SES
en employant la notation des sommes de puissances. Les cas d'égalité de deux ou trois exposans peuvent se ürer sans difficulté de l'expression générale (p).
14. Nous ne nous arrêterons pas à l'évaluation des fonctions de cinq ou d’un plus grand nombre d’exposans, qui ne présente d’autre difficulté que la prolixité des formules; ce qui précède suffit aux applications dont les exemples suivans vont donner une idée.
Exewpse I. On demande la relation qui doit exister entre les coefficiens de l'équation du troisième degré pour que la somme de deux racines soit égale à zéro.
Soit l’équation générale
réprésentons les racines par @, b, c; les sommes de ces racines, prises deux à deux, étant «a Æb, a +0, bc, il s’agit de déterminer entre À,, À,, À, une relation telle qu’on ait (a+ 0) (a+ 0 (+0 = 0:
développant le produit, il vient db + ae + be HE ab? + ac? + bc? + sabc,
c’est-à-dire
fer + sabc. #
Comparant avec la formule (A), on a
fé = S,.S, — S,.
Mais, d’après les expressions générales (a) S,—=A,,S,—=A,S, — 2À,,5,—=A,S,—A,S X 31,; ainsi
Si 92 —=(4,) — 2A,A, » S, Cr (A,)—53A,A, +54, ;
fr — À,A, — 5A,;
observant que 2abe = 2A, , il vient définitivement .
La relation demandée est donc
AA, — A, —0, ou AVASETAS
Il en résulte que toute équation complète du troisième degré, dans laquelle le produit des deux premiers coefficiens est égal au troisième, a deux racines égales et de signes contraires, lorsque toute foiselle offre des variations de signes. A Exepze Il. On demande quelle relation doit exister entre les coefficiens d'une équation du quatrième degré
m'— Ati LA,x — A,zHEA, —0,
pour que le produit de deux de ses racines soit égal au produit des deux autres.
Désignons les quatre racines par @, b, c, d, leurs produits, deux à deux, étant
ab, ac, ad, be, bd, cd, les seules différences susceptibles d’être zéro sont | ab—cd, ac-— bd, ad—bc; d’où résulte l’équation (ab— cd) (ac—bd) (ad— be) = 0,
dont il faut exprimer le premier membre en fonction des coeliciens A,, À,, À,, À,.
Le développement des produits montre que ce premier membre est identique avec
[ abcd — far 5
faisant trois coefliciens égaux à l’unité et le quatrième égal à 3 dans la formule (p), substituant 2 à la place de p dans la formule (x), et remplaçant les sommes de puissances par leurs valeurs en sommes de produits, on trouvera, toutes réductions faites,
J de 1. ab?ét = (A,)'A, — (A); ce qui donne pour la relation demandée
Ainsi, toute équation complète du quatrième degré, dans laquelle le carré du troisième coefficient est égal au produit du carré du premier coeflicient par le dernier, a des racines telles que le produit de deux d’entre elles est égal au produit des deux autres.
ExewpLe LIT. On demande une équation dont les racines soient les carrés des racines d'une équation quelconque du troisième degré,
Désignons par a, b, ce les racines de la proposée; celles de l'équation cherchée seront a, b?, c?; et si nous représentons cette équation par
%—A 7 LA /z— A; —=0,
le premier coefficient A,’ sera a? + b? + c? ou fa?; le second A,’ sera la somme des produits deux à deux de &, b?, c? ou fa*b?; et enfin le troisième coeflicient A,” devant être égal au produit de toutes les racines, sera a'b?e? — (A,). Nous aurons donc les relations
À, = [a EU = [ét » À, — (A,)°.
Soit, pour exemple particulier, la proposée ai —72+6—=0, nous ayons ici
Substituant ces valeurs dans les expressions (a), nous trouverons
ce qui nous fait connaître, d’après la formule (+),
- J Ab (5:) is) 98.
Donc
Ainsi l’équation 25 — 142 LL 495 — 56 = 0
a pour racines Les carrés des racines de la proposée, On Tom.
formerait de la même manière équation aux puissances quelconques des racines de toute équation proposée, quel que soit son degré.
Exempze IV. Une équation du troisième degré étant donnée, on demande de construire avec ses coefficiens les coefficiens d'une autre équation, dont les racines soient les carrés des différences des racines de la proposée.
Soient a, b, c les trois racines de l'équation ;
Nous savons (v. Équatiows, n° 33) que l'équation deman- , à nee NEO) en je dée aux carrés des différences sera du degré ae
ainsi, nous pourrons la représenter par 3 2 , , T'—A,& +A,%x—A, =0.
