y aura toujours le même rapport entre le nombre de degrés de l'arc ANX et 360° qu'entre le secteur elliptique AMS et la surface entière de l’ellipse. On peut donc considé-

rer l'arc ANX comme l’espace que parcourrait uniformément la planète sur la circonférence ANP, pendant le temps qu’elle décrit réellement larc elliptique AM sur son orbite.

L’anomaLie excentrique où du centre est l'arc AN du cercle, intercepté entre Paphélie et le sommet N de la perpendiculaire NR. Elle sert à trouver l'anomalie vraie.

L’avomarte vraie est l'angle ASM formé par le rayon vecteur SM et l’axe AP.

Le problème de calculer l'anomalie vraie par le moyen de l’anomalie moyenne, ou de déterminer l'angle ASM à l'aide du secteur elliptique qui forme cet angle , est un des plus importans de l'astronomie, puisqu'il renferme le moyen de déterminer le vrai lieu d’une planète pour un temps donné. On le nomme Prorrème pe Képrer. Il fut en effet posé par ce grand astronome, qui en a donné une solution approximative dans son bel ouvrage de Stella martis. Waillis et Newton l’ont résolu par le moyen de Ja cycloïde alongée; mais leurs solutions ne sont poiat en usage dans la pratique. Plusieurs mathématiciens, tels que La Hire, Keil, Cassini, Herman, Machin, Sinpson, Lalande, Cagnoli, etc., l'ont envisagé de diverses manières (Voy. Mémoires de l'Académie des Sciences, 1710, 1719; Transactions philosophiques, 1507, moires de Pctersbourg, t. 1; Trigonometrie de Cagnoli;

de 1713; Me-

Astronomie de Lalande). Mais toutes leurs solutions ne reposent que sur des moyens plus ou moivus indirects. Bossut, Prix de l'Académie, 1506, et Klugel, 4stromisches yahr-bach, 1789, ont traité directement le problème de Képler, dont nous possédons encore une solution complète donnée par Lagrange dans les Aem. de l Académie de Berlin, 1769, comme application de sa belle formule de développement en série d'une fonction quelconque Fx, d’une variable x engagée dans une équation (x—a) + xx; ou gx est aussi une fonction quelconque de x. ( Foyez DéyrLorpemEnr.)

Désignons par a le demi-grand axe AC de l’ellipse, par e l’excentricité CS, par u l'anomalie vraie ou laugle ASM, par x l’anomalie excentrique ou l'arc AN, et par z l’anomalie moyenne ou l'arc ANX,

On à, dans les triangles rectangles MRS et NCR (ris,

Ut Of CRT SR SM tang Lx — L EN MAR TT

De ces deux égalités on tire (72) tangzu RM CR + a Em RN SR EISM Mais , d’après les propriétés de l’ellipse , on a RM. CD Le a+ e += = — SI SN PR: ——— EN RE HSM = PR os

AN et de plus PR — CR + a.

Substituant ces valeurs dans l'égalité (m), elle devient ungiu CD (CR+d.a CD tangix a (CR+a)(a+e) a+e Or, CD, étant le demi petit axe de l’ellipse, est égal

à V/æ —e; donc on a définitivement (u)

ta 1 t LT fes nglu—=tang Lx. ER gi gi à

Cette formule, qu'on doit à Lacaille, fait connaître Panomalie vraie par l’anomalie excentrique. Pour obteunir cette dernière, reprenons l'égalité surf ACX — surf ASN , ou plutôt

surf ACX = surf ACN + surf CNS ; c’est-à-dire Laz = ax +leX NR.

NR étant le sinus de l’angle ACN ou de l’arc AN, cette dernière égalité , en la multipliant par 2, se réduit à

az = ax + esin x,

équation transcendante dont on ne peut tirer la valeur de x que par approximation ou par des séries infinies.

Cette expression, trouvée par Képler, est ce qui lui avait fait croire que le problème était insoluble, et qu'on ne pouvait arriver que par tâtonnement à des valeurs approchées de x, Le moven direct d’obtemr x est de substituer dans cette équation , à Ja place de sin æ, la série qui donne la valeur du sinus au moyen de l'arc; car on a alors

et ——— #5 ns «| x.2.3:405 12340107

dont on peut tirer la valeur de æ, exprimée en z, par la méthode du Retour des surtes.

L'anomalie excentrique étant connue, la formule (x) donne sans difficulté l’anomalie vraie.

ANOMALISTIQUE (Æ5tr.). La révoiution anomalistique d’une planète est le temps pendant lequel elle parcourt son orbite, en partant d’un point quelconque de cet orbite jusqu’à son retour au même point. Cette révolution ne différerait pas de Îa révolution sidérale ou du retour à la mème étoile, si les orbites des planètes étaient fixes ; mais l'aphélie ou le grand axe de l’orbite ayant un mouvement propre, selon l’ordre des signes, il faut plus de temps à la planète pour revenir à son aphélie qui s'est avancé pendant ja durée de la révolution que pour revenir à la même étoile. Ce mouvement de l'aphélie étant pour la terre de 50" par année, l’année anomalistique est plus longue que l’annéesidérale de 4!.47".33. Foy. Axxée ct Précessiow.

