nv
[=] ei | æ La!
LT SJ LA L = :
: ee om 1 expressions très-faciles à calculer. Soit — — 3 nous n aurons M— 1, n =, et nous trouverons
M=—2, A=o, B—24, C—:64, D—— 7560, E——2/4800; Substituant ces valeurs dans les expressions des coef-
ficiens, nous obtiendrons pour les six premiers coefficiens du développement de toute factorielle à expo-
sant L 1 £ 11 dr 6 A = + 37 "" À, = 0 AE S 10 1870 = Ty Aer:
ds CT] MERE 1 10 3 114 7 - De AL ire — 77 q°— etc.
Cette série, substituée dans les développemens tech-
niques, servira à évaluer toutes les factorielles de la } ;
forme & , en donnant à q les valeurs convenables. !
Il est presque toujours plus prompt de calculer le logarithme d’une factorielle que sa valeur directe; mais nous n’entrerons ici dans aucun détail sur ce sujet traité tome II, page 501; ce qui précède suffit complètement pour mettre en état de trouver la valeur numérique d’une factorielle quelconque, et nous devons signaler au moins les principales applications qui ont été faites jusqu'ici de la théorie de ces fonctions.
16. Les factorielles dont lexposant est infiniment grand, exprimant des produits composés, d’un nombre infini de facteurs toujours croissans en grandeur, ont nécessairement des valeurs infiniment grandes, quels que soient d’ailleurs leurs bases et leurs accroissemens ; mais ces valeurs, tout impossible qu'il soit d'exprimer leurs rapports avec les nombres finis, n'en ont pas moins entre elles des rapports qu’on peut toujours déterminer, et qui, dans certains cas, sont exprimables | par des nombres finis rationnels ou irrationnels. Nous avons démontré, tome IL, page 549, que le rapport des qratre factorielles à exposans infinis
a GE" KT o (a+ p) Ar
se réduit à celui des deux factorielles
multiplié par le facteur
qui peut être infiniment grand, fini ou infiniment petit,
suivant que st plus grand, égal ou plus petit que :
Dans le cas de IE on a ainsi la réduction très-im=
portante ....(p),
= 1 en GE, (A el PAG ET A qui devient simplement, dans le cas de p—q,r—58....(q)
a" On) "ques DEEE (a + p) re . 3
expression qui revient encore à ....(r)
a (bEp)(a-tr)(b+-p-+r) (a-t2r) (b-+p-+ar) ete. b (ap) (b+r) (a+p+r) (bar) (a--p+-2r) ….etc.
Sous cette forme, le premier membre de l'égalité est connu sous le nem de produite continue, et constitue un mode particulier de génération des quantités introduit dans la science par Wallis. Avant de signaler les conséquences très-importantes de laréduction (g), il ne sera peut-être pas inutile de montrer comment on peut obtenir l'expression la plus simple du rapport des deux factorielles, équivalant à une produite continue; soit d’abord la produite
