Lorsque les plans coordonnés nesont pas perpen

à à « diculaires les uns sur les autres, les axes se nomment axes obliques, et les équations du point expriment alors des distances comptées parallèlèment à ces axes. Voyez TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.

32, Si de tous [es points d'une droite située dans

l'espace on abaisse des perpendiculaires aux plans coordonnés, on aura sur chacun de ces plans la projection

de la droite; mais il suffit de deux de ces projections pour déterminer la position de cette droite. (Foy. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. } Ordinairement on choisit les projections faites sur les plans des xz et des yz, dont l'axe commun AZ est regardé comme l'axe des abscisses, alors AX est l'axe des ordonnées sur le plan des æz, et AY l'axe des ordonnées sur le plan des yz.

Soient douc PQ une droite quelconque, et pg et p'q ses projections sur le plan des æz et des yz, les équations de ces projections sur chacun de leur plan auront la forme

zx = az + b

Vi + d.

act © étant les tangentes des angles que forment pg et p'q! avec l'axe des z, et b et d les distances de l’ori-

gine aux points où ces droites rencontrent l'axe des x et celui des y.

Or, la droite étant entièrement connue lorsque ses

projections sont connues, les équations az + b,y cz + d

sout en même temps les équations de la droite dans

l'espace.

A l’aide de ces équations on peut résoudre toutes les questions qui se rapportent à la ligne droite dans l’espace; mais c'est surtout en les combinant avec celle du plan qu’on obtiendra des résultats nouveaux et importans: Joy. Pan et Surrace.

APPLICATION d’une science à une autre. Usage qu'on fait des principes et des vérités qui appartiennent à une science pour perfectionner et augmenter une autre science.

Toutes les sciences et tous les arts étant liés, le domaine du savoir humain se compose en grande partie d'applications de chacune de ses branches fondamentales à toutes les autres. C’est ainsi qu’elles se prêtent un mutuel secours et concourent au même but, celui d'élever le savoir à l'unité systématique vers lequel il gravite sans cesse depuis les premières traces de la vérité parmi les hommes.

APPLICATION (Géom.). Superposition de deux figures égales. C’est par l’application qu'on démontre les propositions fondamentales de la géométrie élémentaire; par exemple, que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal compris entre des côtés égaux, etc. Foy. SUPERPOSITION.

APPLIQUÉE ( Géom. ). Ligne droite qui coupe le diamètre d’une courbe et dont les deux extrémités sont des points de la courbe. On la nomme encore double ordonnée. Foy. ORDONNEE.

APPLIQUER. Transport d'une ligne soit dans un cercle , soit dans toute autre figure, en plaçant les extré-

mités de la ligne sur le périmètre de la figure.

Appliquer est encore pris quelquefois dans le sens de diviser. Ainsi, 4 appliqué à 20 signifie 20 divisé par 4. Cette expression, très-commune dans les auteurs latins,

est rarement employée aujourd’hui.

APOLLON (Astr.). Nom donné par quelques auteurs à l'étoile des Gémeaux, plus connue sous celui de Castor, et marquée x dans les catalogues.

APPROCHE (WMeéc.). Courbe aux approches égales, accessus æquabilis. Courbe célèbre que Leibnitz demanda aux géomètres de son temps, qui ne voulaient point admettre les principes du calcul différentiel, et dont ces géomètres ne purent trouver l’équation.

Un corps, abandonné à l'effet de la pesanteur, parcourt, soit en tombant librement par la perpendiculaire, soit en roulant sur un plan incliné, des espaces d'autant plus grands en temps égaux, qu’il s'éloigne davantage du point où sa chute a commencé. ( Voyez ACCÉLÉRE. ) Mais ce corps reste un temps d'autant plus grand à parcourir la même ligne avec une vitesse déterminée, qu’elle forme un angle plus petit avec l’horizon. Il doit donc exister une courbe telle, que l’obliquité de ses diverses parties compensant la vitesse avec laquelle elles seront parcourues , le mobile approchera uniformément de la ligne horizontale, c’est-à-dire parcourra en temps égaux des espaces égaux, pris dans le sens perpendicu-

laire.

