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La fonction proposée devient donc 252 fa’ b'e par la supposition p—0, q—0.
Soit encore la fonction faïbedef, dans laquelle l’exposant p devient o, et qui se réduit, par conséquent, à
R acde
En supposant le nombre total des bases —m, le nombre des termes de la fonction proposée est
celui des termes de la fonction symétrique fabcde est m(m— 1) (m—2) .…... (m—4).
D'où
La onction proposée se réduit donc à (m—5) fabede. Si tous les exposans s’évanouissaient à la fois, la fonction se réduirait au nombre même de ses termes : puisque chacun de ces termes deviendrait une simple unité, Ainsi, dans le cas de p=—0, g—0, r=0,
s—0, etc. , le nombre des bases étant toujours m, on
feu.
farm (m— 1),
fure —m(m—1)(m—2),
etc1—\etc:
aurait
9. Les fonctions symétriques les plus simples sont celles qui ont tous leurs exposans égaux à l'unité ; comme elles sont alors les sommes des produits des bases combinées 1 à 1, 2 à 2, 5 à 5, etc., on peut toujours les considérer comme entièrement connues. En effet, étant données m bases a, b, c, d, e, etc., si l’on forme le produit des m binomes
(@— a) (x — bd) (&—c) (æ—d) .…... (&—m), dont nous représenterons le développement par TL" — A, DH A, a — À, dt etc. E(—1)"A;,
on aura, d’après la théorie de la multiplication (t. IH,
p. 246), s J a — AUS
fa TA for — À,, furca —"A%,
etc. —'etc:
On peut donc encore considérer comme entièrement connues les fonctions à un seul exposant fa”, puisqu'elles sont identiques avec les sommes de puissances que nous avons désignées généralement par S,, , et dont nous avons rapporté les expressions en À, ; À, , À,, etc., au commencement de cet article; au reste, nous allons donner une déduction très-élémentaire de ces expressions.
10. La fonction fa" représentant la somme a + 0 Her HE da Len L etc.,
et la fonction fa la somme
Gb c+ de etc.
il est évident, le nombre des bases étant le même dans les deux fonctions, que le produit de ces deux fonctions comprendra, d’une part, la somme de toutes les puissances de la forme a"+1, et de l’autre. la somme des produits de deux facteurs de la forme @ b. c’est-à-
dire qu’on a
Jex) a — fett+ fes LA
Le produit de la fonction fa" par la fonction fab, qui représente la somme des produits deux à deux des
bases
ab ac + ad + be + bd + etc.,
comprendra pareillement, d’une part, la somme de
tous les produits de la forme a"+'b, et de l'autre, la
somme de tous les produits de la forme a"be; d’où
fes X | = far: b + | a“ bc.
Le produit de la fonction fa" par la fonction fabc,
qui représente la somme des produits trois à trois
abc - abd + abe + bed + etc.,
donne tout aussi évidemment lieu à la relation
| a — fe+: be + [ «bed,
1] [oc K Le
et ainsi de même. Nous pouvons donc poser, comme résultant immédiatement de la construction même des
fonctions symétriques , la suite d’égalités ..….(d)
fe. fe = [ati + 1 a" b ; [ a” = [a+ . a” bc,
a" — [ avt be + [ a“ bed,
fotea : | ai — IC bed + f " bede,
te. "ete:
Ces relations étant indépendantes de la valeur de l’exposant m, nous n'avons qu'à remplacer successivement 2 par M —1, M—2,1Mm — 3, etc., pour en tirer les nouvelles relations ..….(e)
fe = [ ; fe — [er b, fenfefes-fe fesfer Je = fs . fer — fo és + fac far == a®—bcd, fe = [a ñ lé — [a des + [aie fe — farea : Je te le bcde,
etc —= etc.
Si nous faisons m — 1 dans la première de ces égalités, m— 2 dans la seconde, m — 3 dans la troisième, et ainsi de suite, et si nous observons (8) que les fonctions symétriques
fe ; J a“—"b, J a“? bc, fe—rea, Je bede,
se réduisent respectivement par ces valeurs à
ps (ei) fes (ea) [abs (==) fabe,
(u—4) | abcd.