Observons que si les sommes de puissances des racines de cette dernière étaient connues, il serait facile d’en déduire les valeurs des coefficiens cherchés A, À, A,', à l’aide des relations générales (a), car ces relations donnent pour les valeurs des sommes de produits en sommes de puissances, les expressions... (r)
3A, —S,A,— SA, +5, GA, =S,A, — S,A, +S,A, —$, SA; = SA, — SA, +S,A, — SA, +S,;
etc. —tetc.
Or, les racines de cette équation devant être les carrés des différences des racines 4, b, e de la proposée, sont représentées par
(ab) , (ac) , (b—c.
Ainsi, désignant par S,' leur somme, par S,° la somme de leurs carrés, et par S,' celle de leurs cubes, on à
S = (a— 0) + (a— 0) + (b— 0° S,' — (a — 0)" + (a—c) + (b—c) S = (ab) + (a —c) + (b— ce).
La question se réduit donc à trouver la valeur des quantités S,', S;', S,' en fonctions symétriques des bases a, b, ©, car ces fonctions sont toujours réductibles aux coefficiens donnés A,, A,, A, Une fois les quantités S,', S,'; S, connues, les expressions (r) feront trouver Jes coelliciens cherchés À’, A,', A,”
162 FON Les développemens des hinomes nous montrent que... (s)
S,' 2 fé — à ['
SAR 2 | a — 4 \ ab LG for
Sir à [as — 6 fui e 15 fat — 20 fra; [2
et d’après les formules (X) et’(?), nous avons
Je A
fur Safi MESURE for = 55 + Sy En Si»
fou == S,.S — S,s
de plus
fe —S,, [as =}; fa — à Ju - À,.
y, CE
Substituant ces valeurs dans les expressions (s), elles deviennent (#)
S, — 25, — 2À,, S,' = 98, — 4, - 5, in 3(5:); S,— 58, — 65,.5, + 158,.5, — 10(S,)2
Les valeurs de S,, S,, S,, S,, S,, $;, pouvant être considérées comme connues d’après les expressions (a), nous aurons définitivement, en vertu des expres= sions (r).…... (u)
AO SAYS; À 2 s }
au æ Pal SAS," 3 3% PIE
Prenons pour exemple d'application l'équation nous aurons, en éomparant avec la forme générale,
D me AU + AT À, = 0, ÀA,=0, À, ——6, AD.
Calculant avec ces valeurs et les expressions (a), les
six premières sommes de puissances, en observant que toutes les sommes de produits A,, À,, A, etc., audessus de A, sont nulles, nous trouverons
So, S,—12, S,—21, S,—72, S,—210, S,—579.
Substituant ces dernières valeurs dans les expressions (t), il viendra
et mettant celles-ci dans les expressions (w), nous obtiendrons définitivement, pour les coefliciens demandés,
L’équation aux carrés des différences de la proposée est donc
15. La marche que nous venons de suivre peut s'étendre aisément aux équations de tous les degrés; mais comme les calculs deviennent impraticables, par leur excessive longueur, dès le cinquième degré, nous nous contenterons d'indiquer cette extension pour les équations du quatrième degré.
Soit l’équation générale du quatrième degré
dt — À, 2 LA, —A,x—+A,—=o.
L’équation aux carrés des différences de ses racines de-
La
A , 4-9 5 vant être du degré =- —6, nous lui donnerons la forme D — A2 HA x — A, gt RAT — A x HA, —0.
En développant, comme nous l'avons fait ci-dessus, les sommes des puissances des racines de cette équation, on découvre aisément la composition suivante :
S, = 3 | & — » fa, $,' = 5 fa = sf w6 us 6 fa,
S,=53|a — 6|a‘b +5 fa — 20 fa, S, = J a — sfr +8 fa = 56 fast + | nor S— 5 [a 10 fa +45 fat — 120 fard + + so av — 252 fa, SN sf 12 fa +-66 ange [a+ + 495 [ ab pos [a+ 004 J a°bf,
Les forthules (4) ét (?) donnent l'évaluation de toutes les fonctions symétriques à deux Exposans qui entrent dans ces expressions; ainsi On pourra toujours trouver les valeurs numériques des sommes de puissances S,', S,', ète., et l’on passera de ces sommes aux coefli= ciens A,', À, , etc., au moyen des expressions (r). Les calculs sont beaucoup moins longs lorsque l’équation, proposée est privée de second terme. Maïs, dans tous les cas, il est toujours plus prompt de résoudre üné équation du quatrième degré par les procédés dirécts que de former son équation aux carrés des diffé rences; de sorte que cette méthode, qui semblait devoir faire disparaître toutes les difficultés de la résolution des équations numériques, n’est en réalité d’aucun secours dans la pratique. (Voyez ci-dessus le mot EQuariox.)
