AB : CD:: EF : CI

ou a:h::x:h—x.

on en tire a(h—x)=Ahx, où ah —=ax+hx=x(a+h), et, enfin, ah | aFh

Cette expression donnera la valeur numérique du côté du carré inscrit à l’aide de celles de la base et de la hauteur du triangle donné. Pour Ja construire géométriquement, ou pour trouver une droite égale au côté du carré inscrit daus un triangle, on cherchera une quatrième proportionnelle aux trois lignes 4, h et a+,

par le procédé du numéro 8.

Mais, pour faire immédiatement usage de la hauteur h, nous nous servirons de l'angle CDB. Prolongeant donc AB, nous porterons AB, ou «, deD en P, et CD, ou h, de P eu Q. Nous joindrons les points C et Q par une droite; et, par le point P, nous mènerons PI parallèle à CQ. La quatrième proportionnelle cherchée, ou le côté du carré sera ID. Nous devons faire observer ici que les constructions géométriques sont d’autant plus élégantes qu’on y fait entrer moirs de lignes étrangères aux données de la question.

14. Pros. Partager une droite en moyenne et extrème rason; c'est-à-dire eu deux parties, dont l’une soit moyenne proportionnelle entre là ligne entière et l'autre partie.

Soit a la ligne donnée; désie ons par æ, la partie moyenne proportionnelle, alors l'autre partie sera a—x. Or par l'énoncé du problème, on doit avoir

a: Li: (at) Cette proportion donne L’'=am—ax,

équation du second degré dont les deux racines sont (Foy. ÉqQuarions)

La première de ces valeurs peut seule satisfaire à la question; car la seconde, abstraction faite du signe —, est évidemment plus grande que a. Occupons-nous d'a-

bord de cette première. Elle est composée de deux par- : a?

FE

nuse d’un triangle rectangle qui aurait pour côtés de

ties dont l’une (re , Exprime (10) l'hypothé-

. A t l'angle droit, les ligues a et É

a ; et dont l'autre, —-, est , 2

une simple ligne droite égale à la moitié de la proposée. Cette dernière étant négative, il faut donc com-

. [12 mencer j'ar Construire + —-, ct ensu te en re-

« trancher -

pour obtenir x,

Meñous donc une ligne AB = 4; à l'extrémité B, éle-

vons la perpendiculaire BC — -

et joignons les points

AetC, nous aurons évidemment

AC — a+.

a : a Pour retrancher = de cette ligne, portons — de C en 5 2

M,etle reste AM sera la valeur de x. AM est donc la partie cherchée de AB ; et il suffit de la porter sur AB de A en N pour opérer le partage demandé. Cette dermère condition s'exécute en décrivant du point A comme centre, avec AM pour rayon, l'arc MN; car on a alors AN — AM.

La construction que nous venons de donner est précisément la même que celle que l’on trouve dans les élémens de géométrie.

Il nous reste à examiner ce que signifie la seconde

raleur de x,

Nous pouvons lui donner la forme

Cette dernière expression indique qu'après avoir con-

; |, DE struit \/# + 7 > Somme nous l'avons fait, il faut

: a AU s ajouter = ; prolongeons donc AC jusqu’à sa rencontre

en D avec le cercle décrit du point C comme centre, avec CB pour rayon, et nous aurons CD = CB, et par

conséquent a at AD — CD +AC= - + OU ns

Mais æ étant négatif, on doit le prendre en sens inverse de ce qu’on aurait fait s’il était positif. Ainsi, au lieu de le porter sur AB, de À dans la direction AB, on le portera dans une direction opposée, de A en P sur le prolongement de AB, et l’on obtiendra de cette manière une droite PB qui sera le quatrième terme de la proportion