x ; Substituant b+ — à la place de y, dans l'équation

en ÿ , nous obtiendrons une nouvelle équation en z de la forme :

2m Ci ami EL Ce 22 LC; 2-5 L'etc... — 0, qui n'aura également qu’une seule racine positive plus grande que l'unité. En désignant encore par c, la partie 1 I : à ; entière de cette racine et par 2 la partie fractionnaire,

nous aurons

Opérant encore comme ci-dessus , nous obtiendrons pour # une valeur de la forme

w=d+-, P et ainsi de suite.

Or , réunissant les diverses racines

1 I 1 CO LE En ME CLR MP tent etc.,

si nous substituons dans la première la valeur de la seconde , elle deviendra

a=at

Substituant dans cette dernière la valeur de z, et successivement celles de w, etc., etc., la racine cherchée sera exprimée par la fraction continue

Le a+ ———— LE Maya TEE c+

d+ etc.

et il est évident que plus on prendra de fractions intégrantes, plus on approchera de la véritable valeur de æ. Pour fixer les idées, nous allons appliquer ce qui précède à l'équation x?— 2x— 5 — 0, déjà traitée par la méthode de Newton.

La valeur entière d’une des racines de cette équation étant 2, nous aurons

Et, en substituant et ordonnant par rapport aux puis-

, Ë b sances de y , l'équation en y sera

FP— 107? — 67 — 1 —0, dont la racine réelle est comprise entre 10 et 11. Faisons donc ! I J —=10 + EL nous obtiendrons G123— 942? — 203 — 1 — 0 pour l’équation en z. Cette équation a une racine entre ‘ : L', 1et2. Par la substitution de 1 + — à la place de z dans w cette dernière, l'équation en 4 sera 54av} + 254vt — Bow — 61 — 0, dont la racine est encore entre 1 et 2.

En continuant de la même manière, on trouve, pour les nombres que nous avons désignés ci-dessus par a, b, c, d, etc., et qui ne sont que les parties entières des racines de chaque équation successive, les valeurs 2, 10,1,1,2,1,3,1,1,12, etc.; de sorte que la racine cherchée est exprimée par la fraction continue

1+etc.

D'où l’on tirera ( Foy. FRACTIONS CONTINUES } les fractions

21 23 44 vu 155 576 731 1307 16415 10/11/21) 53) 74 275? 349 G24 ! 7837 ? 10

qui seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de x

16415 cine cherchée ; mais on sait, par la théorie des fractions

La dernière fraction

est plus grande que la ra-

4 : I continues , que l'erreur sera moindre que = »q q (835) ; Ou

que 0,0000000163... en réduisant en fraction décimale. qn°! Dusx64xbaès: ne Ainsi, la fraction Dur ,; également réduite en fraction

décimale, donnera une valeur de x exacte jusqu'à la septième décimale. Cette valeur est

TX —=2, 09455148....

Ainsi, la racine cherchée est entre 2,09455149 et 2,09455147.

Cette méthode, comme celle de Newton, suppose qu'il n’y a qu’une seule racine comprise entre deux nombres & et & + 1 qui ne diffèrent que d’une unité. Cependant, lorsque cette condition n'existe pas, on peut encore, ef cherchant la plus petite différence des ra-

cines, déterminer des limites assez rapprochées pour rendre ces procédés applicables. Voyez ÉQUATION Aux DIFFÉRENCES, Limires, RÈGLE DES siGNES.

Le procédé de Lagrange entraîne souvent dés calculs si longs et si rebutans , que dans la pratique on préfère celui de Newton, ou qu’on a recours à des méthodes encore plus expéditives. Celle que Xramp expose dans son Arithmétique universelle, et celle que donne Cagnoli, Trigonometrie rectiligne et sphérique, fondées toutes deux sur les mêmes principes, ne demandent que des opérations arithmétiques d’une exécution facile. M. Budan de Boislaurent, daus sa Nouvelle méthode pour la resolution des équations numériques, propose un procédé de la plus grande simplicité. F’oyez Limires.

On a classé parmi les méthodes d’approximation l'emploi des séries pour lévaluation des racines des équations; mais cette classification est inexacte; car les séries constituent un mode de génération qui embrasse par une loi unique la construction complète d’une quantité; très - différentes en cela des procédés que nous venons de décrire, dont les accroissemens successifs sont indépendans les uns des autres. C’est par cette considération que nous renvoyens au mot SÉRIES tout ce qui concerne la résolution des équations obtenue, d’une manière générale, par ces fonctions importantes.