FORCE. (Méc.) Cause quelconque qui met ou tend à mettre un corps matériel en mouvement. (Voy. t. IT, page 35.)
La nature intime des forces, dont l’aspect des phénomènes physiques nous conduit à admettre l’existence, est entièrement inconnue, et il serait impossible de les
soumettre au calcul si l’on n’établissait des relations
mathématiques entre les effets par lesquels elles se manifestent, et si l’on n’étendait ensuite ces relations aux forces elles-mêmes en les supposant proportionnelles à leurs effets. C’est de cette manière qu’on nomme forces égales, par exemple, deux forces capables de produire le même effet, et, par conséquent, de se détruire mutuellement ou de se faire équilibre lorsqu'elles se trouvent appliquées en sens opposé l’une de l’autre, à un même point matériel , quels que soient d’ailleurs leurs caractères distinctifs. Il existe certainement des différences essentielles très-frappantes entre la force de la gravité, la force élastique de la vapeur d’eau, et les efforts spon- Manés des hommes et des animaux; mais il n’est pas moins yrai que, sans qu'il soit nécessaire de remonter à leurs causes premières, les phénomènes qui résultent FE concours de ces forces permettent de comparer les intensités de leurs actions, de les représenter par des nombres ou par des lignes, et de les subordonner ainsi aux lois générales des quantités.
Nous avons fait connaître dans nos deux premiers volumes les dénominations particulières consacrées par l'usage pour désigner les diverses espèces de forces; ici nous exposerons plus particulièrement ce qui concerne leur mesure.
hi% L'effet d'une force quelconque, qui produit un mouvement, étant d'animer une certaine masse d’une certaine vitesse, les grandeurs respectives de cette
masse et de cette vitesse entrent nécessairement comme termes de comparaison dans l'évaluation numérique de
l'effet ou dé la force qu'il représente ; mais il y a deux cas différens à considérer : celui d’une vitesse constante et éelui d’une vitesse variable. Dans le premier cas, la force est une de celles qu'on nomme ins{antanées, et qui abandonnent le mobile à lui-même après lui avoir
-donnié une seule impulsion, en vertu de laquelle il par-
court des espaces égaux en temps égaux. Dans le second cas, la force appartient à la classe de celles dites accélératrices, et qui s’attachent pour ainsi dire au mobile, lui communiquent à chaque instant une nouvelle im pulsion qui fait varier la vitesse acquise par les impulsions précédentes. Occupons-nous d’abord des forces instantanées.
2. Désignons par f et f deux forces telles qu’étant appliquées successivement à un même point matériel, la première lui communique une vitesse uniforme v;, et la seconde une vitesse uniforme v'; il est évident que les elfets de ces deux forces ne diffèrent que par les vitesses qu’elles produisent, car toutes les autres circonstances sont les mêmes. Ainsi, nous pourrons dire que la première force est double, triple ou quadruple de la seconde, si la vitesse est double, triple ou quadruple de la vitesse v’, et nous aurons, en général,
ES pe
Si le point matériel que nous avons supposé isolé et libre était lié d’une manière inébranlable à d’autres points qu’il entraîne avec lui dans son mouvement, l'ensemble de ces points pourrait représenter la masse d'un corps solide quelconque, et comme alors tous les points du système se mouvraient dans une mème direction et avec une même vitesse, les effets des deux forces ne différeraient encore que par les vitesses ; de sorte que nous pouvons établir comme lun des principes fondamentaux de la mesure des forces :
Les intensités de deux forces sont entre elles comme les vitesses qu’elles sont capables de commun iquer à un même mobile.
