VIS

= x; et la multiplication des deux valeurs donnera : ve

s ss = x°. De plus, comme 7 = Y On aura aussi à

: : t t Se x; ensuite, puisque -=x, on aura in æi,et ainsi s de suite.

Si, dans une équation

æi+Ar+Bz+C=o,

nous substituons ces valeurs , elle deviendra

s r SH HAE t; ou s+Ar+ Bg+ Cp= 0; ce qui nous donne s—=—Ar—Bq—Cp;

expression qui montre comment cha jue terme de la série récurrente doit être formé par ceux qui le précèdent : de sorte qu'ayant seulement, «ans le cas qui nous occupe , les trois premiers termes, or est en état de continuer la série aussi loin qu’on le voudra. Quant à ces trois premiers termes, on peut les prendre à volonté. Nous allons éclaircir ceci par un exemple, faisant observer, avant tout, que le second terme de l’équation ne doit pas manquer. Soit l'équation

Faisons — æ =" : x= À, nous aurons P P q RER PRET P P P D'où s=r+2q+p.

Par où l’on voit que chaque terme de la série doit résu!ter de la somme des trois termes qui le précèdent, après avoir préalablement multiplié par 2 le terme du inilieu. Le commencement de la série étant arbitraire ,

prenons 0,0,1 pour les trois premiers termes, et nous trouverons pour les suivans

0,0,1,15,59,0,13,20; 60,120, 27/7, etc, Ainsi , les valeurs de x seront

28 Go

17 , nous au-

12 “rt GTS

: t PS Dm 5 etc.

Oo "010400 30006

Si nous prenons pour x la fraction

rons

valeur exacte jusqu’au chiffre des millièmes.

Nous devons faire observer que toutes les équations ne sont pas de nature à pouvoir y appliquer cette méthode avec avantage, et que souvent on est forcé de calculer un très-grand nombre de termes de la série pour obtenir une faible approximation. En outre, le choix des premiers termes n’est pas entièrement arbitraire, et il est facile de s'apercevoir qu’on peut, en les déterminant convenablement, rendre l’approxanation plus rapide. Quoi qu'il en soit, le procédé d’Euler n’en est pas moins un des plus ingénieux qui ait été trouvé jusqu'à ce jour. Nous ferons connaitre, à l’article sÉR1ES RÉcurreNTEs, les principes sur lesquels il est fondé, et dont la découverte est due, ainsi que nous l’avons déjà dit , au célèbre Daniel Bernouilli.

Il est assez difficile de pouvoir reconnaître exactement le degré d’approximation qu’on obtient par les méthodes précédentes ou de savoir, dans chaque opération, quels sont les chiffres décimaux auxquels on doit s'arrêter pour ne pas rendre inutilement les calculs successifs trop laborieux. Sous ce rapport , le procédé de Lagrange, que nous allons exposer, est supérieur à tous les autres, quoiqu'il ne donne que des approximations plus lentes , et qu'il ne soit en réalité qu'une méthode de tétonnement.

Soit, comme ci-dessus,

x" HA;xm—A HE Ac DUT JE À; as L'etc.. = 0,

une équation d’un degré quelconque dont une racine réelle est comprise entre à et a+-1, ou dont a est la partie entière.

ee 1 5 :

En désignant rs , la partie fractionnaire de cette racine, nous aurons x=a+ d ex Et) VA é pe Le.

et nous obtiendrons, par la substitution de a +- à Ja Ÿ

place de x, dans la proposée , une équation en y dont la forme sera

PT + B; “dc | Be RES E B; L'an + eiC; — 10.

Cette équation aura nécessairement une racine réelle

positive, plus grande que l'unité, et n’en aura qu'une seule , s’il n’y a, comme nous le supposons ici, qu’une seule racine x comprise entre a et a + 1. Dans ce dernier cas, après avoir trouvé la partie entière de cette valeur de y (Foy. Limites), désignons-la par b, et nous

aurons 3 =b+ 50 étant la partie fractionnaire inconnue de cette même z racine.