le —Hlé comme nous aurons encore ARE LE dE ne

si f'' est une quatrième force capable d'élever le poids P' à la hauteur H° dans un temps T. 0

Maultipliant ces trois proportions terme par terme, ét retranchant les facteurs communs du premier raäppott ; il viendra

fifi = PER: D 'HE/s

c’est-à-dire que deux forces mouvyantes sont entre elles

comme les produits des poids qu’elles élèvent par les hauteurs et par les temps. Ceci posé, si nous prenons pour unité de ces forces celle qui élève Punüté de poids à l'unité de hauteur dans l'unité de temps ; nous aurons, en posant f'=1,P =1, =, Ti,

f=PBT.

Le produit PHT représentera done l’action de la force dans l'intervalle deftemps T, er, par conséquent, PH son action dans Punité de temps. Il en résulte la proposition suivante :

L'intensité d'une force mouvante est équivalente au produit du poids qu'elle peut élever par la hauteur à laquelle elle l'élève, dans l'unité de temps.

15. Le produit PH a reçu diverses dénominations. Smeaton lui avait donné le nom de puissance mécanique; Carnot, celui de moment d'activité; Monge, celui d’effét dynamique; mais on le nomme plus généralement, d’après Coulomb, quantité d'action. En adoptant pour unités de poids et de hauteur le kilogramme et le mètre, P représente un nombre de kilogrammes, et H un nombre de mètres, et on donne même souvent à ces lettres les caractéristiques Æ et m, et à leur produit la caractéristique Æm. (Voy. DYNAMIQUE et Errer.) Nous verrons ailleurs comment on applique cette évaluation des forces au calcul de l'effet des machines. ( Voy. Macmiwe.)

16. Les forces mouvyantes peuvent encore être représentées par le produit d’une masse et du carré d’une vitesse, produit qu'on est convenu de nommer une force vive, abstraction faite de toute notion métaphysique. Voici le fait: si une force mouyante, au lieu d'exercer une pression P contre un point résistant, qui parcourt un espace H en yertu de cette pression, avait agi sur une masse #, cédant librement à son action, la masse m, après avoir parcouru l’espace H, aurait acquis une certaine witesse v et, par conséquent, une certaine force vive mv?; c’est done absolument la même chose, pourla force, de consommer une quantité d'action PH sur une machine, ou d'imprimer une force vive mv? à une masse libre m; et il est évident qu'on peut indifféremment représenter l'intensité de son action par l’une ou l'autre des quantités PH, mv°. Or, pour passer de l'une de ces quantités à l’autre, représentons par M la masse du poids P, nous aurons, g désignant taujours la farce de la gravité, P — Mg, et par suite,

PH = MgH.

Mais, V étant Ja vitesse qu’acquerrait la masse Mi en tombant librement de la hauteur H, nous ayons, d'après la relation connue (6),

ainsi

Le produit MV? est donc numériquement égal au double du produit PH, et il est prouyé qu’une quantité d'action peut toujours se transformer en une force vive, c’est à-dire en un produit d’une masse par le carré d’une vitesse.

La considération des forces vives étant d’une haute importance dans toutes les questions relatives aux machines et aux moteurs, nous allons présenter les élémens de leur théorie.

17. Des FORGES vives. Sans revenir ici sur la dénomination de force vive donnée au produit d’une masse par le carré d’une vitesse (voy. tome IT, p. 35), nous rappellerons, une fois pour toutes, que la force vive d'un corps en mouvement à un instant quelconque , est représentée par le produit de sa masse et du carré de sa vitesse effective à cet instant. Nous rappellerons également que dans le choc de deux corps parfaitement élastiques,

La somme des forces vives est la même avant et après le choc (tome, page 525), mais que dans le choc de deux corps incomplètement élastiques, la perte de forces vives est d'autant plus grande que l’élasticité de ces corps est plus imparfaite. Nous avons démontré cette loi de Carnot pour les corps parfaitement durs.

