Pros. III. Trou

ver La valeur du rayon d'u: cercle inscrit dans un .riangle.

Les équations des trois côtés étant comme cidessus

un Choer re , Pme ———— X

il s’agit d'exprimer la circonstance de la situation du point o à égale distance de ces trois côtés. Or, les coordonnées de ce point étant m", n", les perpendiculaires op ; 0q, or, auront pour valeurs

ñ n— —m" TT m mn'—m'n OP = —; > —= rm V'r+r k Frs ' La (4 NO — mn m'n"—m'n 09 = — © = —— n° V/m+n 1+ m'?

' ’ ER em —mn nm— 1m M— mm

or =

Gm—m) n° — (n—n')m'—mn + nn

V'(n=m)} + (an) ?

ou bien à mn'—m'n PER a m'n"—m"n oq —

(nn mn) — (m"n—m"n) — (mn'—m'n) OP = —————

Mais, la formule qui donne l'expression générale de la perpendiculaire résultant d’une extraction de racine a le double signe + ; les expressions précédentes peuvent donc être prises dans les deux sens. Pour ne faire usage que des valeurs positives, seules nécessaires dans la question qui nous occupe, il faut remarquer que dans la figure construite on a

n n non = 7 > nm 3

mm" m

n' DE

et par conséquent m'n>>mn" , mn>m'n, mn>mn.

D'où il suit que pour n'avoir que des valeurs positives, il faut changer les signes de la première, qui devient alors

m'n— mn"

Op —= —.

m'n” étant plus grand que »"n»', il ne faut rien changer à la seconde, Quant à la troisième, l'équation de BC étant n—n — æ LT de

mn —m'n —m"

Mm—m

Si nous faisons dans cette équation x—m", le point de BC qui répond à l’abscisse m” est nécessairement une ordonnée plus grande que n»", nous avons donc

mn mn

ou mn" — mr" mn — m'n + mn — mn; ce qui revient à mn'— mr — m'n+ m'n<mn—mn, en retranchant »"n—m"n' des deux membres. Mais

dans la valeur de or, mn'—m'n est pris négativement. Ainsi, comme on a mn >mn',

— (nn — mn)

sera une quantité positive plus grande que la somme de toutes les autres; et conséquemment or est positif. [l ne faut donc pas changer ses signes.

Cela posé, soit

og = €" or=e",

op =e on aura (p)

ae +be +cc=mn--mn= 28.

AP Mais, dans le cas du cercle inscrit, e—e'=e”, donc 128 | FE 2Fb+e

C’est la valeur du rayon du cercle inscrit.

23. Si l’on faisait a—b=—c dans l'équation (p) on aurait e 28 € + € +e” = 7 ;

ce qui fait voir que si d’un point quelconque, pris dans l'intérieur d’un triangle équilatéral , on abaisse des perpendiculaires sur les côtés, la somme de ces perpendiculaires sera égale à la hauteur du triangle ; car, prenant a pour base, et nommant À la hauteur, on a

Lah=S, d'où k=®, et, par conséquent , e+-e'+e"— Ah.

24. Il résulte des principes que nous avons précédemment exposés, et des applications que nous venons d’en faire, que la solution des questions géométriques qui dépendent des relations des lignes droites, se réduisent à déterminer dans l'équation générale

y = ax + b

les valeurs particulières de a et b qui conviennent aux droites cherchées. Cette équation étant en même temps l'équation générale du premier degré à deux inconnues (voyez Équarions), on doit conclure réciproquement que toute équation du premier degré peut se construire par une ligne droite. Si de ces équations nous passons à celles de degrés plus élevés, nous verrons qu’elles représentent des lignes courbes de diverse nature; mais pour nous élever successivement aux considérations nouvelles qui découlent de cette manière d’envisager les propriétés de l'étendue, nous allons d’abord rechercher l'équation de la circonférence du cercle, courbe que sa régularité et sa facile construction rendent presque aussi simple que la ligne droite; nous montrerons ensuite que cette équation n’est qu’un cas particulier de l’équation générale du second degré, qui embrasse dans sa généralité toutes les courbes nommées sections coniques , comme l’équation générale du troisième degré embrasse toute une autre espèce de courbes, et ainsi de suite. Cette recherche nous donnera un exemple de la méthode qu’il faut suivre pour trouver! l'équation d’une courbe dont quelques-unes des propriétés sont connues, tandis que la construction des équations générales nous offrira les moyens de déterminer la nature des courbes qu’elles représentent, et d’arriver à la connaissance de toutes leurs propriétés.