Tel est le problème proposé par Leibnitz en ces

termes :

Trouver une courbe xx'x", le long de laquelle un corps descendant par l’action seule de la pesanteur, approche également de l'horizon en temps égaux, ou dont les parties xx, xx', x'x", etc., déterminées par les lignes horizontales xy, x'y', x'y" également distantes l'une de l'autre, soient parcourues dans des temps égaux.

Cette question n'ayant point été résolue, Leibnitz publia sa solution en 1689 (Act. À .

erud. ), sans laisser entrevoir la marche qu'il avait suivie pour y parvenir. Bientôt après Jacques Bernouilli, à l’aide des nouveaux calculs de l'infini qu’il commençait

- à cultiver, trouva la même solution, eten publia l’analyse ( Act. Erud., 1690). Varignon généralisa ensuite le problème en cherchant la courbe qu'un corps doit décrire dans le vide pour s'approcher également de l'horizon en temps égaux, la loi

de la pesanteur étant supposée quelconque. Enfin, Maupertuis le ré-

solut complètement dans sa plus grande généralité,

en prenant l'hypothèse d'un milieu résistant. Voyez Mémoires de l'Académie des sciences , 1699 et 1730.

L’équation de la courbe, dans le vide, s'obtient facilement de la manière suivante :

Supposons que le mobile parvenu au point x, ait acquis un degré de vitesse égal à celui qu’il aurait obtenu en tombant perpendiculairement de la hauteur Ay; menons zn parallèle à xy, et du point x abaissons xm perpendiculaire sur 22; prenons Ay pour l'axe des x, et faisons Ay = x, xy — y. Si nous concevons yz infininent petit, ou si nous prenons yz pour la differentielle de Ay, alors nn sera la différentielle de y; et l'arc æn sera la différentielle ou l'élément de la courbe. Nous aurous donc, à cause de æm = y = dx, et de mn = dy,

æn = V/dx° + dy Mais la vitesse au point x est égale à \/Ay ou V/x.

Ainsi, en désignant par dt le temps de la chute suivant l'arc infiniment petit x», nous avons

æn = dt. \/%.

Or, d’après la nature du problème dx = dt, done æn = dx, V/x,

et, par conséquent,

dxV/x — Ve + dr.

D'où l'on tire

dy = dx. Va—:1, ( et , en intégrant, = fdx .Va—i =2(x—1) 5 ce qui nous donne définitivement S'=i(@— 1), ou, faisant x — 1 3, 47 =.

Cette équation est celle d’une parabole cubique dont l'abscisse égale z, l’ordonnée y et le paramètre = 2. V'oy. PARABOLE.

Pour avoir le point où la courbe rencontre l’axe Ay, si nous faisons 2—0 , nous avons æ=1 ; d’où il suit que l'origine n’est point en A, mais en P, en faisant AP —1. Ainsi, pour que le mobile descende selon la loi qu’exigele problème, avant d'atteindre le sommet P de la courbe. il doit avoir une vitesse égale à celle qu’un corps acquerrait en tombant librement de la hauteur AP. Cette hauteur étant égale à l’unité, lorsque le paramètre est ?, on peut dire, en général, que le corps doit d’abord tomber librement des # du paramètre avant de rencontrer la courbe, pour qu'ensuite il puisse s'approcher également de l'horizon en temps égaux.

APPROCHES (Fonrirication). Nom que l’on donne à tous les travaux que l’on fait dans an siége pour s'a-

vancer vers la place en se mettant à couvert de son feu. Voy. FoRTIFICATION.