La différence des forces vives, avant et après le choc, est égale à la somme des forces vives qu'auraïent les mobiles, si, après le choc, les masses se mouvaient avec les vitesses perdues ou gagnées. ( Voy. Communication pu MouyEMEnT. )

Ceci posé, pour faire comprendre ce qu’on nomme, en mécanique, le principe des forces vives , il nous reste à démontrer quelques propositions préliminaires.

18. L'action d’un moteur ou d’une force-mouyante consiste uniquement dans un effort ou pression exercée extérieurement contre la surface du Corps auquel la force est appliquée. Cette pression peut toujours être remplacée par un poids qui donne ainsi sa mesure, et il en résulte que l’effort d’un moteur est toujours com= parable à l’action de la force de la gravité , et peut s’exprimer de la même manière. Or, si une force mouvante, au lieu d'exercer une pression p sur un obstacle immo= bile, répartissait son action sur toutes les molécules matérielles d’une masse libre », elle lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré, de sorte qu’en désignant par y la vitesse acquise par la masse m dans chaque unité de temps, y représenterait la force qui agit sur chaque molécule en particulier, et my la résultante de toutes les forces partielles ou la force:totale qui produit la pression p; les deux quantités p et my ont donc entre elles la même relation que celle qui existe entre le poids d’un corps et le produit de sa masse, par la force de la gravité (voy. Pos); c’est-àdire qu'on à p = my. Ainsi, toutes les fois qu'on saura

qu'une force agissant sur une masse M; qui cède librement à son action, communique à celte masse une vitesse y dans chaque unité de temps, on en pourra conclure que, si cette force était appliquée contre un obstacle immobile, elle exercerait une pression p —my-

19. Supposons maintenant qu'un point matériel soit soumis à l’action de plusieurs forces accélératrices agissant dans des directions différentes et qui lui font décrire une certaine courbe dans l’espace. En rapportant cette courbe à trois axes rectangulaires, nous pourrons décomposer chaque force en trois autres respectivement parallèles aux axes, et, Comme les composantes parallèles à un même axe s'ajoutent entre elles, nous n’aurons plus à considérer que trois forces. Nommons y la somme des vitesses que les composantes parallèles à l’axe des æ peuvent imprimer dans l'unité de temps, y la même somme pour les composantes parallèles à l'axe des y, et y la même somme pour les composantes parallèles à l'axe des x. Ces trois quantités représenteront les trois forces variées auxquelles se réduisent toutes les forces du système. Les coordonnées æ, y, # représentant les espaces que le mobile parcourt dans le sens des trois axes, nous aurons, d'après les lois du mouvement varié (voy. tome E,

page 20) .….(1)

Les vitesses du mobile, dans le sens des trois axes,

seront respectivement de LR qe et, si nous reprédt” dt” dt°

sentons par v leur résultante ou la vitesse du mobile

sur le point de la courbe dont les coordonnées sont æ,

y, z, nous aurons la relation connue (voy. RésuL-

TANTE) se (2)

v=V res a

Multiplions respectivement les trois équations (1) par les quantités dæ, dy, dz, et formons leur somme, il viendra

SAR CITE TT = ydx + PAU] +- y dr à

ce qui uous donnera, en intégrant,

dx? ? + dr? H , !

En + dj + dé — J (ydæ y dy + " dx) - const.

2df

ou , d’après l'expression (2),

= 2 [de LL y'dy + y'dz) + const.

Pour déteriner la constante, observons que la quantité sans le signe f était nulle lorsque les forces 7, 15% ont commencé à agir; de sorte qu’en désignant par v la vitesse qu'avait le corps à cet instant, et multipliant les deux membres par la masse m du point matériel, nous aurons définitivement .….(3)

Mo? — mo? = 2 J (mydæ + my dy + my'dz)

équation dont le premier membre représente l’accroissement de force vive que le mobile a éprouvé depuis l'instant où les forces ont commencé à agir sur lui, ct dont le second représente le double de la somme des quantités d’action imprimées par ces formes au mobile dans le même temps. En effet, les quantités m7, My mJ" expriment les pressions que les forces agissant sur le corps, dans le sens de chaque axe, exercent sur lui (18), et par conséquent les quantités mydx, my dy, my dz sont les produits des pressions par l'élément de l’espace que le corps parcourt, suivant leurs directions respectives : le second membre de l'équation (3) est donc le double de la somme des produits semblables, prise depuis l'instant où les forces ont commencé à agir; mais le produit de la pression exercée contre un Corps par l’espace que ce corps a parcouru dans la direction de cette pression est la quantité d'action (12) développée par la force; donc,