3. Pour comparer maintenant les forces qui agissent sur des mobiles différens, observons que ; lorsqu'une masse se meut librement par l’action d’une force instantanée, et que tous ses points matériels sont animés d’une même vitesse, l'effet produit doit naturellement se mesurer par le nombre des points matériels mis en mouvement et par la vitesse qui leur a été communiquée. Supposons, par exemple; qu'un corps composé de m molécules élémentaires ou dem” points matériels reçcoive d’une force f une vitesse de 5 mètres par seconde, tandis qu'un autre COrps composé de 2m molécules recoit la même vitesse d'une autre force f'; l'effet de celte dernière sera évidemment le double de celui de la première, car la force f” a mis en mouvement deux fois plus de molécules que la force f et avec la même vi-
tesse. En général, l’effet de la force f' sera n fois plus grand que l'effet de la force f, si le corps qu’elle meut avec une vitesse de 5 mètres par seconde est composé de nm molécules; et comme cette relation ne change pas, quelle que soit la vitesse, pourvu qu’elle soit la même dans les deux mobiles m, nm, nous avons pour toute vitesse commune V
ff —=m: nm.
Mais les nombres # et #m des molécules élémentaires, Où points matériels des deux mobiles, ne sont autre chose que les masses de ces mobiles; ainsi, représentant généralement les masses par M et M’, nous aurons encore
c’est-à-dire que deux forces qui communiquent à deux mobiles une méme vitesse sont entre elles comme les masses de ces mobiles.
Il suffit de combiner ce principe avec le précédent pour conclure que les intensités des deux forces sont dans le rapport composé des masses et des vitesses des Corps qu'elles font mouvoir. En effet, soit f une troisième force qui, appliquée à la masse M', lui communique une vitesse V', différente de la vitesse V, que communique à cette même masse la force f', nous aurons, d'après Le premier principe,
PET VV Multipliant cette proportion et la proportion précédente PE MEIM';
terme par terme, et retranchant le facteur cammun f', il viendra
f:l'=MV:Mv';
ce qui signifie que les forces qui meuvent des mobiles différens avec des vitesses différentes, sont entre elles comme les produits des masses de ces mobiles Par leurs vitesses respectives.
4- Cette proposition conduit directement à l’évalua. tion des forces instantanées, car si nous prenons pouc unité de force celle qui communique l'unité de vitesse : à l’unilé de masse, c’est-à-dire si nous faisons f*
‘ ’ LE M'= 1, V'= 1, nous aurons
f—=MY.
ss 2e L'intensité d’une force instantanée est donc équiva= lente au produit de la masse du corps qu’elle meut par Sa vitesse, où du moins
Peut toujours être représentée par ce produit. s
Le produit de la masse d’un corps par sa vitesse actuelle se nomme en général la quantité de mouvement de ce corps. (Voy. ce mot.)
5. Toutes les considérations précédentes peuvent s'appliquer, avec quelques modifications, au cas des vitesses variables, comme nous allons le faire voir.
On sait qu’une force accélératrice (voy. AGcÉLÉRÉ, tome I) communique à chaque instant au mobile sur lequel elle agit une nouvelle vitesse qui s'ajoute aux vitesses déjà produites, de sorte que l’expression vifesse du mobile ne doit s'entendre que de la vitesse effective qu'il possède à un instant déterminé deson mouvement. Lorsque la vitesse varie par degrés égaux dans des intervalles de temps égaux, la force accélératrice est constante ou agit de la même manière à tous les instans du mouvement; lorsqu’au contraire la vitesse varie par degrés inégaux dans des intervalles de temps égaux, la force accélératrice n’agit pas de la même manière à tous les instans du mouvement; elle reçoit alors l’épithète de variée. Si, au lieu d'augmenter continuellement, la vitesse diminuait par degrés égaux ou inégaux, la force serait une force retardatrice constante ou variée.