ANSE pe paxier (4rch.). Courbe formée par la rencontre de plusieurs arcs de cercle, et que, dans l’architecture, on substitue à l’ellipse pour former les cintres

des voûtes,

AN Le nombre des ares qui composent ces courbes est toujours impair, et d'autant plus grand que la voûte doit être plus surbaissée. Ce que nous allons dire pour les anses de panier à trois et cinq arcs, ou, comme on les nomme, à trois et cinq centres, pourra s'appliquer facilement à tous les autres cas. Celui de trois centres

est du reste le plus employé.

Soit la droite AB , sur laquelle il s’agit de décrire une anse de panier; et soit DC la hauteur de la voûte , ou sa montée. Supposons que la courbe soit tracée; c’est-à-dire que des centres K et M, et avec les rayons égaux AK et BM, on ait décrit les arcs AF et BH, et que du centre E on ait également décrit le troisième arc FDH. Pour que la courbe soit régulière, et que les arcs se touchent seulement aux points de rencontre F et H, il faut qu'en menant de ces points les droites FK et HM, ces droites prolongées se rencontrent au centre E.

Nommons n la demi-base AC, 4 la montée DC, x le rayon KF ou HM, et y le rayon DE.

Nous aurons CK=—n—x, CE—7y—}h,EK—EF —KF=7y— x; et de plus EF — EH, KF = KA — MH — MB, d’après la nature de la courbe.

Le triangle rectangle KCE donne ( Foy. RecrANGLE)

(Y—x}=(n— x} +(y—h}; égalité dont on tire, en développant les puissances, (41) ne + oxy — onx — 0hy = 0.

Telle est l'équation de condition entre les quantités données et les rayons x et y.

Or, pour que la courbure des arcs soit la moins inégale, où pour que anse de panier ait la forine la plus elliptique il faut que la différence y —x des rayons soit dans le plus petit rapport possible avec chacun de ces rayons. Les rapports

LE dr doivent donc être des minima.

Différenciant ces rapports (Foy. Minima ), ils donnent l’un et l’autre.

xdy — ydx = 0.

Substituant dans cette équation la valeur de y, tirée de l’équation (#2), elle devient

AN à — ondx (ht?) — dr (h—5æ). (re hreix) — 0.

, » pois S Divisant par dx, et résolvant par rapport à x, ôn obtient

x CHR ER). vVr+k

Enfin, substituant cette valeur de æ dans l'équation

(2), et résolvant par rapport à y, on trouve

LR CRD Ve +2 PSE oh

DE

Le double signe H nous apprend que ces valeurs peuvent se construire de deux manières; mais nous prendrons seulement les sigues inférieurs, parce que dans le

cas qui nous occupe y doit être plus grand que x.

Construction. Menons par les points À et D la droite AD, et prenons CX — CD; portons AX de Den T;et, sur le milieu Z de AT élevens 1 perpendiculaire ZK., prolongée jusqu'a sa rencontre avec DC prolongé. Les points K et E, où cette perpendiculaire rencontrera la base AB et le prolongemiert de la montée DC seront les centres cherchés. I ne faut plus que prendre BM égale

à AK pour avoir le troisième centre.

En effet, nous avons par construction AD=Y rm + k, AT—AD—AX— VV +ir—{ñ—h),

47 —(n his VA + he

Mais les triangles semblables ACD et AZK donnent AG : AD :: AZ : AK.

Donc

Re + li te De LAN LS

on Les trianoles semblables ACD et ECK donnent aussi CD : AG :::-CK : CE.

D'où l'on tire

: ol re

et enfin

ED — mL + = BV +R .

à cause dé ED — PC + CE = ñ + CE: -

Si l'on voulait détérminer par le caleul lès rayons AK, ED, ainsi que les angles AKF, FEH, il faudrait simplement substituer dans les valeurs de.ces rayons la grandeur numérique de a et de D ,;.et employer ensuite les formules trigonométriques qui servent à trouver les

angles d'un wiangle par Le moyen des côtés.

Nous allons considérer actuellement l'anse de panier (à cinq centres.

Le]

Soient AB la base, DC la montée, AS — TB le rayon des arcs égaux AF et IB, FK —IL le rayon des arcs égaux FG et HL, et enfin DO le rayon de l’arc moyen GDH. La figure ci-dessus montre suffisamment Jes positions respectives que ces rayons doivent avoir entre eux pour que la courbure soit uniforme; nous croyons donc inutile d’entrer dans de plus longs détails.

Il est facile de voir que si la base et la montée étaient seules données , le problème pourrait admettre une infinité de solutions ; mais ordinairement, dans la pratique, on suppose connu le rayon AS des arcs extrêmes , et l’on prend en outre l'angle ASF de 60° et les angles FKG et GOD chacun de 15°. Menons la perpendiculaire KN , et faisons

AC=a,CD—AhA, AS—n, KF=x, et OD—7y; nous aurons KS—x—n,KN—KS.sin 60° —(æ—n) sin 60°, SN =KS. cos 60° — (x—n) cos 6o°, CN = KZ—a—n— {(x—n) cos 60°, OZ —OC—CZ —OC —KN = y—}h—(x—n)sin 60°, et enfin OK — OG—KG—y— x. Cela posé, le triangle rectangle OZK donne OK’ OZ’ + KZ’, ou (p) Ga) = (ah (2) 4 (y hi (an) 3)" | V3

en substituant à la place de sin 60° sa valeur et à

la place de cos 60° sa valeur +.