APPUI. Point p’arpur d'un levier (Méc.). Point fixe autour duquel le poids et la puissance se font équilibre dans le levier. J’oyez Levier.

APPULSE ( Astr.). Passage de la lune près d’une planète ou d’une étoile sans l’éclipser. L’instant de l’appulse est celui de la plus courte distance des bords: On observe les appulses pour déterminer les Zeux de la lune, les erreurs des tables astronomiques et les longitudes des lieux.

APPUYE ( Géom.). Un angle est appuyé sur un arc de cercle lorsque, ayant son sommet sur la circonférence, il intercepte cet arc entre ses côtés.

Tous les angles appuyés sur le même arc sont égaux, puisqu'ils ont sa moitié pour commune mesure. Voyez ANGLES.

APSIDES (4str.). Extrémités du grand axe de l’orbite d’une planète.

Le mot «is signifie courbure, voûte. L'apside la plus éloignée dans les orbites dont le soleil occupe Fun des foyers, ou l'apside supérieure, se nomme aphélie. (&ro #Aiay où 49° #Aior, loin du soleil.) L’apside inferieure se nomme périhelie ( x£pi xd, près du soleil).

Quand il s’agit du soleil ou de la lune, l’apside supérieure prend le nom d'apogce, et l’apside inférieure celui de périgée.

Le grand axe de l’orbite se nomme aussi la ligne des apsides. C’est sur cet axe qu'on mesure l’excentricile. Voyez ce mot. Voyez aussi OrriTE et PLANÈTE.

APUS ou APOUS ( Astr. ). Constellation méridionale nommée en français Oiseau de paradis. Elle est composée de douze étoiles dans les cartes de Bayer; mais elle en renferme un plus grand nombre dans les catalogues de Lacaille. La principale étoile de cette constellation n’est que de la cinquième grandeur.

AQUARIUS. Voyez Verseau.

AQUEDUC (Arch. et Hyd.). Canal de pierre construit sur un terrain inégal pour conserver le niveau de l’eau, et la conduire d’un lieu à un autre.

Les aqueducs sont extérieurs et visibles ou souter: rains. Les premiers sont quelquefois construits à de grandes hauteurs, à travers les vallées, et soutenus par des piliers et des rangées de voûtes. Les derniers passent a travers des montagnes qu’on a percées pour cet objet. Is sont bâtis en pierres, briques, etc., et couverts de planchers voûtés, ou de dalles pour abriter l’eau contre le soleil et les pluies. Quelques-uns sont doubles , d’autres triples, c'est-à-dire supportés par deux ou trois rangées d’arches superposées les unes sur les autres.Parmi ces derniers, on peut placer le pont du Gard, en Languedoc, qu’on suppose avoir été construit parlesRomains pour conduire l’eau dans la cité de Nimes ; l’aqueduc de Constantinople, et celui qui fut construit par Cosroës, roi de Perse, près de Petra en Mingrélie. Ce dernier avait trois conduits dans la même direction, situés les uns au-dessus des autres.

L'’aqueduc le plus moderne et le plus étendu est celui que Louis XIV a fait bâtir près de Maintenon, pour conduire les eaux de la rivière du Bucq à Versailles, il est composé de 242 arches. Sa hauteur est de 4158 mètres et sa longueur de 11369 mètres.

ARAMECH. J’oyez ArcTURUS.

ARBALETE ou ARBALESTRILLE ( 4str.). Ancien instrument, dérivé des règles parallactiques de Ptolémée, jadis en usage dans la marine pour observer les hauteurs du soleil. Cet instrument , dont on ne pouvait obtenir que des approximations insuffisantes , fut remplacé par le quartier anglais, qui, après plusieurs améliorations successives, a été lui-même abandonné pour l'Ocraxr. Voyez ce mot.

ARBRE (Mec.). Axe tournant d’une machine. Les arbres des grandes machines telles que les manèges, exigent des pièces de bois qu’on ne peut souvent se procurer qu'à grands frais. [ vaut mieux alors les exécuter en fonte , en forme de tuyaux qui s’emboitent les uns dans les autres. L'emploi du fer donne toujours plus de légèreté et de solidité aux machines.