Les forces variées d’une manière quelconque étant toujours comparables entre elles et avec une force accélératrice constante, prise pour unité, il est essentiel de se former une idée exacte de la mesure des forces constantes. Or, l'effet produit par ces dernières étant d’imprimer une même vitesse au mobile à chaque instant du mouvement, cette vitesse représente l'effet de la force, et, par conséquent, son intensité, en vertu du principe de la proportionnalité des effets aux causes. Mais si nous désignons par v la vitesse effective du mobile après un intervalle de temps £ écoulé depuis l'instant où la force a commencé d’agir, cette vitesse v contiendra autant de fois la vitesse constante qui donne la mesure de la force accélératrice, que l'intervalle de
() temps # contiendra d'unités detemps ; 7 Sera donc l’ex-
pression de la vitesse constante, et représentera conséquemment la force accélératrice. ;
C’est ordinairement à la force accélératrice constante de la gravité qu'on compare toutes les autres forces variées ; l'expérience ayant fait connaître qu’à la latitude de Paris et au niveau de la mer la gravité imprime aux corps, dans chaque seconde de leur chute libre, une vitesse de 9,808799 mètres ; nous ayons pour cette
force
ou 4 — 9",808795, parce qu'on est convenu de représenter la force de la gravité par la lettre g. G. La théorie du mouyement uniformément accéléré
fait connaître toutes les circonstances de la chute libre des corps; on sait qu’en désignant par À l’espace parcouru, où la hauteur dont un corps est tombé dans un intervalle de temps désigné par t, et par v la vitesse acquise à l’expiration de ce temps #, on a la relation générale
= 2JhS
dont l’usage est si fréquent dans les questions de mécanique. Nous ferons observer, au sujet de cette relation, que dans la démonstration que nous en avons donnée, tome I, page 18, nous avons représenté par 9 l’espace que les corps pesans décrivent dans la première seconde de leur chute libre, où 4",9045975; ce qui donne 2g pour l’expression de la force de gravité. On devra donc remplacer partout, dans nos deux premiers volumes, 24 par g, si l’on veut donner à cette lettre la signification qu’elle a dans ce supplément et qui est généralement adoptée.
7. L'action des forces accélératrices constantes ne peut être comparée à celle des forces instantanées qu’en remontant aux élémens indéfiniment petits de l’espace et du temps; car si l’on imagine qu’un mobile, après ayoir reçu une première impulsion d’une force instantanée, reçoive, après un temps £, une seconde impulsion dans le même sens d’une autre force égale à la première, puis après un temps 2{, une troisième impulsion, et ainsi de suite, de manière que la vitesse communiquée à cessivement
l'origine étant v elle devienne suc-
20 après le temps t,
SUR 1. D Co ot NME CIC CIC,
on ne pourra évidemment remplacer toutes les forces instantanées par une seule force accélératrice con- Stante qu’en supposant les intervalles de temps égauxt infiniment petits, ainsi que la vitesse v imprimée au commencement de chaque intervalle. Dans cette hypothèse, qui conduit d’ailleurs à des résultats rigoureux, si nous désignons par M la masse du mobile, et par dv la vitesse infiniment petite qui lui est communiquée au commencement de chaque intervalle de temps dt infniment petit, Mdv exprimera la quantité de mouvement infiniment petite, imprimée en même temps au mobile, et qu’il conservera pendant toute la durée de l’intervalle dt, pendant laquelle la vitesse do est censée uniforme. fMdv où Mo sera donc la quantité de mouvement que possédera le mobile après le temps fini {, à l'expiration duquel la vitesse effective et finie est v; de sorte que si Ja force accélératrice cessait tout-
FOR 165 àä-coup d'agir, à la fin du temps #, la quantité de mouvement Mv, demeurerait constante , et le mobile se mouvrait comme s’il avait reçu une seule impulsion d’une force instantanée — Mo.
8. Lorsqu'il s’agit de la force de la gravité pour la- . k v quelle on a l’équation fondamentale g — g> où gt=#®, on obtient, en différentiant, gdt = dv, d’où
Mgdt — Ma;
ce qui donne Mgdt pour la quantité de mouvement qu'acquiert un corps à chaque élément du temps de sa chute libre. Observant que Mg représente le poids de la masse M (voy. Pois), et désignant ce poids par P, on a encore Pdf pour l'expression de cette même quantité de mouvement.
9. Les forces accélératrices variées d’une manière quelconque se mesurent encore par leur vitesse; mais il faut observer qu’on entend par la vitesse de ces forces le rapport qui existe entre l'accroissement infiniment petit de vitesse, qui a lieu pendant un intervalle de temps infiniment petit, et cet intervalle lui-même. Voici sur quoi repose cette évaluation. Pendant la durée d’un intervalle de temps infiniment petit, on peut considérer une force variée comme une force constante communiquant au mobile un même accroissement de vitesse à chacun des instans de cette durée, accroissement constant dont l'expression est évidemment - Or, cet accroissement est l’effét de la force, et, par conséquent , la représente; ainsi, désignant par ? une force accélératrice variée, nous avons généralement
dv ? = dt
10. Force DE PRESSION. La tendance des corps matériels vers le centre de la terre les fait peser sur tous les obstacles qui s’opposent à leur chute; cet effet se nomme une pression, et la force de la gravité qui le produit reçoit alors le nom de force de pression ou de force morte. La force de pression se mesure par le produit Mg dela masse M du corps et de la gravité g; où par le poids du corps. (Voy. Pons.)
