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Nous trouverons, en développant le facteur général,
ce El is a ont da EE Ca sos
et, comme la somme des six premiers termes de la série est par suite des changemens de signes 1, 013 978 567, nous aurons définitivement
ol __ 36465
14. Lorsque la base a est négative, le développement théorique (k) se complique de quantités imaginaires, pour toutes les valeurs fractionnaires à dénominateurs
airs de l'exposant, que la quantité arbitraire n permet
d'éviter dans les développemens techniques (m) et (n). On peut se rendre raison de ces circonstances en obser= yant que le développement théorique devient alors
ml: m r ie r° (—a)"=(— a)". IAA see À Es + etc. },
ce qui implique la décomposition … a)". F5 L1
ad" -(-
généralement que pour les valeurs entandis que la décomposition
qui n'est vraie titres de lexposant m,
Ha" = (aa s
alieu pour toutes les valeurs possibles de cet exposant; or, dans les développemens techniques, la factorielle décomposée est
(anr)"" = (a nr)" h “ A,qg—+A, q° + ct. |,
dont la base, qui dans le cas de a négatif est nr—a, - peut toujours être considérée comme positive à cause du nombre #, auquel il suffit pour cela de donner une valeur nr © a; au moyen de cette condition nr Da; les développemens techniques sont toujours récls et font connaître: la valeur numérique des factorielles à bases négatives. Faisant donc a négatif dans (m) et dans (n), on aura les deux expressions (0),
Ca)" (r (ar —a)"
a" = A ( a) (mr—a)" r 1+ VE À, Ch Fe Se | { mr 0m)". (nr— a)" {—4) oec iiGe-diT F5 Data — 4,4 ec. | pour lesquelle; RUE Dire
Er me par exemple CB)TA : Faisons arbitrairement n— 10, ce qui nous donnera
La somme des cinq premiers termes de la série étant 1,013598588, et le facteur général développé devenant
(1). 3. 7. ab MX 23. 271. 514 1 PT TE 5. 29. 75 3 37;
on pourra, pour effectuer le calcul par logarithmes, former plusieurs produits partiels, comme il suit :
LE
Dog T7 à o15508568,
et l'on obtiendra
15. La seule partie vraiment laborieuse de l’évaluation d’une factorielle çonsiste dans la détermination des cocfficiens A,, AÀ,, À,, etc., de la loi (k); car les expressions qui donnent ces coefficiens deviennent assez difficiles à calculer pour les exposans fractionnaires. Kramp a découvert plusieurs procédés abréviatifs dont voici le plus simple.
: , , : m L’exposant de la factorielle étant représenté par si
calculons d’abord la suite des nombres entiers
B — A+ on(n—+m) D:
C = 5(n—m) B—n(n<+m) (5 A+ont
D — 5C—n(n+m)(20BLo4n) |
E — p(n—m) D—n(nm) (35 C—140 n?A—80 n°).
Nous nous arrêtons à ces six termes, parce:qu'il suffit généralement de cinq à six coefliciens pour évaluer toute factorielle proposée avec huit à dix décimales exactes, A l’aide de ces quantités, les six premiers coefficiens deviennent
M { on?
