partie entière de la racine, et par = sa partie fonction
naire, nous aurons ..…(&)
Élevant les deux membres de cette égalité à la seconde puissance, nous obtiendrons l’équation
FRA
ou désignant, pour plus de simplicité; N — «à? par b, be? — 90% + 1;
divisant les deux membres de cette dernière par bz, il viendra
remplaçant # dans le second membre par sa valeur donnée par ce second membre, on aura L4
"520 1 Se ARRETE 24 1 (D +5) ca 1
24 1 TOR 7 24 1 ENST 24 + =>
et ainsi de suite, à l'infini.
Substituant la valeur développée de # dans (e), nous aurons généralement ….(f)
VA=a+ NU TE b 2a +1 BTE.
re 24 1 Toutes les fois que sera un nombre entier , la ra-
cine W/N sera donnée par une fraction continue à période de deux fractions intégrantes; dans tous les autres cas on la ramènera à la forme très-simple …. (9)
FRA
Soit, par exemple, N—15, on a alors «—5 ct N—@&@—15—9—4—b; donc
: PR. b 9. Lorsque les fractions intégrantes — sont beau- = 24
coup plus petites que l'unité, les fractions principales consécutives convergent si rapidement vers la valeur totale de [/N, qu'il n'existe aucun moyen plus simple et moins laborieux, pour obtenir les valeurs approchées de cette quantité, que d'effectuer les calculs, d’ailleurs si faciles, indiqués par les expressions (a). Prenons pour exemple |/487, dont la valeur entière est 22, ce qui nous donne
N— 487, a— 22, b—N— 0 — 487 — 484 —53, et, par suite, 1487 = 29 + 7 44 +5 44 +5 44 + etc.
Comparant avec les formules générales (4), nous avons
d’où P, = a2, OL ee P,— 971; Qi = 44; P,— 42790, Q@— 1959, P, — 1885673, Q;, —= 85448, CÉC ES ou ae
Si l’on ne demandait que six décimales exactes à la racine, la troisième fraetion principale
serait déjà suffisante, car, d’après l’expression (d), on a
De.
a 7/70 Re Q VAT ST SEE
ce qui donne, en réduisant en décimales,
FRA AE Or, 42790 =, b6o:6S5::..
Ainsi, comme les deux dernières décimales seules peuvent être trop faibles, on a, avec six décimales exactes,
La quatrième fraction principale © , réduite en déci-
males, donne
DEP den 22, 068 076 490 96... ,
dont les neuf premières sont exactes. Pour s'en assurer, il faut calculer Q,, afin d’avoir la limite
me
QQ On trouve Q,— 3655529; et, en réduisant la différence
en décimales, il vient
EE — DDreee BAS X 3655629 0, 000 000 000 259
C’est la limite de l'erreur en plus qu’on peut commettre
à pour la valeur de |/487; on a donc; [A
avec neuf décimales exactes,
en prenant
Cet exemple nous parait suffisant pour montrer l’utilité des fractions continues dans l'extraction des racines carrées.
10, Quels:que soient les avantages que nous venons de signaler, l'usage des fractions continues, pour l’extraction des racines, serait bien borné s’il ne pouvait s'étendre aux racines des degrés supérieurs au second; mais cette extension a lieu, et nous allons exposer une méthode générale qui embrasse les irrationnelles de
tous les degrés. Considérons la racine du degré » d'un
m nombre entier quelconque N , /N ; désignons par a la plus grande puissance m contenue dans ce nombre, et
par l’excès de N sur &, nous aurons
Lu m m b dù VN=Vu+= Va. (+2)
m a étant une puissance exacte, le facteur |/&est un rom-
150 FRA
bre entier; ainsi, nous avons seulement à nous occuper
ed b [LUS de la quantité irrationnelle (1 +=) + Fee Pour appliquer à cette quantité le développement en
fraction continue du binome (1 + x)" que nous avons
donné tome I, page 585, substituons dans ce dévelop- ES b £ pement nm - à æ, el nous obtiendrons, toutes ré-
ductions faites (4)
D'\ve b ( +) D nn
Sma+-(2m—1)b
RC
5ma—- etc. »
expression dont la loi est évidente, car la suite des numérateurs est
b,(m—1)b, (m+1)b, (2m—1), (2m+1)0, (8m—1)0, (3m+41)b, etc. et celle des dénominateurs
ma, 2, 5ma, 2, 5ma, 2, gma, 2, gmA, 2, etc.