11. Force DE PERCUSsIOx. La force en vertu de laquelle un corps parcourt uniformément un certain espace et que nous avons désigné sous le nom de quantité de mouvement, prend le nom de force de percussion, au moment où ce corps en choque un autre. La force motrice d’un corps, sa quantité de mouvement et sa force de percussion sont donc trois dénominations différentes d’une même chose, seulement l'expression quantité de mouvement se rapporte plus particulièrement aux Corps qui se meuvent actuellement > et celle
166 FOR de force de percussion aux corps considérés dans le moment de leur choc.
Däns les corps mus d’un mouvement accéléré, la quantité de mouvement augmentant continuellement, l'intensité du choc est d'autant plus grande qu'il a lieu à une plus grande distance de l’origine du mouvement ; c'est ce qui explique les effets prodigieux des petits corps qui tombent de très-haut. Une pierre du poids d’une once, par exemple, tombant de mille mètres, produirait un choc égal à celui d’une pierre du poids de deux livres tombant d’un mètre, si la résistance de l’air ne modifiait les conditions de la chute. Sans cette résistance, les désastres occasionnés par la grêle seraient bien autrement considérables. (Voyez Percuss10x.)
12. DES roncEs Mouvaxres. On désigne spécialement sous le nom de forces mouvantes les forces appliquées à des machines, ou destinées à vaincre des résistances ; de là le nom de moteurs donné aux agens qu'on emploie pour les produire, tels que les animaux, l’eau courante, le vent, la vapeur, les ressorts, etc. La mesure des forces mouvantes est un point très-important de la mécanique pratique.
L'effet d’une force mouvante se composé généralement d’une pression exercée contre un point, eten vertu de laquelle ce point parcourt un certain espace, pendant que la résistance, qu’on péut considérer comme un poids appliqué à un autre point, décrit un autre espace. L'appareil qui lie les deux points ou transmet l’action de la force à la résistance est ce qu'on nomme üne machine.
13. L’effort exércé par la résistance et que la force houvante doit surmonter peut toujours être comparé à celui qui serait nécessaire pour élever verticalement un poids à une certaine hauteur; car, d’après l’observation de M. Navier, il est toujours possible de supprimer la résistance et d’attacher dans sa direction, au point où elle agissait , une corde passant sur une poulie de renvoi, à l'extrémité de laquelle on Suspendrait un poids égal à l'effort ou pression que cette résistance exerçait. Rien ne serait changé aux conditions du mouvernent de la machine, qui resterait exactement le même, et dont l'effet serait seulement transformé en l'élévation du poids. Et pendant le temps que cette machine aurait employé à exécuter un certain Ouvrage donné, un poids égal à l’elfort de la résistance se trouvera élevé verticalement d’une hauteur égale à l’espace parcouru pendant ce même temps et dans le sens de la résistance par son point d'application : l'élévation de ce poids représentera donc le travail de la machine, et une machine sera censée faire d'autant plus d'ouvrage qu'elle pourra élever ainsi un poids plus grand à une hauteur plus grande. (Navier, Notes sur Bétidor.)
à FOR
Mais l'effet du moteur sur la machine peut être également considéré comme l’élévation d’un poids à une certaine hauteur, puisqu'on peut, de la même manière, remplacer le moteur par un poids égal à sa pression, attaché à l’extrémité d’une corde qui passe sur une poulie de renvoi, et dont l’autre extrémité serait attachée au point d'application du moteur; la descente du poids remplacera exactement l’action du moteur; et comme un poids qui descend est capable de faire monter un poids égal à la hauteur dont il est descendu, l'effet du moteur; pendant un temps donné, sera représenté par un poids, égal à la pression, élevé à une hauteur égale à l’espace parcouru, dans le sens de cette pression, par son point d'application.
Les effets du moteur et de la résistance se trouvent ainsi représentés de la même manière, ce qui donne le moyen de les comparer et de déterminer les conditions d'équilibre d’une machine quelconque.
14. Tout se réduit donc à évaluer numériquement l'intensité de la force capable d’élever un certain poids à une certaine hauteur dans un temps donné. Or, si nous désignons par f et f les forces capables d'élever les poids P et P' dans un même temps T à une même hauteur H, nous aurons, en partant toujours du principe que l'intensité d’une force est proportionnelle à son effet,
Loose Rp 1e : P’.
Par la même raison, si f” désigne une troisième force capable d'élever le poids P' à la hauteur H° dans le temps T, nous aurons aussi