Soient AX et AY les axes des coordonnées et o le centre d’un cercle dont les coordonnées sont op = p etog = q.

Si nous prenons sur la circonférence un point quelconque c, dont nous désignerons les coordonnées par x ety'; la distance de ce point au point o sera d’après (13)

= VE nn) Mais cette distance est la même pour tous les points de la courbe. Si donc nous désignons par r le rayon du

cercle où la quantité à laquelle cette distance doit être constamment égale, nous aurons l'équation (2)

on: nn Ed 0 NE Un ou x +g—2qx + +p my =r, qui sera celle de la circonférence d’un cercle, puisqu'elle convient à tous les points de cette courbe.

Les trois quantités constantes p, g, rp|… qu'elles renferment, servent à indiquer en quoi une circonférence de cercle diffère en

grandeur et en posi-| tion d’une autre circonférence de cercle.

L'équation (m») change de forme suivant la position du cercle par rapport aux axes. Par exemple, si l’origine était située sur l’un des points de la circonférence, on aurait

p+g=r et l'équation prendrait la forme plus simple(n) 2? + ÿ° — 2pX — 2qY = 0.

Si l'un des axes passait par le centre, et si l’autre touchait la courbe au point où elle est coupée par le premier, On aurait g = 0 et

ou q =

p="r r et p—= 0,

et l'équation (n) deviendrait

Æ'+ÿ—ary =0 où x + y — 2rx — 0.

Enfin, si l’origine des axes était au centre, on aurait en même temps

g=0 € p = 0, et l’équation générale se réduirait à (0) my = 7,

Cette dernière est celle dont on se sert le plus commu nément.

25. Pour trouver l'équation d'une courbe il suffit donc d'exprimer algébriquement les relations fondamentales qui existent entre ses points et les droites qui s'y rap-

portent d’une manière déterminée. Cette équauon une fois trouvée, toutes les particularités de. la courbe en découlent naturellement, comme aussi celles qui peuvent résulter de son concours avec d’autres lignes quelconques dont les équations sont données.

C’est ainsi qu’en combinant les équations du cercle et de la ligne droite nous pourrons déduire toutes les propositions géométriques qui se rapportent à ces lignes. Voyez CERCLE.

26. L’équation générale du second degré à deux indéterminées est de la forme (voyez ÉQUATIONS )

Ax? + By° + Cxy + Dx + Ey + F—o.

Or, en supposant À = 1, B— 1 e1C — 0, cette équation devient

& + y + Dr + Ey +F=o.

Faisantdans cette dernière D=—2q,E=-2p,F=q+p —r, elle se réduit à

2? + y — 297 — 0py FI+P Tr =; équation que nous avons trouvée pour le cercle. L’équation du cercle n’est donc en effet qu’un cas particulier de l'équation complète du second degré.

27. En cherchant les équations des courbes par la marche indiquée (25), nous trouvons

Vi — 3x pour celle de la parabole, voyez PARABOLE; À: y2 + B? à = A: >, pour celle de l’ellipse, voyez Erzrrse; et A y? Lt Br = — A2h:

pour celle de l'hyperbole, voyez HyrersoLe.

Ges trois équations sont encore évidemment des cas

particuliers de l'équation générale du second degré à deux indéterminées.

28. Mais si, au lieu de chercher ces équations par les propriétés connues des courbes, nous construisons directement l’équation générale du second degré qui les embrasse toutes, chacune de ces courbes sera déterminée par des hypothèses particulières faites sur les coefficiens de l’équation, et leurs propriétés fondamentales se déduiront aisément de leurs équations individuelles. Voyez ConsTRucTION.