ARC (Géom.). Portion d'une courbe. Voyez Couree. Are de cercle. Parties de la circonférence d’un cercle. Les arcs d’un même cercle où de cercles égaux sont

égaux lorsqu'ils contiennent le même nombre de de-

grés, minutes, etc. Les arcs des cercles diflérens sont semblables lorsqu'ils ont la même mesure; leur rapport est alors égal à celui des rayons de leurs cercles respectifs. Les arcs sont concentriques lorsqu'ils appartiennent à des cercles qui ont le même centre.

La circonférence d’un cercle étant incommensurable avec son rayon, on ne peut trouver aucune expréssion finie qui puisse faire connaitre la grandeur d’un arc donné en parties du rayon. Mais lorsque le sinus ou la tangente d'un arc quelconque x sont connus, on peut obtenir la valeur de l'arc par les séries suivantes ( voyez Sinus), le rayon étant l'unité,

2 = tangæ— Etangx + Etang’ x — ;tang7 æ + etc. = - sinÿ æ + sine + etc., etc.

2 F5 ke æ—sinx + sin æ + =:

Lorsque la grandeur d’un arc est connue en parties du rayon, pour trouver le nombre de degrés qu'il contient on pose les proportions

x’ étant le nombre des degrés pour la division céntésimale, et x" ce même nombre pour la division sexagésimale ; 3,1415926 -est la demi-circonférence dont le rayon est l’unité.

Si de la valeur d’un arc en degrés on voulait passer à sa valeur en parties du rayon, on ferait encore usage des mêmes proportions ; alors x' ou x"”seraient la quantité donnée, et x les quantités cherchées.

Anc (Astr.). Les arcs reçoivent dans l'astronomie diverses dénominations, selon les cercles de la sphère céleste sur lesquels on les considère.

Arc diurne du soleil. C'est la partie du cercle parallèle à l'équateur décrit par le soleil, dans sa course apparente, entre son lever ?t son coucher. L’arc nocturne est de même nature, entre le coucher et le lever. On appelle encore semi-diurne et semi-nocturne les moitiés de ces arcs. |

Are de progression ou de direction. Arc de l’écliptique, sur lequel une planète parait passer quand son mouvement est direct, ou suivant l’ordre des signes.

Arc de rétrogradation. C’est un arc de l’écliptique qu'une planète semble décrire en se mouvant en sens contraire de l’ordre des signes.

Arc d'émersion ou de vision. C’est l’arc dont il faut que le soleil soit abaissé au-dessous de l'horizon pour qu'un autre astre soit visible à la vue simple. Cet are n’est pas le même pour toutes les planètes. On l'estime ordinairement de 10° pour Mercure, 5° pour Vénus, 11° + pour Mars, 10° pour Jupiter et 11° pour Saturne. Cependant cet arc est loin d’être constant car on aper-

coit quelquefois Vénus en plein jour. Il varie en outre un peu suivant la latitude et la déclinaison,

Arc de position où angle de position. Arc de l'équateur compris entre le méridien et le cercle de déclinaison d’un astre. C’est le même que l’angle horaire. :

ARC-BOUTANT (A4rch.). Support placé dans l’angle de deux parties d’une construction, dont l’une fait saillie au dessus de l’autre.

Le problème suivant peut trouver son application dans l’architecture.

Prosième. Étant donnée une pièce de bois AB supportée par une autre pièce verticale, on demande la position d’un arc-boutant mn d'une longueur donnee, pour que la pièce AB soit soutenue le mieux qu'il est possible.

Représentons la force absolue de l’arc-boutant par la droite »n; comme cette force est oblique à la pièce AB, on la décomposera en deux autres »A nD, en construisant le parallélogramme AnDm. Or, la | force D soutiendra la pièce AB ; et si l’on conçoit que cette pièce fait effort pour tourner sur

le point d'appui À, A sera le bras du levier par le moyen duquel la force xD

fait résistance; donc le produit A X nD doit étre un MAXIMUM.

Soit maintenant 27 = a, nD—mA—x; on aura,

= —3 2 et R dans le triangle rectangle Amn, mn — mA + nA ; d’où rA = V/(& — x?)

et, par suite,

nA X nD — xV/(@ —x).

Cette quantité devant être un zaximum , il faut égaler sa différentielle à zéro ( Foyez Maximis); donc

x’dx

Ve —x)

Divisant par dx et réduisant, on obtient

daV/(@ — x) —

A+==9%7 —O OU X— a/2.

Cette valeur nous apprend que æ doit être le côté d’un carré dont a est la diagonale. ( Voyez DiAGONALE.) Aiïnsi, Fangle Amn que l’arc-boutant fait avec la pièce verticale AC, doit être de 45°, ou la moitié d’un angle droit.