APPPROXIMATION (Aritk. et Alg.). Méthode d’évaluer une quantité en approchant de plus en plus de sa véritable grandeur. A l'exception des nombres raaonnels , entiers ou fractionnaires, tous les autres nombres n’ayant point de rapport fini avec unité, lorsqu'il s'agit de les mesurer ou de les comparer à l'unité, on a besoin de connaître les nombres rationnels dont ils diffèrent le moins, afin d’assigner les valeurs approchées des rapports qu’il est impossible d'obtenir exactement. Par exemple, si l'on voulait comparer 2, à l'unité, où si l’on désirait connaître combien d'unités et de parties d'unité contient V/2, il faudrait calculer les nombres rationnels qui diffèrent le moins de la véritable valeur de V/2; et comme cette véritable valeur, exprimée en fractions décimales, contient un nombre infini de chiffres , il est évident que plus on prendra de ces chiffres, et plus on approchera du rapport exact de 1 et de V/2. C'est ainsi qu’en se contentant d’une valeur approchée à moins d’un centième, on a

Que si l’on demande cette valeur, à moins d’un mil. lième , on a

Et qu’enfin si l’on a besoin de pousser l’approximation jusqu’à un dix-millième, on trouve

Or, la méthode d'approcher ainsi de plus en plus de la grandeur d’une quantité est ce qu’on nomme approxtmation.

Dans les calculs ordinaires on se contente encore des valeurs approchées des nombres fractionnaires , lorsque ces nombres sont exprimés par une trop grande quantité de chiffres pour que leur rapport avec l'unité dont ils dépendent, puisse être facilement apprécié. C’est ainsi, par exemple, qu'ayant trouvé 150 mètres et À28E de mètre, pour résultat d’un calcul dans une question où il est inutile de considérer les quantités plus petites que le millimètre, on réduit la fraction ordinaire en fraction décimale en s’arrêtant au troisième chiffre du quotient de la division ; ce qui donne

D'où l’on conclut que le résultat trouvé est, à moins d'un millimètre près, égal à 150,168. Dans ces sortes de questions, l’approximation est toujours suffisante lorsqu'elle s'élève aux plus petites subdivisions des quantités sur lesquelles on opère.

Il y a encore, pour les fractions ordinaires , une approximation d’une nature différente : c’est lorsqu'on

demande d’autres fractions ordinaires qui diffèrent trèspeu des proposées , et qui soient exprimées par de plus petits nombres. J'oyez, pour toutes ces questions , es mots : Fracrion, Fracrion pÉcImALE ét FRACTION con- TINUE.

Quant à l’'approximation des nombres incommensurables , voyez EXTRACTION DES RACINES.

APPROXIMATION des racines des équations. La résolution théorique des équations, à partir du cinquième degré, étant encore un problème au-dessus des forces actuelles de la science, et celle même des équations du troisième et du quatrième degré étant souvent très-laborieuses par les regles générales, les efforts des géomètres se sont tournés du côté des méthodes d’approximation. Sous ce rapport, du moins, leurs succès ont été plus complets. Saus parler ici des premières tentatives de Viète, qui ne peuvent plus compter que pour l’histoire de l'algèbre, nous allons exposer successivement les procédés généraux que l’usage a consacrés.

Le plus populaire de ces procédés est dü à Newton, qui le communiqua à Barrow dès l’année 1669, dans son écrit intitulé : Analysis per æquationes numero terminorum infinitas. Voici en quoi il consiste :

Soit l'équation générale du degré », ayant des racnes réelles, am + À ami A am? LE A; m5 — etc... + Am —0.

et soit a, une valeur approchée d’une de ces racines, valeur qu’il est toujours possible de trouver, à moins d’une unité près. Joy. Limrres.

Désignons par z, la quantité dont à diffère de la véritable valeur de x, et nous aurons l'égalité

C’est donc la valeur de z qu'il s’agit de déterminer. Pour cet effet, substituons (a + z) à la place de x dans l'équation proposée, elle deviendra

(a +2) + As (a+sÿi it As (a+z)rs LE etc.

+ An —=o0.

Développant les puissances des binômes, en ordonnant

par rapport à z, nous obtiendrons une équation en z de la forme

B+B:z<+ be 2 LB; 2 + etc... + 2 — 0.