Il en est de même pour les équations des degrés supérieurs. Voyez Courses.

29. Géométrie à trois dimensions. La position d’un point dans l’espace indéfini est déterminée lorsqu'on connait ses distances à trois plans donnés.

Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY perpendiculaires entre eux, et dont les sections sont les trois droites AZ,

AY, AX, dont chacune est ainsi perpendiculaire aux deux autres. Voyez PLan.

Désignons par 2, n, p les distances d’un point O à

ces trois plans, et supposons d’ailleurs que ce point soit situé dans l'angle trièdre AXYZ.

Prenons sur AX, Am = m;sur AY A,n—n; sur Z

AZ, Ap =p,et

menons par les points »,n, p, des plans parallèles aux plans don-

nés. Le point O

sa situation dars l’espace est entiè- + rement fixée. En effet, puisque les deux plans Om et On ont tous leurs points placés aux distances m1 et n des plans YAZ et XAZ, l'intersection Oo de ces plans aura également tous ses points à ces mêmes distances de YAZ ct de XAZ : ainsi, le point O devant se trouver en même temps sur les deux plans Om et On, ne peut se trouver que sur la droite Oo qui leur est commune. De plus, ce point doit également se trouver sur le troisième plan parallèle pO placé à une distance p de XAY; donc ce point ne peut être autre part qu’en O, où le plan pO coupe encore l'intersection Oo.

On désigne par x, les distances au plan YAZ, comptées surAX ; par y, les distances au plan XAZ, comptées sur AY; et enfin par z, les distances au plan XAY, comptées sur AZ. De cette manière, les trois intersections AX, AY, AZ sont les axes des x, des y et des z. On les nomme axes coordonnées, et x, y,2, ou les distances aux trois plans, se nomment les coordonnées du point.

On nomme encore, pour abréger, plan des yz, le plan YAZ perpendiculaire à l’axe des æ; plan des xz, le plan XAZ perpendiculaire à J’axe des y; et plan des æy le plan XAY perpendiculaire à l’axe des z. Ce dernier plan est considéré ordinairement comme ayant une position horizontale. D’après ces notations, les équations du point O sont

Zz = pP;

et les quantités », #, p, lorsqu'elles sont connues suffisent pour fixer la position du point dans l’espace. Comme les trois plans coordonnés ; étant prolongés indéfiniment en tous sens, forment huit angles trièdres âu point À , pour déterminer dans lequel de ces angles est situé le point, on régarde comme positives les distances comptées sur AX à la droite de À, ct comme ne-

gatives les distances comptées à la gauche de À, ou de A vers X'. De même, les distances comptées sur AY et AZ sont considérées comme positives de À vers Y et Z, et comme négatives de À vers Y' et Z'.

Ainsi, la position d’un point dans l'espace se trouve entièrement fixée par les signes des distances 71, n;,p; lorsque d’ailleurs ces distances sont connues. C’est ainsi que les équations du point sont :

Dans l’angle

AXYZ . 2=%m, ÿ=+n, 2=+p:.

AXYZ ee = mm, ÿ—=+4n, 2 =+p.

AXYZ . x=+tni, y=—n, 5: =+p:

AXYZ' ... #—=+m, Y=+n, 3—=—p.

AXYZ Om, y=—n, 2=+p.

AXYZ'... xm——m, Y=<+n, z2—=—p.

AXYZ'... x=+m, yY=—n, 3 =—p.

AX'YZ'... a=—=m, Y=—nN, 2—=—p:

30. Lorsque dans les équations générales du point, T=MY =, T7 = Pp,

une des quantités 7, n, p est zéro, cette circonstance indique que le point est situé dans le plan des deux autres coordonnées ; ainsi, par exemple, l'équation z = o correspond à un point placé dans le plan xy.

Lorsque deux de ces distances sont nulles en même temps, le point est situé sur l’axe de la dernière : ainsi les équations

D = V — 0) 2 —\0 té : ie ;

sppartiennent à un point situé sur l'axe de æ.

Fnfn, Ies trois équations

= 0 T=EUzS=e

désignent l'origine À des plans coordonnés.