# désignant le nombre total des bases, nous parviendrons aux expressions ....(f)
fe = fr.
fe fo. fe—2 fo,
fe Il «fe far. fa +5 Jar,
fe fe. Je far. fa + fonc. fa fav, fe Je Je De: = f abed.. [a+5 il ae
qui, par un simple changement de notation , nous donnent les expressions de Newton
le
Di 1 As
etc. ele:
11. Pour procéder maintenant à l'évaluation des fonetions symétriques far b1, fa’ bïe, etc., par le moyen des sommes de puissances fa" ou S,, examinons la nature des produits qui résultent de la multiplication de ces sommes de puissances les unes par les autres. Il est d’abord visible que le produit des deux sommes
a + br + cr + d He H ete...
ai bi Hot + di H 61 ete...
dans lesquelles le nombre des bases est le même, doit contenir 1° tous les produits deux à deux de la forme ar b5, qui composent la fonction symétrique [a b1; à° tous
les produits à une seule base de la forme 4° +3, qui composent la somme de puissances fa’+1 ou S,:,: nous pouvons donc poser sans autre démonstration ....(q)
fe X fe =— fe+ q + [a b.
D'où (x)
fe b1— fe 5 Je — for:
= Sp. Sy — Spto
Dans le cas des exposans égaux p —q, comme la fonc-
tion far b3 se réduit (6) à 2 fa br, on a (à)
: 1l ab (S,) —S,.
12, Le produit des trois sommes de puissances fa, fa*, fa’ doit contenir, d’après ce qui précède, le produit de [a+ par fa, plus le produit de far b1 par fa’; or le produit de faf+ par fa’ est en vertu de l’expression (g)
fersx fe fer fer
Quand au produit de [ab par fa, comme il ne peut contenir que des produits partiels des formes
a+ br, abitt, aber,
et que chacun de ces produits ne peut s’y trouver qu’une seule fois, on a visiblement
Joux fee far+ font fase
Donc, en rassemblant ses résultats .…..(k)
Je x [ee x fa— Jets+ + fat + + fartus+ fat + f œbté
d’où l’on tire
Je bTe* = [fe . [a ;: [a — IC b' — [a +rpt—
— far farti, Mais, d’après (h),
ferez fat fe forte, fat = far ? Je — fat, fat = [arts 5 fe fat.
fe bte: a= | æ «far.
Ainsi, on a définitivement ....({)
mn > 7 j abs" = fe : fe ; J a — fe +1 | a — + L] | æœ+r | a far. IC — à fartstr;
ou, encore, .... (mi)
fere=s,. ShSe se tte D SAGE — Satee Sp— 2 Sppgtre
Dans le cas de p—q—r cette expression se réduit
J a br €? — & [ss —
et, dans le cas seulement de g= r, elle devient (o)
Sp + Sp + 25, | ,
1lc/c Q G fove: [sS'—25.+ Sy — Soge S,+aS4u
13. Des considérations semblables nous feraient trouver pour le produit des quatre sommes de puissances [æ, [as, fa’, fa’, l'expression
ferve + fatrète | @+brer + fartire+ fat c + fartrires
+ fetes ar+rhitsL | @+sb1+r + fartitit farter+ @+:+sh1 + fait + fete farsre di:
d'où l’on tire ..…..(p)
fe. [a fers fe. 1 — [arr fa .fe—far. fe. fe « — fast. | (a. É fe fer fe fu fe fers — fa. far + fer. Je +
+ 9 fartir. [a+ [ œ+Tts, [a + t L' e La
d'— 1] aire, [ a.
fata far fa Le
+2 | atr+s, La
160 FON Si l’on fait p—g—7r—s, la fonction à quatre exposans deviendra 24 far bed’, et l’on aura
fes {(fr fe (fe) + sf) + or. es fe
ce qui revient à .…..(q)
a k 2 ë fevoa= rs) —6s,.(s,) +3(s..) de