& Fe
Nous choisirons pour exemple 1/17, dont nous avons trouvé par un autre procédé (voy. ci-dessus, page 131) que la valeur est, avec dix décimales,
La comparaison des deux calculs pourra montrer la su=
périorité de la présente méthode.
& La partie entière de |/19 étant 2, 24 —:16 est la plus PS DrO 1SS pe grande quatrième puissance contenue dans 17, et nous devons faire conséquemment 4 — 16, b— 1; ces valeurs substituées dans (4), donnent
\f Q r Nous avons donc, en comparant avec les formules (a),
T— —P7 —= = ol» A0, 4,92, .4,—199, 4,—), d;—320, etc.
b—1, b,=—5, b,—=5, b,—7, b,—0, b=11, etc.
FRA Construisant avec ces valeurs les quantités P, et Qy,
nous {(rouverons
PE 1 = 1 D; = 65 Qu 64 pa 199 Tr == 191 PE 25861 = 20472 PA 52653 (O} = 51861
etc. —1etc; etc; etc
Nous aurons ainsi, pour la suite des fractions principales alternativement plus petites et plus grandes que la racine demandée,
» etc.
La cinquième, réduite en décimales, donne
quantité dont le produit par 2 est la valeur approchée
de 1/17, car
Vis =1v16.V/ {1 2) = Aer .
Nous avons donc, en nous arrêtant à cette cinquième fraction principale,
valeur dont les huit premières décimales sont exactes.
En prenant la sixième fraction principale
Q; __ 17081709 PE 16824768 on trouverait
Pour évaluer la limite de l'erreur, exprimée, d’après
la formule (b), par
äl faut calculer Q, , qu’on trouve égal à 34220007, d’où l’on voit que l'erreur en plus est plus petite que
FRA
ou ne peut porter que sur le onzième chiftre décimal. Ce onzième chiffre étant zéro, il devient évident que le dixième est trop fort d’une unité, et qu’on a seulement avec 10 décimales exactes,
En formant la septième fraction principale
on trouverait, pour les douze premieres décimales de la racine,
11. La convergence de la fraction continue () étant d'autant plus grande que b est plus petit par rapport à a, il est souvent utile de prendre pour @ non la plus grande puissance contenue dans le nombre proposé N, mais la plus grande puissance immédiatement supérieure ; b devient alors négatif, ce qui rend toutes les fractions intégrantes négatives et toutes les fractions principales plus grandes que la valeur totale vers laquelle elles convergent en décroissant continuellement. Soit a la plus grande puissance du degré m immédiatement plus grande que N et b la différence entre & et N, nous aurons
VA = (0 = Va fi?) et...(2)
eee
CU) 5ma—(2m—1)b crc
Il suffira de donner le signe — aux quantités b,, b,, b,, ete., dans les formules (a), pour pouvoir les appliquer aux réductions consécutives de cette fraction continue.
S'il s'agissait, par exemple, d'extraire la racine cubique de 509, dont la valeur est comprise entre 7 et 8, mais beaucoup plus près de 8 que de 7, car 7° —441 et 85 — 512, on ferait a — 512, b — 519 — 509 — 5, et, en substituant ces nombres dans la formule (4), on aurait
FRA
faisant dans les expressions (a)
d— 1; d,—1536, 4, —2; 4, — 4608, d,—2, etc,
b—=—5, b,—=—6, b,—=— 12, b,——:15, etc.,
on obtiendrait
pi 1533, Qù— 1536
De 3060, Qi — 3066
P, — 14082084, Q, — 14109696 etc, — etc. etc. — etc.
Dans le cas où l’on voudrait se contenter de six décimales exactes à la racine, on pourrait s'arrêter à la troisième fraction principale
P, 3060 ae Q, = 3066 —= 0,998043052. …… car, d’après la formule (b), la différence entre cette frac-
tion et la valeur totale est moindre que
2 D mt
Ca. À
Go
c'est-à-dire que
quantité dont le premier chiffre significatif décimal est du huitième ordre. On a donc
