Pour construire le lieu æ ——, on le réduit à la

proportion DT:

ce qui nous apprend que x est une quatrième proportionnelle aux trois droites &, b, c. Or, une quatrième proportionnelle peut s’obtenir de deux manières :

1°. Formons un angle quelconque avec des droites indéfinies AX , AY;et, à partir du point A,

prenons sur AX, AB= c, AC=&, et L è sur AY, AD —b, tirons À D M Y

BD , et menons par C une paralièle CM à BD , le pont M, où cette parallèle coupe AY, déterminera À MT. En effet les triangles semblables ABD , ACM, donnent AB : AC :: AD: AM ou c:a::b: AM.

Donc AM 2 ab —T:

Æ 2°. Sur une droite indéfinie AY, prenons AD = €,

AM = a; du point D tirons une droite quelconque DB et precons BD—b ; par les points A, B menons AX, ct, par le point M, MC parallèle à BD. La ligne MC sera égale à x, car cette construction donne ° AD : AM :: BD : MC

c; æ::b: MC.

9. Le lieu x — V/ab, exprime une moyenne propor tionnelle entre a et b; car cette expression devient Ci: De

D ab, d'ou, a;

On peut encore le construire de deux manières : 1°. Sur une ligne indéfinie AD, prenons AB — a,

BD—b, puis sur AD—a<+b, pris pour diamètre,

décrivons une demi-cir- ë

conférence ACD ; et éle- HE

vons la perpendiculaire

BC. Cetté perpendicu- Le

laire est, par une pro- ; \ priété du cercle, moyenne £ à D proportionnelle entre les re segmens AB et BD du dia-

mètre (voy. CercLe). Nous avons donc

AB : BC :: BC : BD ou a:BC::BC:b.

Dôtic FC" = 4b, et BC =V/ab=x.

2. Sur üne ligne AD — 4, décrivons une demi-circonférence; prenons AB — b, et du point B élevons la perpendiculaire BC : tirons ensuite la corde AC, elle sera égale à æ. En effet, par une propriété connue du cercle, on a

AB : AC :: AC : AD ou a:AC::AC:b.

Donc

AC = ab, et AC —Vab= x.