Les factorielles à accroissement + 2 ou — 9 de
1 AA fe I ae l'ordre ; peuvent être évaluées au moyen de la quantité
transcendante |/7, non seulement lorsque leurs bases sont des nombres pairs, ce qui rentre dans les formules précédentes, mais encore lorsque ces exposans sont des
nombres impairs. Si l’on fait dans l'expression (18)
= L elle deviendra
He LG)" Éb,
Or 12m représente tous les nombres impairs; 1 12 ainsi il reste seulement 4 trouver la valeur de 1* . Observons, pour cet effet, que nous avons d'après (13):
2m|1 m|2 m2 Mme 2
ou
ie 2 à cause de 2°!
donne
? ' et, en faisant m— -,
{4 3 substituant à 1° sa valeur = V/r; il vient
rl V2 V7 et, par suite, ….. (h), 2e my?
"ea 472 (1 + am) RCA VER
Pour passer de ces factorielles à celles dont l’accroissement est négatif, on a, d'après la loi (10),
a ssh Der jogao Le d'où ste 1e 2 ie x (+ 2m) ee re To, au.
Ces formules (h) et (?) s'appliquent aisément aux factorielles de la forme
dans lesquelles le facteur « est un nombre impair. Si l'on avait, par exemple, la factorielle
on la ramènerait d’abord à la forme
V7 sl
Puis, en comparant avec (h) et en posant m—1, on obtiendrait = Fra
sua
LR:
OT Er
2 + V2 12. Toutes les factorielles de l'ordre =: auxquelles on
peut donner, par des transformations convenables , les accroissemens:1 Où 2, positifs ou négatifs, peuvent être évaluées par les moyens précédens, pourvu toutefois que leurs bases demeurent des nombres entiers positifs; dans tous les autres cas il faut avoir recours au développement général dont nous avons donné la déduction tome I, p. 10. Ce développement est... (k).
a" = d'A at 'rH Aa" ri LA a" bete.
dont les coefîficiens A,, A,, A,, etc., ôht pour expressions générales
Eu a),
1.2 NE Cm OPA CC Ke : = De, qa, = Run) A, djaternaMati=f) (rstt) A, + SEE er? LE) A 8 gp (es nas 0), etc, = etc
138 FAC En général, (aie av) 2. nl EST SD u2 <a
(C7 er UN
Dans le casde m=— eQ on 3, par exemple,
1 1 À, = — Ge = — 8 1 1 5 5 21 21 PAT a 1 0 2 T0B2peS ODA ANS ROUE L a! 262144 869 869 A, TT PTE + F0450% 39325 39325 DST | 55564 NU 554877 » 27 2147483648 URLS 28717403 A 28717403 ji 21e 17179869184 etc. = etc.
Ainsi, les valeurs de toutes les factorielles de l'ordre =
sont données par la série
1° T Le dr D a —a{i—> RQ 5 —
Ba 158 ol CEA a ct... |.
Cette série n’est rapidement convergente que lorsque
Ja grandeur de a dépasse de beaucoup celle de r; mais
nous allons voir qu'on peut obtenir dans tous tés cas des
séries convergentes à volonté. La loi fondamentale (2)
donne la relation générale ..….(l) nie mr a myr = ———— (atnr (a+-mr)"" Le
qu'on peut employer pour faire dépendre l'évaluation
de a"! de celle de (aH-nr)"", au moyen d’un nombre mie
arbitraire n. En effet,développant la factorielle (a-nr) par la loi (#), il vient
nt" = (ann Dita + — À, Ta nn) + clous. |.
faisant, pour abréger, r — a<nr E et, substituant ce développement à la place de la factorielle dans la relation ({), on aura .…..(m)
g"" = a"(a+nr)"
(aim)
nouveau développement dont le facteur général est fa-
1 + A,g+ Ag + Ag + etc. k
cile à calculer, et qu’on peut toujours rendre très-convergent en donnant au nombre arbitraire n des valeurs convenables.
Dans tous les cas où il sera possible de choisir le nombre # de manière que la puissance (a—-nr)" soit un nombre entier, l'évaluation du facteur général n’exigera que quelques multiplications et une division. Pour bien
faire comprendre cet artifice, supposons que la valeur
:l 1 de la factorielle 1° ne soit pas connue, et qu'il s'agisse q 5
de la déterminer ; on aurait alors a=1,r—1,m—= F0
et il s'agirait de donner à n une valeur telle que (1+n) .
fût un nombre entier; or, la suite des carrés des nom-
bres naturels étant 1, 4, 9, 16, 25, etc., on voit qu'on
peut faire n—53, ou n—8, où n— 15, ou etc. ; la se conde valeur donnant pour q
fraction assez petite pour rendre la série très-conver= gente, on peut adopter cette valeur, qui donne
ÿ|! 0 © ao LP 5 1 O7 nf 8 gl 128 81 1 100 740
= ù GE IN. .
Pour éviter les fractions dans le calcul du facteur gés néral, on remarquera que
1 GE 3 sit gel CORTE
ce qui permettra de lui donner la forme
Retranchant les facteurs communs et réalisant les calculs, ce facteur général deviendra définitivement
DE __ 32768 MMM T7 0, 364651 Si l’on veut se contenter de huit décimales exactes
LE
d , il suflira de prendre avec neuf décimales la somme des six premiers termes de la série, et, comme ces termes réduits en décimales sont
pour la valeur de à
on trouvera, pour cette somme, — 0, 986 214 157,
quantité dont le produit par le facteur général est la
valeur de la factorielle proposée. Effectuant les calculs, on obtient
13. Pour rendre le développement (m) applicable aux cas des accroissemens négatifs, il faut prendre #
négatif, afin que la quantité (a + nr) soit toujours posi> tive, et que la puissance (a+ nr)" ne puisse jamais devenir imaginaire, ce développement devient ainsi
air ne (Haut at.)
Aer
la quantité q étant
r Œ ee a —, 3 Ta ur
On évite la considération des exposans négatifs dans le facteur général par les transformations suivantes, fondées sur la loi (6)
—1| 1 Le + al =r 2AMIURE | ren (a—mr+r)"
et, en faisant g négatif dans la série, on cbtient l’expression générale ....(n)
mir (a mr) + (ann) MC EE Vita +49 — A, get. Ê dans laquelle r = TEA
Prenons pour exemple la factorielle 1°, nous au-
FONSG = 1,71; ME ) et faisant, comme ci-dessus
n=— 8, il viendra
(a—mr+r)" =(
ofr OU m (a+r)"=2", (a+ nr)" =ÿ9=5, d'où ue AE 5 - 5" pb.
21 PETER = ] là +5 RE 81 1024 729