Telle est l'équation de condition entre les quantités données a, h, n et les deux rayons x et y. Si l’on vou-

lait déterminer ces rayons par la condition que la courbure soit la plus uniforme possible, il faudrait prendre

AN

: —x ne comme ci-dessus le rapport © pour un 7ninimum ;

Es ce qui donnerait l'équation xdy — ydx — 0, dans laquelle on mettrait les valeurs de y et de dy, tirées de l'équation (p); et on continuerait en suivant la même marche que pour le cas des trois centres.

La somme de tous les arcs qui forment une anse de panier doit toujours être égale à une demi-circonférence ou à 180°.

ANSES (Astr.). C’est le nom donné par Galilée aux parties sensiblement éminentes de l’Anneau de Saturne, qui ont en cffet, dans certains cas, l'apparence de deux anses attachées à cette planète. Voyez ANNEAU DE SATURNE.

ANTARCTIQUE( Astr.). Antarcticus (d’&vri, contre, opposé, et &p#ros, Ourse, opposé à la Grande-Ourse ). C’est le nom donné à l'extrémité méridionale de l'axe de la terre, l’un des deux pôles autour desquels s'opère le mouvement de rotation de ce globe.

On nomme cercle antarctique ou cercle polaire anarctique, VYun des petits cercles de la sphère, qui est parallèle à l'équateur, et éloigné du pôle méridional de 23° 25" par opposition à un autre cercle qui est à la même distance du pôle septentrional et qu’on désigne sous le nom de cercle arctique polaire. Voyez Arcri- QUE, Quese, PôLe et Zoe.

ANTARES (Astr.). Du grec A’yrépns, nom d’une étoile de la première grandeur, située dans la constellation du Scorpion.

ANTÉCANIS. J’oyez Procton.

ANTÉCÉDENT ( 4{g.). On donne ce nom au presaier des deux termes qui composent un rapport. Ainsi dans le rapport M: N, M est en général l’antécédent. Voyez Prororriow.

ANTECEDENTIA ou PRECEDENTIA, termes d’astronomie. Lorsqu'une planète paraît aller vers l'occident contre l’ordre des signes, comme de la Vierge dans le Lion, on dit en astronomie qu’elle se meut en antecedentia où precedentia. On dit au contraire qu’elle se meut in consequentia lorsqu'elle suit l’ordre des signes et va vers lorient, comme du Sagittaire au Capricorne.

ANTHEÉMIUS, de Tralles, né durant le VI° siècle, se rendit célèbre sous le règne de Justinien, par la supériorité avec laquelle il fit l'application des mathématiques à l'architecture, à la mécanique et à l'optique. 11 fut l'ami d'Eutocius, le savant commentateur d’Archimède et d’Apollonius de Perge, et fit le plus grand honneur à l’école platonicienne de Proclus, dont il a été le disciple. On sait que cette école, établie à Athènes vers le milieu du V° siècle, hérita durant une assez longue période, de toute la gloire que les sciences mathématiques avaient méritée à l’école d’Alexanärie.

La renommée gu’Anthémius s'était acquise dès sa

AN

jeunesse, le fit choisir par l'empereur Justinien pour diriger, de concert avec Isidore, la construction de la basilique de Sainte-Sophie, chef-d'œuvre de l'art, qu’il acheva seul après la mort de ce grand architecte. C'est à lui qu'on attribue, avec raison, l'invention des dômes , couronnement qui termine avec autant de hardiesse que de majesté les monumens de ce genre.

Nous ne connaissons malheureusement les travaux d’Anthémius dans la mécanique et l’optique que par les fragmens de son ouvrage : zepi ræpadobuy pnyævnmara, de Machinis paradoxis, etc., dont Dupuy, de l’Académie des inscriptions, a publié la traduction. Dans cet écrit, dont l'analyse nous conduirait trop loin, Anthémius résout plusieurs problèmes ingénieux d’optique, entre autres celui d'exécuter ce qu’on raconte d’Archimède brülant les vaisseaux romains avec des miroirs. Voyez Mémoires de l'Académie des inscrip-

tions, tome xL11.

ANTI LOGARITHME (4/g.). Nom donné par quelques auteurs au complément arithmétique du logarithme d’un sinus, d’une tangente ou d’une sécante, c’est-àdire à la différence entre ce logarithme et celui du rayon.

ANTICHTONES ( Astr. ). ( D'évri, contre, opposé, etde xfav, la terre. Peuples qui habitent dans les hémisphères opposés de la terre, mais à des latitudes égales : ainsi de deux peuples antichtones, V'un a l'été tandis que l’autre a l'hiver, Foyez ANTIPODES.