Or, ane devant différer de x que d’une quantité plus petite que l'unité, z sera une fraction, et par conséquent z?, 23,74 ,etc., seront aussi des fractions de plus en plus petites. Négligeant donc les termes où ces quantités se trouvent , nous aurons l'équation

BLB,z=0, d'autant plus exacte que z sera plus petit. La valeur approchée de z sera donc

et, par suite, celle de x

B:1 Maintenant, en exprimant par 72 cette première approximation, et par z' la quantité dont elle diffère de la

véritable valeur de +, nous aurons encore æ = mn + 3.

z'à la place de x,

Substituant 2 +

proposée, et continuant comme ci dessus, nous parvien-

dans l'équation

drons à une nouvelle équation en z'

CH Ci z' + Ce: 32 + Cs 35 + etc... — 0; laquelle, en négligeant tous les termes affectés des puis-

ra NOT ES sances supérieures de z", se réduira à C —- Ci 2e 0:

D'où nous tirerons

Ë G Anar Qui et par suite papa hr (a BC:

seconde valeur approchée de +. En continuant de la même manière, nous obtiendrons successivement des valeurs qui différeront de moins en moins de la véritable, dont nous pouvons ainsi approcher indéfiniment. Un exemple va rendre ce procédé plus sensible,

Exéuprr. On demande une des racines de l'équation a— 9x —5—0.

Après avoir trouvé qu'une des racines est comprise

entre 2 et 3, on fera

Substituant dans l'équation, on aura

D'où 103— 1 —o, en négligeant les termes affectés de z2 et de z°.

ï Cette dernière équation donne z2=—. On a donc

pour première valeur approchée de æ

=2 + — —02,1 26 10 Faisant actuellement

car il est inutile de prendre un autre caractère que z,

ou æ— 2,1 +3;

et substituant dans la proposée, nous aurons

a} — (2,1) H 3(2,1)z + etc.

t, par conséquent , 0,061 4- 11,233 = 0.

D'ou

en se bornant au quatrième chiffre décimal.

Nous avons donc pour seconde valeur approchée de x

Faisons encore —2,0946+72, et nous aurons

a —(2,09406) + 3(2,0946)z + etc.

D'où 0,000541708+#11,16196z=—0, et

—=—0,0000/853 ; ec qui donne pour troisième valeur approchée de æ

dont les sept premiers chiffres décimaux sont exacts.

En continuant de la méme manière, on obtiendrait un aussi grand nombre de chiffres exacts qu’on pourrait le demander...

Avant de passer aux méthodes plus modernes, nous devons parler de deux autres procédés fondés sur le même principe, et qui ont été trouvés par Halley et Raphson, peu de temps après la découverte de New. ton, dont il parait prouvé qu'ils n'avaient point connais-sance.

Le procédé de Halley ne diffère de celui de Newton qu’en ce qu'il conserve dans les équations successives les termes où se trouvent les secondes puissances de z; mais, par un moyen ingénieux, dont il fait honneur à Lagny, il réduit encore toute l'opération à une simple division. Voyez Transactions philosophiques,

Le procédé de Raphson n’est en réalité qu’une sim-

n° 210, année

plification de celui que nous venons d'exposer. Comme tel cependant, il mérite de trouver place ici.

Soit, moins d’une unité, d’une des racines de l’équation (72) am + A4 ami As am LA; am etc... + An —0.

Eu multipliant chaque terme de cette équation par

comme ci-dessus, « la valeur approchée, à

l'exposant de la puissance de x qui s'y trouve, et diminuant ensuite tous ces exposans d’une unité, on obtient l'expression (2)

mari (nr )A a 2 (no) A ans Letc... Arret,

qui west autre chose que la dérivée différeutiel{e de

Véquation. Dans cette opération on considère le terme absolu À, comme s’il était A, x°, et alors en le multipliant par l’exposant zéro il disparait.

Si nous désignons par M, ce que devient l'équation (mr) lorsqu'on y substitue a à la place de x, et par N ce que devient l'expression (x) par la même substitution, la valeur approchée de x , sera

M T=Aa— TV.

A l’aide de cette valeur on obtiendra une seconde approximation en opérant de la même manière, et ainsi de suite. Nous allons faire une application de cette méthode à l’équation de l'exemple précédent.

L’équation donnée étant (r)

x—92x—5=0, sa dérivée est (2) 3x1 — 0.

Nous avons d’ailleurs a — 2.

Substituant 2 à la place de x dans (1) et (2), nous trouverons

D'où M 1 BE DER UT

Substituant de nouveau 2,1 dans (1) et (2), nous aurons (2,1) 22,1) —5=M, 3(2,1)—9 = N.

