EH (B—A
Il est facile de voir que si le piston supportait une pression extérieure constante ph, la quantité d’action de la
vapeur serait B(H—4) (BA).
Nous examinerons ce qui concerne plus particulièrement la vapeur de l’eau au mot Vareun.
FRACTIONS CONTINUES. (4lg.) La théorie des fractions continues, considérée sous le point de vue général indiqué tome I, page 580, et tome IT, page 545, estune partie très-importante de la science des nombres, car on a pu voir, dans les articles cités, que ces fractions constituent un mode universel de génération technique souvent plus simple que les développemens en séries, et toujours préférable sous le rapport de la convergence. Nous allons compléter ici plusieurs points essentiels de cette théorie et examiner ce qu'on nomme les fractions continues périodiques, dont nous n’ayons point parlé dans nos deux premiers volumes,
1. X exprimant une quantité quelconque, la forme la plus générale de sa génération technique en fraction continue est
Dig rss a; etc.
b, b, b, dans laquelle les fractions partielles —, —*, —*, etc., Ua 55 Ga008s
ont reçu le nom de fractions intégrantes, que nous leur Conserver ons:
FRA Si l’on prend successivement la somme de 4, avec
une, deux, trois, etc., fractions intégrantes, on obtiendra les réductions consécutives
db au th a, a TO db — dada, baba,
ab
aa, —+-b, 2 *
an, anna the ban, +b,a bb,
ds ba; ba $
etc. = etc.,
auxquelles on peut donner les formes suivantes, plus propres à rendre sensible la construction du numérateur et du dénominateur de chaque somme, au moyen des numérateurs et des dénominateurs des sommes précédentes ;
did + D
Ur a (ae +) + ba 4 + b, 5
Formant donc deux suites de quantités P,, P,, P,, etc. Q,, Q,, Q,; d’après la loi très-simple de construction .... (a)
Pi — "04
Pi al bi
P, = a P,+b, P, P, = LA P,+0b,P, P,—al,+0,P;;
Q=4aQ Q=a Q+biQ Q,—=a, Q,+t,Q Qu Q+bQ;
etc. —1elc. etc. —etc.
Pop Pop Pons Qu Gp Qui bp Qu, on aura évidemment à =»
P b = af | 1 1 P, b eh LE eu > @ saubsl etc. —=1elc
FRA
a grain Pre Eu + ND que En général, -# &éra la valeur donnée par les u pre- EH mières fractions intégrantes, ou la valeur de la fraction continue en ne tenant pas compte de tout ce qui suit le dénominateur @,.
Or, les quantités successives Fe > ñ ?
Q, GP ü
nous nommerons fractions principales, sont alternativement plus petites et plus grandes que la valeur totale X de la fraction continue, et il est essentiel, avant
, eic., que
tout, de pouvoir déterminer le degré d’approximation qu’on obtient lorsqu'on choisit une quelconque de ces fractions pour valeur approchée de X.
2. Si nous prenons la différence de chaque fraction principale avec celle qui la suit immédiatement, nous trouyerons
Po = Pi Po a Pi O Q Q QU ” RER Q:P:0, Q, Q, Q,Q, és 1 Ph — P,Q = 7 mt) 3 X2 Q; Q, Q,Q, à etc. — etc.,
et, en général,
Pons Pa Pot Qu — Po Qui Qu Qi
Ces différences peuvent servir de limites pour apprécier le degré d’approximation de chaque fraction Hé car la valeur totale X étant comprise entre
, On a nécessairement
M ta Puy ul Py fre:
Qui Q: Qu j
Pur Qu
l'erreur en plus ou en moins sera plus petite que
Ainsi, en prenant pour valeur approchée de X,
Pet Qu Pa Que , Qui Qu
5. Les numérateurs de la suite des différences des fractions principales consécutives ont entre eux des re= lations qu’il est nécessaire de connaître. Considérons les deux différences successives
Pur P, Pr Qu 2 Qui — — Pys Qu, Qu2 Gen Que Qui Pons Pe = Puni Qu — Pa Qu Qs Qu QE ?
FRA 175
et observons qu’on a; d’après la loi (a) de construction,
Po = du Pui + bai Pos, Qu = du Qu bu Qu
Si nous multiplions la première de ces égalités par Qu, et la seconde par P,;, il viendra
Pa Qui = dp Pas Qu + bus Po2 Qui Par Qu = ap Pys Qui bai Pas Que,
d’où, en retranchant la première égalité de la seconde, Pa Qu ee Py Qui == bis [r. Qu-2— Po Qu] ,
ce qu'on peut mettre sous la forme
Pas Qu —Py Qui — bp [re PQ] .
Il résulte de cette expression que le numérateur d’une différence quelconque est égal au numérateur de la différence précédente pris avec un signe contraire et multiplié par le numérateur de la dernière fonction intégrante employée. En désignant par D, le numérateur d’une différence, nous avons donc la relation générale
Du =— bu Du s et, par suite, les égalités
Dani =— bp Duo)
Das —=— dus Du.
dont la dernière se réduit à D,——0, X —b,,
à cause de D, — pe Q, —
P,Q,=a,a,— da, a, —b,.
Substituant la valeur de D, dans celle de D, , puis celle de D, dans celle de D, , et ainsi de suite, nous obtiendrons pour la construction absolue de D, l'expression [es
De=(—1}".
DD DT on bu;
ce qui nous donne, pour la différence générale,.…..(b)
Rss —@ EC de
bons
Lorsque tous les numérateurs des fractions intégrantes
176 FRA
sont égaux entre eux, cette différence générale est simplement, b désignant le numérateur commun ;.... (6)
fol (— 1) . DO .
En faisant b— 1, ce qui est proprement le cas des fractions continues numériques, on obtient pour lexpression générale de la différence entre deux fractions
principales consécutives ….(d)
2 1 Ga) "Dia 0%
comme nous l'avons démontré, tome Ï, page 377.
4. Ces relations générales étant posées, procédons à l'examen des fractions continues périodiques, c’est-àdire des fractions continues composées d’un nombre déterminé de fractions intégrantes se reproduisant dans le même ordre à l'infini. Telles sont, par exemple, les
fractions
dont la première n’a pour période qu’une seule fraction P
—. 1 ! xEt intégrante —, et la seconde deux fractions a 3 Quel a
b que soit le nombre des fractions intégrantes d’une période, la valeur totale de la fraction continue est, comme nous allons le voir, une quantité irrationnelle
du second degré.
Désignons par æ la valeur inconnue de la fraction
: Ps Je à e . NA 1 continue périodique à une seule fraction intégrante Ze
ou posons +
Aucune différence finie ne pouvant exister entre les valeurs de la fraction continue prise en partant de la première ou de la seconde fraction intégrante, nous avons
évidemment encore
d'où
ad Let,
FRA
équation du second degré qui donne pour la valeur de æ
D = — + iv/(at +4).
Soit, par exemple, « = 2, on a
Soit encore 4 —6, ce qui donne æ = — 3 + 1/10,
on aura de même