ARCAS (A4str.). Nom donné quelquefois à la bril-

lante étoile Ancrurus, de la constellation du Bouvier.

ARC-EN-CIEL où IRIS (Op«). Météore semis

circulaire, coloré, qui apparaît dans les nuées lorsque le temps est pluvieux. Il est produit par plusieurs réfractions et réflexions des rayons du soleil opérées dans les gouttes sphériques d’eau qui remplissent l'air. Cet arc est ordinairement accompagné d'un second arc qui l'entoure à une certaine distance et dont les couleurs, plus faibles, sont dans un ordre opposé. Ê

L’arc-en-ciel ne paraît jamais que dans les endroits où il pleut, et où le soleil luit en même temps. Pour l’apercevoir, il faut être placé entre le soleil et la nuée qui se résout en pluie.

L’explication de ce phénomène fut long-temps inconnue aux physiciens. Le premier qui l’aborda avec succès ‘est Marc-Antoine de Dominis, archevêque de Spalatro ‘en Dalhmatie. Dans son ouvrage imprimé à Venise en ‘1617, sous le titre De radüs et Lucio, Dominis prouve que l'arc coloré est le résultat de deux réfractions, séparées par une réflexion de la lumière solaire dans les gouttes rondes de pluie. Nous devons dire cependant que Képler exprime une idée à peu près semblable dans une de ses lettres écrite à Hariot, en 1606.

L'ouvrage de Dominis est loin , au reste, de contenir une théorie complète de cet intéressant phénomène. Ce qu’on y trouve sur l'arc extérieur prouve évidemment que l’auteur n’en soupçonna Jamais les véritables causes. Descartes, en partant de l'idée principale de Dominis, perfectionna l'explication de l'arc intérieur, et détermina la marche des rayons lunrineux dans l'arc extérieur. Mais quoiqu’on doive à ce grand homme la majeure partie de ce qu'il y a d’exact dans la théorie de Y'ris, il était réservé à Newton de compléter entièrement cette théorie par son importante découverte de la composition des rayons lumineux.

Nous avons déjà dit qu'on apercevait ordinairement deux arcs-en-ciel : un intérieur ou principal, dont les couleurs sont vives , et un extérieur ou secondaire, dont les couleurs sont plus faibles. L'ordre des couleurs est

° mwiolel,

pour le premier, en allant de bas en haut, 1 2° indigo, 3° bleu, 4° vert, 5° jaune, 6° orangé, et 7° rouge; pour le second, cet ordre est inverse, c’est-à-

: dire que le rouge A est à la partie su- ‘ périeure de l'arc, et le wrolet à la partie inférieure.

Pourconcevoir la production de

ce phéromène,

représentons par

R 1e É “n goutte de pluie : le rayon solaire Ss venant frapper obli-

quement cette goutte en s, au lieu de continuer sa direc-

le cercle sIPO une

tion Sa, sera réfracté en s’approchant de la normale sA (voy. Rérracriox), et ira frapper la paroi de la goutte en 1; la portion de ce rayon qui ne traversera pas la goutte sera réfléchie vers OP, en faisant son angle de réflexion égal à celui de son incidence, et, au lieu de continuer sa route vers », il sera réfracté une seconde fois en s’écartant de la normale à OP, parce qu’il passe obliquement de l’eau dans l'air. Mais comme ce trait lumineux , quelque mince qu’il soit, est un faisceau de rayons plus réfrangibles les uns que les autres, le violet, qui l’est le plus de tous, se rendra au point V, etle rouge qui l’estle moins, se rendra au point R ; les autres se rangeront dans l’espace ROPV selon l'ordre de leurs degrés de réfrangibilité. Si donc l'œil de l'observateur est placé en R, il n'apercevra que le rouge dans la direction RP; si ensuite l'œil s'élève en V, il verra successivement toutes les autres couleurs, et apercevra enfin le violet dans la direction VO. Pareille chose arrivera encore si l'œil de l'observateur restant en R, la goutte de pluie descendait ; et conséquemment lorsque l’espace est rempli de gouttes, il doit apercevoir en même temps, et sous des angles différens, toutes les couleurs prismatiques.