ANTINOUS (Astr.). Constellation boréale vaguement indiquée par Ptolémée comme une des étoiles qui avoisinent l’Aigle, mais qu'Hévélius ajoute la première au catalogue donné par cet ancien astronome, et place audessous de cette constellation. On ignore si ce noma été donné au groupe d'étoiles qui le portent, par les astronomes du temps d’Adrien, dont la douleur pour la perte de son favori se manifesta par d'inexcusables folies, ou si l’Antinous céleste est le même que Ganymède. Les étoiles %; 41 #), de la constellation de l’Aigle, sont représentées dans nos cartes du ciel, comme placées sur la figure d’Antinoüs, et indiquent la position qu’occupe cette constellation, en l’admettant comme telle,

ANTIPODES (Astr. — Geogr. — Math.) D'art, contre, opposé, et de æës, modes, pied. Points diamétralement opposés du globe terrestre. Cette expression ne s'applique vulgairement qu'aux êtres qui habitent des contrées placées dans cette situation : la science a dû l'entendre d’une manière plus précise, et dans le sens de la définition que nous venons de donner. Les pays qui sont sur des parallèles à l’équateur, à un égal éloignement de ce cercle, les uns au midi, les autres au nord, enfin qui ont le même méridien , et qui sont sous ce méridien à la distance les uns les autres de 182°, c’est-à-

AP 93 dire de la moitié de ce méridien, sont antipodes les uns aux autres, et leurs habitans marchant dans un sens contraire, ont effectivement les pieds diamétralement opposés. Les antipodes éprouvent à peu près les mêmes degrés de chaleur et de froid, et ont des jours et des nuits d’une égale grandeur ; mais ils subissent ces variations de température et de durée des jours en des temps opposés. Ainsi, quand il est midi pour l’un des antipodes, il est minuit pour l’autre ; et lorsque les jours ont atteint leur plus grand accroissement pour l’un, ils sont pour l’autre au point le plus court de leur durée.

AOÛT (Astr.). Sextilis, et ensuite ÆAugustus, le sixième mois, le mois d’Auguste. Le nom de sextilis avait été donné à ce mois, à cause du rang qu’il occupait dans l’année de Romulus, qui n’était que de dix mois. Il devint le huitième de l’année de Numa, et conserva néanmoins son nom primitif jusqu'à l’époque où Auguste lui imposa le sien.

Pendant le mois d'août ou d’Auguste, le soleil paraît parcourir la plus grande partie du signe du Lion, et entre vers le 23 au signe de la Vierge.

APHÉLIE (4str.). (De ame, loin, etde “es , soleil.) Point de l'orbite d’une planète où sa distance au soleil est la plus grande; c’est l’une des extrémités du grand axe de l’ellipse que les planètes décrivent autour de cet astre. L'autre extrémité de ce grand axe se nomme peérihélie.

Dans les anciens systèmes d'astronomie, où l'on supposait la terre immobile au centre de l'univers, l’aphedie devient l'apogée. Foyez Arocée.

Les aphélies des planètes ne sont point fixes, parce que l'attraction mutuelle qu’elles exercent les unes sur les autres donne à ces points un mouvement continuel plus ou moins grand dans les diverses planètes, et qui se fait selon l’ordre des signes. L'exposition des lois de ce mouvement n’est point ici notre objet. ( l’oyez PErTursario.) Nous devons d'abord expliquer comment on détermine la position de l’aphélie par les observation astronomiques.

Soit donc EBACE l’orbe elliptique d’une planète, et S le foyer

de cet orbe occupé par le soleil.

Soit de plus ASP le grand axe, ou comme on le nomme, la ligne des apsides. À sera le point de l’aphelie, et P le point du perihelie. Or, l'axe partage l’ellipse en deux parties égales qui sont parcourues en temps égaux et avec les mêmes degrés de vitesse, la plus grande vi-

tesse étant au périhélie et la plus

petite à l’aphélie. Mais si l’on tire par le foyer $ une autre droite DE, elle partagera l’el-

jipse en deux parties qui ne seront ni égales a1 parcourues dans un même temps : car la partie DACE sera vi lemment décrite dans un temps plus long que la partie DBPE. Ainsi, choisissant deux observations d'une planète, où les longitudes réduites au soleil se twouvent diamétralement opposées entre elles, si les temps de ces observations sont éloignés entre eux de cekui dune demi-révolution de la planète, alors ces observations auront été faites dans la ligne même des apsides; si au contraire l'intervalle de ces temps diffère de celui de la demi-révolution, les positions observées se rapprocheront d'autant plus de laphélie et du périhélie que la différence sera plus petite.

Cette méthode réussit très-bien pour les planètes dont les oppositions sont fréquentes; mais pour celles dont ces oppositions n’ont lieu qu'à de longs intervalles de temps, on est obligé d'employer une autre considération. On prend deux observations faites l’une aux environs du point À, ét l’autre aux environs du point CO, situé à la distance moyenne de la planète au soleil : On à ainsi le mouvement vrai ou l'angle ASF; mais, par la durée entière de la révolution, on connait le mouvement moyen pour un intervalle de témps quelconque. La différence du mouvement vrai au mouvement moyen doit être d'accord avec l'équation de lorbite calculée, si Pobservation faite vers À répond exactement à ce point; mais sielle ne s’y rapporte pas, il y aura une erreur dans l'équation calculée vers le point A , où elle change rapidément, tandis qu'il n’y en aura presque point vers la moyenne distance F, où l’équation, étant à son maximum, ne varie que très-peu. Donc le mouvement total, calculé de À en F ne sera conforme au mouvement observé que quand on aura employé un lieu véritable de l’aphélie A. If faudra done changer d'hypothèse jusqu’à ce. que le calcul soit conforme à l’observation, et l’on aura alors la véritable situation de l’aphélie.

