DIVISION

» Et pour vérifier une opération dans laquelle tu auras divisé un nombre par un autre, suis la même marche; et, après avoir extrait les chiffres radicaux du diviseur et du quotient, multiplie ces deux nombres l’un par l’autre, le chiffre radical de ce produit devra être le même que celui de ton dividende , si tu n'as pas commis d'erreur. »

» Au reste, sache que les quatre opérations précé-

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déntes ne sont que la permutation de nombres complexes, souvent susceptibles de mettre en erreur, par la multiplicité des signes et des calculs partiels qu'ils né. cessitent, en un nombre simple, d’une seule figure, qui y est caché, comme le noyau de la datte au milieu du fruit, et qui représente parfaitement, dans toutes leurs fonctions, les nombres, quels qu'ils soient, dont il est enveloppé. Ce nombre, par sa simplicité, n’est plus susceptible d'erreur comme celui qu’il représente ; et je l'ai nommé chiffre radical, parce qu'il est la racine réelle des autres, et en rend maître , comme on l’est d’un arbre, eût-il mille branches, quand on est maitre de sa racine; comme aussi dans une maladie on maîtrise les symplômes les plus compliqués êt les plus alarmans, quand on a connu et attaqué avec succès la cause latente de la maladie, et qu’on en a extirpé la racine. »

Ce fut vers le commencement du XIIL° siècle que l’arithmétique arabe se répandit en Europe. Le plus ancien ouvrage écrit sur cette matière, intitulé : Ælgorithmus demonstratus , est de Jordanus de Namur, à qui nous sommes encore redevables d’un traité d’arithmétique, commenté ensuite et publié par Jacques Faber d’Étaples aussitôt après l'invention de l'imprimerie dans le XV° siècle. Le moine Planude, contemporain de Jordanus, écrivit aussi un ouvrage intitulé : Arithmétique indienne, où manière de calculer suivant les Indiens, dont il existe encore des manuscrits. À peu près à la même époque, Jean Halifax , plus connu sous le nom de Sacro-Bosco, donna son arithmétique en vers latins, dans laquelle la forme des chiffres est presque déjà identique avec la nôtre.

Bientôt après la science numérique reçut de grandes améliorations , auxquelles contribuèrent d’une manière assez remarquable Lucas de Burgo et Nicolas Tartaglea. En France, Clavius et Ramus; en Allemagne, Suifelus et Henischius; en Angleterre, Buckley, Diggs et Recorde, peuvent être cités comme les principaux arithméticiens de cette première époque de la science. Mais ce n’est qu'aux immenses progrès de l’algèbre, opérés durant les deux derniers siècles, que l’arithmétique doit son entier developpement; et, si nous pouvons ici l’embrasser dans son ensemble, nous en sommes redevables à ces hommes illustres qui cultivèrent avec tant de succès, pendant cette seconde époque, la science générale des nombres, Foy. ALGÈBre,

1. Les nombres se présentent d’abord à l'intelligence comme dés collections d'unités (voy. ALcÈpne 9). Aussi Les anciens les définissaient-ils : l'assemblage de plusieurs unités. Mais cette définition incomplète ne s'applique réellement qu'aux nombres entiers; ét comme ces nombres ne sont pas les seuls dont la science doive s’occuper, les modernes ont cherché infructueusement à la

AR - 443 généraliser. Celles de Wolf et de Newton, qui se réduisent à considérer les nombres comme le rapport d’une quantité à une autre de la même espèce, prise pour unité, renferment déjà implicitement l'idée primitive de nombre; et il eu est à peu près de même de toutes les autres, que nous nous abstiendrons de rapporter. Les nombres, abstraction faite de tout objet extérieur , sont un produit de l’entendemert formant une classe particulière de réalités intellectuelles; leur définition est donc une véritable construction philosophique qui n’est plus du domaine de leur science; et l’on ne doit päs s'étonner si toutes les tentatives des mathématiciens sur ce sujet ont complétement échouées. En effet, la philosophiié seule peut remonter à l'origine des objets primitifs des sciences, comme elle peut seule aussi expliquef leurs principes et légitimer leurs lois; c'est au moins l’idéal de cette science des sciences, et nous ver: rons, à l’article Puiro3opRié pes marnÉMarIQUES , de quelle manière elle prétend aujourd’hui réaliser cette haute fonction. Notre but ne pouvant être ici que de donner une exposition purement élémentaire de l’arith métique, nous devons nous contenter des déductions vulgaires suivantes, qui nous paraissent suffisäntes pour en faire connaître l’ensemble et les procédés.

2. L'unité est un objet quelconque pris pour terme de comparaison avec tous les objets de même espèce.

3. Un nombre est l'assemblage de plusieurs unités, Ainsi, lorsqu'on désigne la longueur d’un espace en disant qu'il a trois mètres, trois est un nombre qui exprime combien cet espace contient de fois l'unité de longueur ou le mètre.

4. Mais le mètre, ou généralement l'unité quelconque de mesure, péut étre considéré comme ayant des parties; il n'y a donc pas d'unité absolue, et celles dont nous nous servons, telles, par exemple, que

Le franc, pour les monnaies,

Le gramme, pour les poids,

Le mètre, pour les longueurs,

L’'are, pour les surfaces,

Le Ztre, pour les liquides,

L'heure, pour les jours ,

etc., sont nécessairement arbitraires.

etc.,

5. Considérée en elle-même, l'unité est ce qui est opposé à plusieurs, l'élément premier de toute collection.

6. On peut aussi considérer les nombres indépendam ment des objets : ils se nomment alors nombres abstraits, tandis qu’on les nomme nombres concrets lorsqu'ils expriment des objets déterminés. Ainsi, cinq est un nombre abstrait tant qu'on ne l'applique à aucun objet; mais cinq mètres où cinq grammes est un nombre concret.

7. Comme il est évident que, quelles que soient les propriétés individuelles du nombre cinq, ces propriétés auront toujours lieu, soit qu’il exprime des mètres, des grammes ou toute autre espèce d'objets, il suffit de considérer les nombres abstraits dans la recherche des procédés de l’arithmétique.

8. L'arithmétique se divise en deux parties, dont l’une a pour objet la construction des nombres, et l’autre leur comparaison. Dans la première, on s'occupe à former les nombres; dans la seconde, on recherche, lorsqu'ils sont formés, leurs relations ou leurs rapports.

9. Le premier mode primitif de formation des nombres est l’anpirion. C’est en ajoutant d’abord l'unité avec elle-même que nous formons deux ; et c’est ensuite en ajoutant l'unité avec deux que nous formons #rors, et ainsi de suite. Lorsqu'un nombre est une fois formé, nous le représentons par un caractère particulier ou chiffre qui sert à le distinguer de tous les autres : ainsi, deux est représenté par 2, trois par 3, quatre par 4, etc., etc. Mais comme nous pouvons former une infinité de nombres, et qu'il nous serait impossible d’avoir pour chacun d’eux un caractère particulier, il faut nécessairement trouver le moyen d'exprimer tous les nombres par une quantité limitée de caractères.

10. La première opération de l’arithmétique, sur laquelle repose sa possibilité, a donc pour objet de représenter un nombre quelconque à l’aide d’autres nombres que l’on cousidère cornme simples, et qu’on représente par des signes particuliers. Cette opération se nomme NUMERATION.

11. Dans l’arithmétique actuelle , les caractères adoptés pour représenter les nombres considérés comme simples et ces nombres eux-mêmes , sont :