1° La force vive acquise pendant un certain temps par un corps qui se meut par l'action de plusieurs forces quelconques est toujours numériquement égale au double des quantités d'action que ces forces lui ont imprimées pendant le même temps, en prenant négativement les quantités d'action quand les espaces parcourus sont en sens contraire de l'action des forces.

o La force vive: acquise par de corps à un instant donné, et, par conséquent, lavaleur de sa vitesse, dépend uniquement de la grandeur des forces qui ont agi sur lui et de l'espace qu'il a parcouru suivant la direction de chacune de ces forces, et non point de la figure de la courbe qu'il a décrite de la manière dont sa vitesse a variée ni de la durée de son mouvement.

Cette importante proposition est connue sous le nom de principe de la conservation des forces vives. On l’étend facilement au cas général d’un système de points matériels liés entre eux soit d’une manière inébranlable pour former un seul corps solide , soit assujettis seulement par des fils et composant un système susceptible de changer de figure ; son énoncé devient alors :

La somme des forces vives acquises par les différens points du système pendant un certain temps est toujours numériquement égale au double de la somme des quantités d'action que les forces agissant sur ces points ont imprt= inées pendant le méme temps.

20. Il résulte immédiatement de ce principe que la force vive du système est indépendante des conditions de la liaison et de la nature des lignes décrites par les corps, et peut se calculer uniquement d’après les espaces que les corps ont parcouru dans le sens de chaque force. On voit encore que si, à un instant quelconque, le système était abandonné à lui-même, et qu'aucune force ne vint agir sur lui, la somme des forces vives qui auraient lieu à cet instant se conserveraient sans altération, quels que fussent les mouvemens que les corps prendraient ensuite les uns par rapport aux autres, et les variations que pourraient éprouver leurs vitesses. Toutefois, nous devons faire observer que la condition fondamentale du principe est qu'il n’y ait point de changement brusque de vitesse, c’est-à-dire, que les courbes décrites par les points soient continues, et que les vitesses de ces points ne varient dans chaque élément de temps que d’une quantité infiniment petite. Tout changement brusque entraîne une perte de force vive qui fait l’objet du principe rappelé ci-dessus (17).

21. Dans l'application de la théorie des forces vives aux machines, on considère chaque moteur comme renfermant une quantité déterminée de force vive qu'il peut transmettre, à l’aide d’une machine, à une résistance quelconque ; le calcul de la machine se réduit ainsi à la détermination du rapport entre la force vive employée et la force vive communiquée. Pour les machines mues par des fluides, ce rapport dépend du principe suivant, que nous pouvons nous contenter de poser :

La force vive communiquée à la résistance est égale à celle que possédait le moteur, diminuée, et des forces vives perdues dans les changemens brusques de vitesse, et de celles que le moteur conserve après avoir exercé son action.

29. Force D'INERTIE. L'inertie de la matière (voy. t. II, p. 249) est la propriété qu’a chaque corps de persévérer dans son état de repos ou de mouvement. La force d'inertie est la résistance qu’un corps oppose à son changement d'état, ou la réaction qu’il exerce sur le système des autres corps qui viennent modifier cet état.

On mesure la force d'inertie d’un mobile par la quantité de mouvement qu'il imprime à tout autre corps dont le choc le fait passer du repos au mouvement ou du mouyement au repos, ou enfin d’un mouvement à un autre mouvement : cette quantité de mouvement étant, d’après la loi d’antagonisme (tome IL, page 249), une force égale et opposée à celle qui change l’état primitif du mobile. Si l’on décompose donc la vitesse effective du mobile, avant le choc, en deux autres, dont l’une est celle qu’il doit prendre après le choc, l’autre, multipliée par la masse de ce mobile, donnera l'expression de sa force d'inertie au moment du choc. (Voy. Carnot, Prine, de l'Equil. et du Mouv.)