Désignons toujours par + la valeur de la fraction RE a b
nous aurons, en coupant la fraction après la première
continue à périodes de deux fractions intégrantes
période,
d’où
el, par suite, ax? + abx — b,
équation du second degré, dont on tire
hifi
FRA
Dans le cas, par exemple, de a = 2, b = 4, on aurait
Fr 4 + etc.
Il est facile de voir qu’en suivant la même marche on ramènerait à une quantité irrationnelle du second degré la valeur d’une fraction continue périodique quelconque.
6. Réciproquement, une quantité irrationnelle du second degré étant donnée, on peut toujours la développer en fraction continue périodique. Voici, d’abord, le procédé connu. Soit proposé |/11; la valeur de cette racine étant comprise entre 3 et 4, posons
V11=3+— À et dégageons de cette équation la valeur de À, ce qui donne
Multipliant les deux termes du second membre par V/11+-5, il viendra
reve +3
à cause de (1/11—53) (1/11 5) —11—5— 0. Or, la valeur du numérateur du second membre étant entre
53 —6Get 4 + 35 — 7, celle de A est entre Ÿ et 2;
elle donne 5 plus une fraction que nous désignerons
par DB? en posant
We FE ne =5+À, nous aurons donc déjà Cr Ni re B mais 1 ARGENT
FRA 177
Multipliant les deux termes de la fraction par |/11+-5, il viendra
2(V/11—È53 p = ALES) = 1/11 +5, d’où nous pourrons poser
ainsi
La dernière équation donnant
Vire = Vis;
et
on voit que la valeur de C est la même que celle de A, de sorte qu'en partant de À ou de C, on ne peut que trouver la suite des mêmes dénominateurs 5 et 6 à l’in-
fini. On a donc définitivement
7. Tout l’artifice de cette transformation consiste à déterminer ainsi les dénominateurs des fractions intégrantes successives, jusqu’à ce qu’on ait trouvé pour l’un de ces dénominateurs une expression identique avec celle d’un dénominateur précédent ; on connait alors toutes les fractions intégrantes d’un période, et, par conséquent, la fraction continue elle-même. On trouverait, de cette manière, pour|/6, par exemple,
V6 — o Be lé à 2(/6+ 2) ,, :
LP 6 — 2 a SM CÈ x 1 + Créer
178 FRA
arrêtant le calcul à €, parce que l'expression de € est identique avec celle de A, on a
comme nous l’avons trouvé ci-dessus par l'opération inverse, c’est-à-dire en partant de la fraction continue pour obtenir sa valeur totale. Prenons pour dernier exemple 1/15; voici le tableau des calculs :
V15=5+, mt ri mn ET = — VER i+S, D Mit, Eng V15 +565, F5
1 + etc.
8. Voici maintenant un autre procédé beaucoup plus simple et qui n’exige aueun calcul de transformation. Soit N un nombre entier quelconque, mais dont la racine carrée est irrationnelle, Désignons par @ la
