Passons à d’autres applications. La factorielle à

base binome a+" se développe en une suite

m ie — D a"

CES RSA b+ —— on

m (m — 1) (M — 2) mer L are ri Pal pie,

NO NoE dont le terme général est

m ambre | ur,

RTE

ainsi que nous l’avons démontré, tome F, page 227, pour toutes les valeurs de l’exposant m. Ce développement remarquable, qui renferme le binome de Newton comme cas particulier, celui où r = 0, peut être modifié de diverses manières.

Posons, pour plus de simplicité ....(v)

DIE bd",

GHD = ET @

Ja caractéristique > indiquant la somme de toutes les quantités qu’on peut former avec le terme général en y faisant successivement p—0, p— 1, p—2, etc. Le développement s’arrête de lui-même, comme celui du binome de Newton, toutes les fois que l’exposant m est un nombre entier positif; il peut s’arrêter encore, lorsque m est un nombre entier négatif, si b et r sont de signes contraires, et si, de plus, b est un multiple de r; dans tous les autres cas le développement prend un nombre infini de termes.

Substituant à la place de @, dans l'expression (v), la quantité æ— nr +-r, nous aurons

(a—mr ++)" = 27

a (mr er) AU, et, par conséquent ....(x), ES æ | — Fe (a+ b)" = (a — ur)" GE ARE à cause de

(a—mr tr) = (amor (ni) TT,

(an) de (den 4 (gs )r) TE,

Divisant les deux membres de (æ) par &

, il viendra

GED 2 nt

c'est-à-dire ....(y)

(a+b)"— m(m—31) b" Cent e 1 + er ir D DS a a

+ —— = a etc...)

développement dans lequel on peut varier à volonté les signes de &, de b, de m» et de r. Nous allons voir que, sous cette forme, le binome des factorielles donne immédiatement la valeur de plusieurs classes d’intégrales définies.

27. Faisons b et r négatifs, et observons que pour un nombre entier quelconque y nous avons généralement la décomposition (n° 7)

(= Dj (eh) pt

le développement deviendra

(G=DEESS , DCE TT a TS TE m (m— à) (m— 2) D" na Po ar nor

Ceci posé, divisons les deux membres de cette dernière égalité par b, et faisons a=b+r, nous obtiendrons le développement particulier

SAR Le eus ii.) ee bn bd DEF Re UE Er m m (mm — 1) (mn. (m2)

AO je

de M br

— etc...

dont le nombre des termes sera infini pour toutes les valeurs fractionnaires de m.

Or ce dernier développement est, comme on le

. sait, celui de l'intégrale

fe (a 2)" dx,

prise entre les limites 4—0 et æ=1;, donc ....(z)

mlr

b—1 r\m ee ée h æ (1—x)" da — OL ET

= - ss NET

ee ce

Soit, par exemple, b=—1, r— MS à on aura

Passant des exposans négatifs aux exposans positifs, ct

de l'accroissement a l’accroissement 1, il viendra

Ce qui nous apprend, en comparant avec l'expression (22) que

28. Reprenons l'expression générale (y) et remplaçons l’exposant m par e en donnant le signe — à cet

exposant ; prenons de plus 7 négatif, cette expression deviendra

ee “ CORTE TE Lu = GRO at qe à" __p(p+ 29) (p+5g) RS = CIC. , 1186 2. 9. (1

le premier membre étant identique avec

Si nous faisons a—p + q, r —q, et que nous divisions de part et d'autre par a—r —p, nous obtiendrons

Pb+p)"

Dans Le cas de d infiniment grand, les factorielles du

développement se réduisent à de simples puissances, et le premier membre devient

Posant b—qt", multipliant de part et d'autre par t", et transformant le premier membre «

P|« EE GI q Des (2)

PËr 1 é) {? wTriI " DT p \ DETENTE") PL 1-3.50 59) FAT Tia. 4 (p +49) etc...

dont le second membre est le développement connu de l'intégrale

1 ; J Det.

fre. a=: @) o P \

Nous ne nous arrêterons pas aux expressions particulières qui résultent des valeurs déterminées de p et q; il nous suffit ici d’avoir montré la grande utilité des factorielles , et la facilité avec laquelle on peut obtenir, par leur moyen, la génération d’une foule de quantités transcendantes. Frappé de cette utilité, signalée pour la première fois par Kramp, Legendre s’est livré à des recherches très-étendues sur lexpression des intégrales définies en factorielles, ce qui lui a fait découvrir plusieurs relations importantes; mais nous ne pouvons deviner pourquoi il s’est imaginé de changer la dénomination de factorielles en celle de fonctions gamma, et de remplacer la notation si commode de Kramp par la notation

r(n+i1) = nr(n), qui masque complètement l’analogie des factorielles et des puissances en faisant perdre de vue l’origine de ces

premières fonctions.

29. Plusieurs géomètres étrangers se sont occupés récemment du développement des fonctions en séries de factorielles croissantes, problème embrasse dans

toute sa généralité par la loi... (x).

gx = À, + A,œ + Na = NS =F Al + etc. ,

dans laquelle :æ désigne une fonction quelconque de la variable æ, z l’accroissement des factorielles, et dont les coefficiens À,, À,, À, etc. sont... (8).

À, — ??;, A9T IEEE 1x A'pT AN 2 1.2.2?

et en général

A px Au = —— > le point placé sur æ indiquant qu’il faut faire æ —0,

après avoir pris les différences par rapport à z. Nous avons donné (tome I, page 557) une démonstration de cette loi, qui n’est d’ailleurs qu’un cas particulier de la loi universelle des séries (voy. Série, tome IT). Nous ferons observer, au sujet des expressions (8), que les différences doivent être formées en considérant l’accroissement 3 comme négatif, 6’est-à-dire qu’au lieu de faire

AT = Q(tHE) — 97, il faut faire AP = qe — p(x—x%).

Si l’on voulait former les différences de la première manière, on devrait faire z négatif dans le développement (4). Nous appliquerons seulement cette loi à la

fonction æ", dont le coeflicient général du développement

se présente sous une forme singulière et très-élégante. La différence de l’ordre & de la fonction æ® est,

FAC d’après la construction générale des différences (tom. F, page 449);

Faisant dans cette expression générale æ—0, elle prendra la forme

LR 78m mi m | m MCD) fete),