Lalande a employé, pour déterminer l’aphélie de Mercure, une méthode dont nous allons donner uné idée nète

: Soit T la position de la terre, et F celle de la plavers les distances moyennes; la terre verra la planète suivant le rayon visuel TF qui touche l'orbite en F, et qui marque la plus grande digression STF. Pour peu qu'on change la direction de la ligne des apsides, le rayon SF change de position et sort de l'angle STF du côté du point G, de sorte que l'angle d’élongation devient STG, et alors le calcul ne s'accorde pas avec l'observation supposée faite dans la ligne TF. Il faut donc faire diverses hypothèses jusqu’à ce qu’on ait la véritable. Cette méthode fait connaitre l’aphélie à l’aide de l’angle d’élongation.

Il existe d’autres méthodes pour trouver l’aphélie des planètes. Delambre paraît en avoir employé une nouvelle, dont i] fait l'essai dans son Traité d'astronomie ,

AP

sur la planète de Mars. M. Bouvard l'avait aussi décou. verte de son côté. ( Voyez Delambre, Astronomie, chap. xx1, t 11.) Pour le mouvement de l’aphélie voyez LÉMENS DES PLANÈTES.

APIAN ou APIANUS (Pierre ), né à Leipsick en 1499, astronome et professeur de mathématiques à fugolstadt, a composé un grand nombre d’ouvrages qui lui acquirent de la célébrité parmi ses contemporains, ét lui valurent les faveurs de l’empereur Charles- Quint. Mais de tous ses écrits, dont la plupart se ressentent des préjugés du temps où ils furent composés, l'Astronomicon cæsareum contient seul une partie qui intéresse vivement la science astronomique. Apian y consigne les observations qu’il a faites des comètes de 1531, 1532, 1533, 1538 et 1539. Celle qui eut pour objet la comète de 1532 est surtout d’une grande impôrtaänce, puisqu'elle a servi à calculer le retour périodique des comètes, et ainsi agrandi la sphère des connaissances astronomiques. Le célèbre Halley, ayant déterminé les élémens paraboliques de la comète qui se montra en 1682, put conclure de la grande similitude des élémens, que cette comète était identique avec celle de 1607. Il assignait ainsi à cet astre une révolution de

l'attraction des planètes pouvait apporter à sa marche.

à 76 ans, en faisant la part des perturbations que

L'observation faite par Apian en 1531. et qui remontait à 76 ans avant l'apparition de 1607, justifia les conjectures de Halley, et ne permit pas de douter de la périodicité de la comète dont il se hasarda à prédire la réapparition pour la fin de 1758 ou le commencement de 1959. Clairaut, de l'Académie des sciences, résolüt le difficile problème posé par Halley, en déterminant avec exactitude la valeur des perturbations que la comète devait éprouver, eu égard au ralentissément que l'attraction des planètes apporterait dans sa marche. Il annonça que le passage au périhélie aurait lieu vers le milieu d'avril 1759; mais il avertit toutefois que les fractions de temps négligées dans ses calculs, faits rapidement, pourraient s'élever à plus où moins de 30 jours sur les 76 ans. La comète passa en effet au périhélie le ‘19 mars 17950. Il est certain aujourd’hui que la comte observée à Ingolstadt, en 1531, par Apian, est celle qui avaitapparu précédemment en 1456, et ensuite en 1607, 1682 et 1759. Le peu d’exactitude des observations antérieures au X V° siècle ne permet pas de suivre plus loin dans le passé la chronologie de ses retours périodiques; mais la science est du moins à même d’en déterminer la marche future. M. Damoiseau , du bureau des longitudes, institution qui rend de si grands services à la science , a calculé la date du prochain retour de la fameuse comète de 1759, et l'a fixé au 16 novembre 1835,

Apian, dont cette digression nous à un moment fait

perdre de vue les travaux, est aussi célèbre par des

AP

observations d’éclipses et une cosmographie qui a été long-temps consultée. Il mourut en 1552 à Ingolstadt, âgé de 57 ans. Son fils Philippe, qui se consacra aussi à l'astronomie, n’a rien écrit de remarquable; du moins le seul ouvrage de lui que nous connaissions est une lettre au landgrave de Hesse, sur létoile qui parut tout à coup dans Cassiopée, en 1572.

APOCATASTASE ( Astr.). Révolution entière des points équinoxiaux , qui s'effectue à peu près en 25,860 ans. On a donné à cette période le nom d’apocatastase ou de grande année. Voyez Précessiox.

APOGÉE ( Astr.). (De «ro, loin, et de 74, laterre.) C’est dans l'astronomie ancienne le point de la plus grande distance d'une planète à la terre. En ne considérant que l’apparence des phénomènes, on dit encore aujourd'hui que le soleil est à son apogce lorsque la terre est à son aphélie. L’apogée est opposé au périgee qui est la plus petite distance d’une planète à la terre.

APOJOVE ( Astr. ). Nom donné par quelques astronomes au point de la plus grande distance des satellites de Jupiter à cette planète, ou à l’apside supériewe de leurs orbites. Ce nom est formé du mot grec #xe, loin, et du mot latin jovis.

