AB : AP :: AP : PB

Quoique cette solution ne satisfasse pas entièrement à l'énoncé du problème , puisque AB n'est point partagé en deux parties, elle le résout cependant. dans toutes ses autres circonstances; car l’une des lignes trouvées est moyenne proportionnelle entre l’autre ligne et a, ct, de plus, la somme de ces deux lignes, en prenant x négativement, est égale à a.

Il résulte de cette remarque, et d’autres semblables qu'on pourra faire dans des questions du même genre,

que lorsqu'on trouve plusieurs valeurs différentes pour l'inconnue d’un problème, ce problème est susceptible de plusieurs solutions. Si donc son énoncé n’en comporte qu’une seule, c'est qu'il a été trop restreint, et que la question peut être envisagée d’une manière plus générale. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, en l’énonçant comme il suit :

Une droite AB étant donnee, trouver sur cette droite ou sur son prolongement un point tel que sa distance au point À soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et cette droite AB.

On lui fait embrasser les deux solutions données par les deux valeurs de x, puisque les points N et P remplissent tous deux la condition demandée.

Pour établir, dans ce dernier cas, les rapports entre les quantités cherchées et la quantité connue, il n’y a pas de raison pour supposer le point demandé plutôt à droite qu'à gauche de A. On peut donc adopter indifféremment l’une ou l’autre de ces hypothèses, dont la première donne a—x pour la distance du point demandé au point B, et dont la seconde donne a + x pour cette distance, et l’on obtiendra, toujours, les deux mêmes valeurs de + trouvées ci-dessus.

15. Lorsque les lieux gcométriques ne peuvent se construire par de simples intersections de lignes droites et d’arcs de cercle, ce qui arrive toutes les fois que l’expression algébrique qui les représente renferme des quantités variables élevées à des puissances , ils exigent l'emploi des lignes courbes. On les nomme alors Lieux du second ordre, du troisième ordre, etc., suivant que les puissances des variables sont du second degré, du troisième degré, etc. Les lieux du second ordre se construisent à l’aide des sections coniques, et les lieux des ordres plus élevés à l’aide des courbes supérieures. On trouvera dans le cours de cet ouvrage des exemples de ces constructions. Nous ne nous y arréterons point ici, parce qu’elles sont considérées d’une manière beaucoup plus générale dans la seconde branche de l'application de l'algèbre à la géométrie. Ce n’est même que depuis la découverte de cette branche snportante, que les sciences mathématiques doivent à notre immortel Drs- CARTES, qu’on peut ramener à des lois générales le petit nombre de ces constructions, obtenues par les anciens de la manière la plus laborieuse.

IT. Équarions. 1. Toutes les relations qui existent entre les quantités s'expriment par des rapports où par des équations ( Foy. Comparaison). Lors donc que l’on considère les diverses espèces d’étendues comme antant de quantités diverses, leurs relations doivent également s'exprimer par des rapports et par des équations. Nous venons de montrer comment la construction des rapports conduit à la solution des questions géométriques : il est facile d’entrevoir que la construction des cqua-

AP 401 tions, dont celle des rapports n'est qu'un cas particulier, doit embrasser toutes les propriétés de l'étendue.

Or, les relations de l'étendue, prises dans leur plas grande généralité ; ne sont que des relations de lignes droites ou courbes décrites sur un même plan, ou tracées dans l’espace ; car c’est en effet seulement avec des lignes qu’on forme toute étendue linéaire, plane ousolide,

Pour étudier ces relations, il faut donc préalablement déterminer la situation arbitraire des lignes soit sur un plan indéfini soit dans l’espace absolu, en les rapportant à quelque chose de fixe et d’invariable qui permette d'en suivre avec exactitude toutes les circonstances. Nous trouvons donc ici deux subdivisions pour cette partie de la géométrie générale, correspondantes au plan indéfini et à l'espace absolu, dans lesquels il s’agit de considérer les relations des lignes. La première est ce qu'on nomme aujourd’hui, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS ; la seconde, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. Avant d'exposer leurs lois fondamentales, nous devons faire encore observer que le terme analytique, dérivé de celui d'analyse donné à l'algèbre, n’exprime point exactement la nature de ces branches de la géométrie, puisque la méthode analytique n'y est point exclusivement employée. Si le mot a/gorithmie est adopté par les géomètres , toutes les parties qui composent l'application de l'algèbre à la géométrie devront être réunies sous le titre géuéral de GÉOMÉTRIE ALCORITHMIQUE.