Or, l'œil se trouvant au centre d’un cône decrit par la révolution du rayon visuel, et recevant des impressions dans le sens de toute la surface conique, verra chaque couleur comme un arc de cercle; et l’ensemble des couleurs formera donc une bande semi-circulaire, dont la largeur sera proportionnelle à la différence qu’il y a entre les rayons les plus réfrangibles et ceux qui le sont le moins.

Quant à l'arc extérieur, soit QPOTSs une autre goutte de pluie qu'un trait lumineux Ss frappe obliquement en s; au lieu de continuer sa route dans cette direction, il se réfractera en s'approchant de la normale, etira heurter Ja paroi concave de la goutte en I. La

portion de cette lumitrequinetraver- vV

sera pas la goutte

sera réfléchie vers O ; une partie de cette même portion sera encore réfléchie vers PQ, et ensuite, au lieu de continuer sa route en ligne droite, elle se réfractera une seconde fois en s’éloignant de la normale. Ce trait de lumière, quoique beaucoup plus affaibli que dans le cas précédent, étant un assemblage de rayons plus réfrangibles les uns que les autres, le rouge, qui l’estle moins, se rendra au point R, et le violet, qui l'est le plus, se rendra au point V; les autres rayons se rangeront dans l’espace RPQY selon l'ordre des degrés de leur réfrangibilité.

Par les mêmes considérations que ci-dessus, l'œil apercevra donic une bande colorée, dont les couleurs seront plus faibles que celles de la première, et placées dans un ordre inverse.

Ainsi, quand une nuée fond en pluie, comme il se trouve des gouttes dans toutes les places convenables pour que les rayons réfractés puissent former les angles nécessaires à la vision des couleurs, l'observateur dans l'œil duquel ces rayons iront converger, verra en même temps deux arces-en-ciel. Pour que cette convergence des rayons ait lieu, il faut que l’œil soit placé de telle manière que OP (Pz. VIIT, fig. 1 ) étant une ligne parallèle aux rayons solaires S,S,S, etc., l'angle EOP de vision soit de 40° 17", et l'angle de vision FOP de 49° 1° 40": alors l'angle FOE de 1° 45’ comprend la largeur de l'arc principal, le rouge apparaissant en F et le violet en E. Au-dessus de 42° 2’ les rayons réfractés ne peuvent plus parvenir au point o et se perdent dans l'air; mais à 50° 57" les rayons réfléchis deux fais dans l’intérieur de la goutte commencent à se réunir au point o, etil en est de même jusqu’à 54° 7'. Ainsi, HOP étant un angle de 54° 7! et GOP un angle de 50° 57, la différence de ces angles ou l'angle HOG:, de 3° 11”, comprendra l'arc secondaire, dont le rouge apparaîtra en G et le violet en H. Les deux arcs seront séparés par un espace angujaire GOF de 8° 55’, dans lequel aucun rayon coloré ne peut parvenir à œil.

Toutes les particularités de l'apparition des deux arcs se déduisent rigoureusement de deux formules que nous allons faire connaître.

Soit Ss un rayon lumineux, réfracté en s en entrant dans la goutte d’eau, puis réfléchi en B et de nouveau ré-

fracté en GC; le rayon CA est ce qu’on nomme le rayon d'émergence, par opposition à $s qui est le rayon d’incidence. En prolongeant ces deux.rayons jusqu'à leur rencontre en D, on formera l'angle SDA, qui est l'angle de la déviation de la lumière, et qu'on nomme simplement la déviation.

Désignons par 2 la déviation, par à l'angle d'incidence SN, et par r l'angle de réfraction OsB. O est ie cent

de la goutte. Cela posé, observons que l'angle OBs, extérieur par rapport au triangle sBD est égal à la somme des deux angles opposés sDO et BsD (Foy. Ancces, 0), et, qu'en outre, OBs — OsB—7r, OsD — SsN — 5. BsD — OsD — OsB et sDB — ? sDA — !

9, nous aurons donc

r=i—r+;d, d’où l’on tire

d = Gr — rt.

Mais la déviation 9 variant , en même temps que le: quantités r eti, est susceptible d’un maximum, puisque les angles r et ? sont liés par la relation

Sini=nsinpr,

dans laquelle »# est une quantité constante, nommée l'indice de réfraction. Voyez RÉFrACTION.

Pour trouver cette valeur #aximum , faisons d? — 0. (Foyez Maximis) nous aurons aussi 2dr = di,

&dr— 2di=o, ou

Mais en différenciant l'égalité sin ? = n sin r, nous avons dé cos à = ndr cos r, d’où

di. cosi

dr =