APOLLONIENNE ( Géom.). Courbes apolloniennes. C’est le nom sous lequel on désigne souvent l’hyperbole et la paraboleordinaires, pour les distinguer de quelques autres courbes auxquelles on à aussi donné le nom d’hyperboles et de paraboles. Par exemple, la courbe dont l'équation est y? = Ax est la parabole apollonienne, et la courbe dont l'équation est A? = xy est l'hyperbole apollonienne ; tandis que les courbes exprimées pary = A?x et A — xy? sont des paraboles et des hyperboles du troisième degré. { Joyez Parasoze et Hypensoze.) Le nom d’epollonien vient du célèbre mathématicien Apollonius, auquel on doit un traité très-remarquable sur les sections coniques. Foyez AvorLonius.

APOLLONIUS , né à Perge en Pamphilie vers lan 244 avant J.-C., sous le règne de Ptolémée-Evergète I, fut un de ces hommes rares dont le génie féconde les sciences, et les fait marcher en avant de leur siècle. L’antiquité lui décerna le titre de grand géomètre, de géométre par excellence à l'époque même où l'ilustre Archimède finissait sa brillante carrière. Elle sembla se partager entre ces deux hommes prodigieux, mais la postérité, tout en. admirant les travaux d’Apollonius, a cassé cet arrêt, et placé le nom du géométre syracusain en tête de tous ceux que la science environne d’une gloire immortelle.

Apollonius, de Perge, étudia à l’école d'Alexandrie sous les successeurs d'Euclide, et ce fut là qu'il acquit ces connaissances supérieures et cette habileté en géométrie qui ont rendu son nom fameux. Il fut l'un des

écrivains les plus profonds et les plus féconds qu’aient eus dans l'antiquité les sciences mathématiques, dont ses ouvrages formèrent Jong-temps le traité le plus complet. Entre tous les écrits d’Apollonius, celui qui a le plus contribué à sa célébrité et qui donne la plus haute idée de son génie, est son Traité des coniques, sur lequel nous croyons intéressant et utile de rapporter quelques détails bibliographiques, sans entrer néanmoins trop avant dans l'explication scientifique du sujet même de ce livre, qu’on trouvera exposé ailleurs. Voyez Sections CONIQUES.

Archimède avait connu le nom de parabole, puisqu'il s’en est servi dans le titre même de l’ouvrage où il carre cette courbe : il est donc peu exact de croire d’après Eutocius, qu'Apollonius ait donné, le premier, aux courbes les noms qu’elles portent aujourd’hui. Cepen. dant c’est dans son livre des sections qu'on trouve pour la première fois ceux d’e/lipse et d’'hyperbole, et cet ouvrage, quelle que soit l’origine des synonymies employés par Apollonius, n'est pas moins un des plus précieux écrits que nous ait laissés l'antiquité. Ce livre était divisé en huit parties. Nous n'avons, durant long-temps, possédé que les quatre premières, dans lesquelles l’auteur rassemble seulement toutes les découvertes en géométrie qui l'avaient précédé, en étendant et développant leurs théories. Mais les quatre dernières parties du livre des coniques, contiennent les découvertes propres d’Apollonius, et attestent qu'il dut être doué d’une prodigieuse force d'esprit, pour qu’il ait pu suivre, sans s’égarer, des recherches dont la plupart exigent une grande aptitude à se servir des procédés de l'analyse moderne. Deux de ces parties sont spécialement trèsimportantes : ce sont la cinquième et la septième. Apollonius y traite les questions les plus difficiles de la géométrie, savoir, celles de zzaximis et de minimis sur les sections coniques. Dans la cinquième, l’auteur examine particulièrement quelles sont les plus grandes et les moindres lignes qu’on peut tirer de chaque point douné à leur circonférence.: Il y expose tout ce que les méthodes analytiques modernes peuvent apprendre sur ce sujet, jusqu'a la détermination même de nos développées, puisqu'il fait très-bien remarquer qu’il existe upe suite de points dans l’espace au-delà de J'axe d’une section conique, d’où l’on ne peut tirer à la partie opposée qu'une ligne qui lui soit perpendiculaire. Apollonius va plus loin ; il détermine ces points que nous connaissons aujourd’hui sous le nom de centres d'oscultation. Toutes les questions qui appartiennent à ces recherches, que nous ne faisons qu'indiquer ici, sont à peu près résolues dans cette cinquième partie. La sixième ne ue Je

s'applique à des sections couiques semblables. On trouve

présente { développement des mêmes idées, et

dans 11 septüème l'exposition des diverses proprié

remarquables de ces courbes ; telles sont celles-ci : que dans l'ellipse et les hyperboles conjuguées, les parallé. Jogrammes formes par les tangentes aux extrémités des diamètres conjugués ; sont constamment les mêmes : — Que dans l'hyperbole la différence des carrés de deux diamètres conjugués, et dans l’ellipse, leur somme, est toujours la méme. La huitième partie, dont nous n'avons eu connaissance que par l'ingénieux et estimable travail d'Halley, renfermait un grand nombre de propositions semblables, qui servent de fondement : la résolution des problèmes de maximis et de minimis, problèmes d'une certaine difficulté, tel, par exemple, que celui-ci : dans une hyperbole quelconque, déterminer le diamètre dont le paramètre est le moindre, ou bien celui dont le carré avec celui de son paramètre fasse lu plus petite somme.