1où

Substituant encore 2,0946 dans (1) et (2), nous obtiendrons (20946) — 2(2,0946) —5—M, 3(2,0946 —2=N,

et, par suite , M x—2,0946— N— 2,09425147.

Chaque substitution nous donne donc les mêmes valeurs ‘que dans le procédé de Newton; seulement la marche est plus simple. Raphsona encore facilité l'application de son procédé, en calculant des tables à laide desquelles on obtient les quantités que nous avons désiguées par M et N, pour chaque équation, jusqu’à celles du dixième degré inclusivement. Voyez Analysis æquat. univ. London, 1600.

Tne faut cependant pas conclure, de approximation rapide que nous venons d'obtenir pour la valeur de x, das l'équation x—2%—5=—0, que le procédé de Raph-

AP 4145 son ou de Newton puisse s’appliquer avec le même avantage dans tous les cas. Si la première valeur approchée a différait de la véritable de plus de, l'approximation serait beaucoup plus lente, et l'opération exigerait un grand nombre de substitutions. Il est donc important, ayant d'employer ce procédé, de trouver une valeur de æ dont les limites scient plus rapprochées que & et a + 1 ; une simple application de la règle de Fausse posITION peut abréger les calculs. Par exemple, après avoir trouvé que l'équation x—2x--5 se réduit à —r en faisant x — 2 et à +16 en faisant æ=—3, ce qui montre d’abord évidemment que la valeur de æ est plus près de 2 que de 3, on multiplie le résultat de chaque substitution par la valeur de l'autre substitution, et l'on divise la somme des produits par celle des résultats. Le quotient est déjà une valeur plus approchée de x que 2 et 3 (foyez Fausse rostrion), et l'application du procédé de Newton amène alors une approximation beaucoup plus prompte.

Nous aurons ici 1X3—H16X2 35

1+106 en nous bornant aux centièmes.

Partant donc de cette valeur, la première substitution donnera æ—2,07, qui diffère bien moins de la véritable que æ=2,1 trouvée ci-dessus ; et, conséquemment, les substitutions suivantes donneront également des résultats plus approchés.

Dans son bel ouvrage sur la Résolution des équations numériques, Lagrange à examiné la certitude de ces procédés et le degré d’approximation qu’on peut atteindre par chaque substitution successive. Les détails dans lesquels il est entré ne laissant rien à désirer, nous y renvoyons ceux de nos lecteurs qui voudraient appro-

fondir entièrement la question.

On doit aux illustres frères Jean et Jacques Bernouilli plusieurs méthodes ingénieuses d’approximation dont l'exposition nous entrainerdit trop loin (Voy. Jean Bernouïlli, opera, tome UK, et Actes de Leipsick, 1689). Taylor (Trans. Philosoph. 1717), Thomas Simpson (Essays on several curions et usufiuls subjets. London, 1740. — Select exerëises for young profiéients. Lond., 1952), M. de Courtivron (Mém. Acad. des Se., 174), et le mathématicien allëmand Kæstner ont également découvert des procédés particuliers que les limites de ce dictionnaire nous permettent seulement de mentionner. Cependant, la méthode dé Daniel Bernouilli , exposéé dans le Commentaire de l'Académie de St,<Petersbourg, tome HI, et développée ensuite par Euler dans son ouvrage : /ntroductio in an4lÿysin infintorunx, ctc., repose sur des considérations. si différentes de

toutes les autres méthodes, que nous croyons deveur:

laonner au moins une idée du procédé élégant qu'Euler enatiré.

La méthode de Bernouilli consiste à trouver une série récurrente (voy. ce mot) telle que lun de ses termes, divisé par celui qui le précède, donne une valeur de plus en plus approchée d’une racine de l'équation, selon que les termes employés sont plus grands. Supposons donc, dit Euler, que nous connaissions déjà les termes successifs p, q, r, s, t, etc. de cette série , il faudra que

. , . les % .

L indique la racine x dejà assez exactement; c’est-à-dire

qu’on ait à très-peu près us æ. On aura de même