2. Deux droites indéfinies, perpendiculaires l’une sur l'autre, étant données sur un plan, la position d’un point quelconque pris sur ce plan sera entièrement déterminée lorsqu'on connaitra sa distance à chacune de ces droites. En effet, soient XX’, Y Y' deux droites rectangulaires; a, la distance d’un point o à la droite YY';et b la distance de ce même point à la droite XX’. Il est évident que si l’on prend Ax — a, et que par le point x on mène xo parallèle à YY', tous les points de cette parallèle se trouvant à une distance a de YY , le point o sera nécessairement un de ces points; de même, si l’on prend Ay=b, et que par le point y on mène yo parallèle à XX’, tous les points de cette parallèle se trouvant à une distance b de XX, le point o sera encore un de ces points. Or, le point o devant se trou-

veren mêmetemps sur les deux droites yo et xo, ne peut être évidemment situé qu’à l'intersection de ces droites. Donc, lorsque

Ax et Ay, ou a et b, sont connus, la position du point o est fixée.

Cependant, la construction que nous venons de faire pouvant avoir également lieu dans chacun des quatre angles X'AY, X'AY', XAY, XAY', il faut de plus connaître celui de ces quatre angles dans lequel doit se trouver Je point o, pour que sa situation soit entièrement déterminée sur le plan indéfini des droites XX", YY'. Cette dernière condition est remplie de la manière suivante : on considère toutes les distances mesurées sur XX", en partant du point À, comme positives , lorsque leurs directions vont de A vers X, et comme négatives lorsque leurs directions vont de A vers X'; de même on considère toutes les distances mesurées sur Y Y',en partant du point À , comme positives, lorsqu'elles sont dirigées de A vers Ÿ , et comme négatives lorsqu’elles sont dirigées de À vers Y'. De cette manière, les signes des quantités a et b déterminent toujours l'angle dans lequel le point se trouve. Si ces quantités sont toutes deux positives, le point est en o dans l’angle YAX ; si & est négatif et b positif, le point est en o' dans l'angle X'AY; dans l'angle XAY'; et enfin si a et b sont négatifs, le point est en 0” dans l’angle X'AY”.

Les quantités & et b se nomment toutes deux les coor-

si æ est positif et b négatif, le point est en 0”

données du point o. En particulier, à senommel’abscrsse, et b, l'ordonnee. Les deux droites XX’, YY'sont les axes des coordonnées , savoir : XX’, l'axe des abscisses, et YY'Vaxe des ordonnées. Le point d’intersection À se nomme l’origine des coordonnées ou simplement l’origine. On désigne encore, pour abréger, XX'sousle nom d'axe des æ, et YY' sous celui d’axe des y, parce que les abscisses sont généralement exprimées par la lettre x, et les ordonnées par la lettre y.

Les égalités Y —= D

D — A se nomment les équations du point. Ces équations présentent les quatres combinaisons

Ta z=+a x—=—u Lx=—a y=+<b y=—-b y=+b jÿ =—8 qui caractérisent, ainsi que nous venons de le dire, les quatre positions différentes ©, o', 0", 0", que peut avoir le point qu’elles représentent.

3. Lorsque dans les équations générales du point, æ=a,y—=b, a cst égal à zéro, Péxpféssion x = 0 indique que la distance du point à l'axe des y est nulle; le point est donc alors situé sur cet axe même à une distance D de l’origine ; lorsqu'au contraire b est égal à zéro, l'expression y = 0 indique que Ja distance du point à l’axe des x est nulle; le point est donc alors situë sur l'axe de +, à une distance a de l'origine. Enfin, Jorsqu'on à, à la fois, & = o ct y — 0, le point est

situé à l’origine même,

AP

4. Siau lieu de rapporter la position d’un point à deux’ axes rectangulaires, on se servait d’axes obliques, et faisant entre eux des angles quelconques, il est évident que cela ne changerait rien aux considérations précédentes, les coordonnées étant toujours parallèles aux axes. Il est essentiel, dans plusieurs cas importans, d’employer des axes obliques; mais comme il est toujours facile de passer d’un système d’axes quelconques an système des axes rectangulaires, et réciproquement (voyez TRANSFORMATION DES COORDONNÉES), nous- ne considérerons d’abord que ces derniers.

5. Si de tous les points d’une ligne droite ou courbe menée d’une manière quelconque dans le plan de deux axes rectangulaires ; nous abaissons des perpendiculaires aux deux axes, nous aurons, pour chaque point, deux équations de la forme

Or, sil existe la méme relation entre les coordonnées de tous ces points, cette relation unique pourra toujours s’exprimer d’une manière générale , et constituera ce qu’on appelle de la ligne. Lors donc que l’équa-

l'équation .

tion d’une ligne sera connue, on

connaitra aussi les équations de chacun de ses points, et par conséquent toutes les circonstances de son cours.

6. Soit CD une droite quelconque. Si d'un point o de cette droite nous menons les coordonnées 0x, 07, et si du point B où la droite rencontre l’axe des y, nous menons BN parallèle à Ar, nous aurons un triangle rectangle dans lequel l'angle DBN sera le même que l'angle DCX que fait la droite avec l’axe des x; ce triangle donne, en désignant le rayon trigonométrique par un,

| tang DBN :: Bn :

faisons tang DBN = &, et AB — ?; Brn—Ax—x et de n6 —0x—nx=0x—AB —y— b,