Les coniques d’Apollonius ont été l’objet d’un grand nombre de commentaires et d’annotations. Pappus d'Alexandrie, Hypatia, la savante fille de Théon, et Eutocius d’Ascalon, en donnèrent successivement l’explication, et en éclaircirent les points qui paraissaient obscurs à leurs contemporains. Le commentaire de Pappus nous est seul parvenu en entier. Cet ouvrage d’Apollonius fut un ceux que le khalyfe ÉI-Mämoun fit traduire en arabe, lorsqu'il donna asile aux sciences abandonnées dans le reste du monde. Apollonius n’a été apprécié dans l'Occident que vers la fin du XV® siècle. La mort précipitée de Régiomontanus, qui en méditait une édition, le priva de la gloire de faire connaitre ce grand géomètre. En 1507, Memmius, noble vénitien, en donna une traduction latine fort imparfaite ; celle de Commandin, qui parut en 1566, avec le commentaire d'Eutocius et les Lemmes de Pappus, est de beaucoup supérieure. Mais ces traductions et beaucoup d’autres que nous passons sous silence, ne portaient que sur les quetre premières parties du livre d’Apollonius. Viviani, l’un des plus illustres élèves de Galilée, se proposa de rétablir cet ouvrage dans son entier. Cet ingénieux et immense travail a été publié sous ce titre : Divinatio in V Apollon conicorum. En 1658, Borelli retrouva beureusement, dans la bibliothèque des Médicis, à Florence, un manuscrit arabe qui renfermait l’œuvre d’Apollonius. Il le traduisit en latin, à l’aide du célèbre orientaliste Abraham Echelleuris, et le publia à Rome en 1661. Mais il est à remarquer que cette dernière traduction ne comprenait encore que les sept premiers livres d’Apollonius. La meilleure édition que nous possédions est celle qu’en a donnée Halley (1710, in-folio). Ce célèbre mathématicien y a rétabli la huitième partie sur les indications de Pappus; et ses connaissances

péciales dans la géométrie ancienne, permettent de penser qu'on ne doit plus regretter la perte de l'origi-

nal, Halley, Snellius, Marin Ghetaldi et Viète se sont

AP

occupés des autres écrits d’Apollonius, en publiant tout ce qu'ils renferment d’intéressant pour la science.

Apollonius mourut sous le règne de Ptolémée-Philopator, c’est-à-dire au commencement du siècle qui suivit celui de sa naissance. Pappus le représente comme un homme vain, jaloux du mérite des autres, et saisissant volontiers l'occasion de les déprécier. Il est possible qu'un tel travers d’esprit ait diminué l’estime que le génie d'Apollonius avait inspirée à ses contemporains ; mais il est possible aussi que cette jalousie qu’on lui reproche ait dicté les jugemens peu favorables dont:il a été l'objet de la part des savans d'Alexandrie. Quoi qu'il en soit, la gloire d’Apollonius est réelle, et les talens élevés qui la lui méritèrent exciteront seuls l’attention de la postérité.

APOMECOMÉTRIE ( Géom.).(De ære, loin, unes longueur, et de perpey, mésure.) Art de mesurer la distance des objets éloignés. Foyez Disrance.

APOTHÈME ( Gcom. ). Perpendiculaire abaissée du centre d’un polygone régulier sur l’un de ses côtés. L’aire d’un tel polygone est égale à la moitié du produit de son apothème par son côté. Voyez Poryxcower.

APOTOME ( 4/g.). (De «roreuos , séparé, coupé.) Différence de deux quantités incommensurables. Telle est V/2— 1, ou la différence entre le côté d’un carré et sa diagonale. Euclide, dans son dixième livre, traite de ces quantités, et les subdivise en plusieurs ordres; mais sa classification n’est d'aucune utilité réelle.

APPARENCE ( Persp.). C'est la représentation ou la projection d’une figure ou d’un corps quelconque sur le plan du tableau. Woyez Perspecrive et PROJECTION.

L’appareNcE directe, en optique, est la vue d’un objet par des rayons visuels directs, c’est-à-dire, sans 1éflexion ni réfraction. En Astronomie, les apparences sont plus communément appelées phénomènes ou phases.

APPARENT (Math. et Astr.). Se dit des objets tels qu'ils nous apparaissent, pour les distinguer de ce qu’ils sont réellement : car l’état apparent des choses est souvent très-différent de leur état réel; comme dans les cas d’éloignement, d’élévation, etc.

Conjonction ApparENTE des planètes. Elle à lieu lorsqu'une ligne droite supposée menée à travers les centres des planètes, passe par l'œil du spectateur; tandis que la conjonction réelle est celle dans laquelle cette même droite passe par le centre de la terre. — En général, la conjonction apparente de plusieurs objets est leur position dans une même ligne droite qui passe par l'œil de l’observateur.

Diamètre ApparexT. On nomme diamètre apparent d'un objet, non la longueur de ce diamètre, mais l'angle qu’il sous-tend à l'œil, et sous lequel il apparaît. Cet angle diminue à mesure que la distance augmente,

AP

de manière qu'un petit objet situé à une petite distance peut avoir le même diamètre apparent qu’un objet plus grand situé à une plus grande distance; il suffit pour cela que ces objets sous-tendent des angles égaux. Le diamètre apparent varie donc avec la situation de l'objet.

Distance ApparENTE. Voyez Disrance.

Hauteur AppareNTE des corps célestes. La hauteur à laquelle les astres nous apparaissent au-dessus de l’horizon est augmentée par l'effet de la réfraction et de la parallaxe.( Voyez ces mots.) La hauteur des objets terrestres est aussi affectée par la réfraction.

Forme apparente. C'est la forme sous laquelle nous voyons un objet, d'une certaine distance. Cette forme diffère souvent beaucoup de la véritable; car une ligne droite peut ne paraître qu'un point, une surface ‘ne paraitre qu’une ligne, et un solide ne paraitre qu’une surface , selon leurs situations relativement à notre œil. Ainsi, l'arc d’un cercle peut offrir de loin la forme d’une ligne droite, un carré peut présenter celle d’un trapèze ou même d’un triangle, un cercle peut paraitre une ellipse, des corps angulaires peuvent sembler ronds. Tous les objets ont aussi une tendance à s’arrondir par l'éloignement. À une grande distance les aspérités disparaissent , et les corps nous semblent unis.

Mouvement Apparenr. C’est le mouvement que nous remarquons dans un corps éloigné qui se meut, ou le mouvement que paraît avoir un corps en repos pendant que notre œil est lui-même en mouvement. ;

Les mouvemens des corps situés à une grande distance, bien que s’effectuant d’une manière égale et uniforme, peuvent paraitre inégaux et irréguliers à l'œil qui ne sait en juger que par le changement apparent de l'angle visuel.

Lieu Avparent d'un objet. C'est l'endroit où nous parait un objet, vu à travers un milieu qui fait dévier les rayons lumineux. Cet endroit diffère toujours de la véritable place.

Station APpvARENTE ( 4str.). C’est la position d’une planète qui semble demeurer plusieurs jours au même point du zodiaque. Ÿ’oyez STATIONNAIRE.

APPARITION ( 4str. ). C’est un mot dont on se sert pour indiquer qu’une étoile ou que d’autres corps lumineux commencent à devenir visibles, après avoir été cachés. Dans ce sens, le terme apparition est l'opposé de celui d'occultation. Ainsi le lever héliaque (voyez Lx- VER ) est plutôt une apparition qu’un véritable lever.

APPLATI { Géom.). Sphéroïde applati. C’est celui dont l’axe est plus petit que le diamètre de l’équateur. Voyez SruénoïDE.

APPLIQUÉE (Gcom. ). Lizne droite menée dans le plan d’une courbe, d'un de ses points à un autre, et

qui coupe son diamètre, C’est ce qu’on nomme communément double ordonnée. Voyez ORDONNÉE.

APPLICATION DE L'ALGÈBRE A LA GÉO- MÉTRIE. La science de l'étendue se divise en deux parties, dont l’une a pour objet les modes distincts et indépendaus de la génération et de la comparaison des diverses espèces d’étendues, et l’autre la généra‘ion et la comparaison universelles de ces étendues. La première partie est généralement connue sous le nom de gcométrie élémentaire. La seconde sous celui, assez vague, d'application de l'algèbre à la géométrie. Quelques auteurs ont nommé, cette dernière, géométrie analytique ; mais cette désignation inexacte n’est pas plus appropriée à son objet que celle d’analyse à la science générale des nombres. Dans cette branche supérieure de la Gromérrie, les lignes, les surfaces et les solides sont considérés d’une manière générale, comme autant d'espèces de quantités, soumises conséquemment à toutes les considérations des nombres, et tirant des lois universelles de leur science, les lois qui leur sont propres.

Mais les lois de la science des nombres sont élémen taires ou systématiques, c'est-à-dire, particulières ou générales : les premières donnent naissance aux rapponts des quantités, les secondes, aux ÉQUATIONS. L'application de lalsèbre à la geomctrie doit donc avoir deux branches correspondantes aux rapports et aux équations. Ces C°ux branches existent en effet, elles forment : 1° l'ap; lication de l’algèbre à la géométrie sans coordon: ées, ou la construction individuelle des LIEUX 6 omÉrriques; 2° l'application de l'algèbre à la géomét.ie avec des coordonnées, ou la coustruction universelle des ÉqQuarions. (F'oyez le Discours »'Inrropucrion et l’article PnicosopuiE DEs Mare.) Nous allons exposer successivement les propositions fondamentales de chacune de ces branches.

L Lieux GéomÉTRIQUES. 1. Pour appliquer les lois des nombres à l’étendue , 11 faut exprimer en nombres les lignes , les surfaces et es solides ; ce qui s'exécute facilement en prenant pour &ntté une droite quelconque, d’une grandeur déterminée ou tacitement sous-entendue : c’est ainsi, par exemple, que, a exprimant le nombre d'unités linéaires contenues dans le côté d’un carré,

V2 exprimera la diagonale de ce carré, et a? sa surface. De même, & et b étant les nombres d'unités linéaires de deux côtés contigus d'un rectangle, aXb exprimera la surface de ce rectangle, et a, b, ce étant les trois arêtes contiguës d'un parallélipipède rectangle, le produit aXbXc exprimera la solidité de ce parallélipipède.