Les constantes &, b, e, d, qui entrent dans l’équa

tion de la Jigne droite doivent être considérées géné

GÉO 195 ralement comme des quantités indéterminées susceptibles de tous les états de grandeur et auxquelles il suffit d'attribuer les valeurs dépendantes des conditions imposées à une droite pour obtenir l’équation particulière de cette droite. Les procédés sont tout-à-fait semblables à ceux qu’on emploie dans la géométrie plane, ainsi que nous allons le voir dans les questions suivantes.

8. Trouver les équations d’une droite assujétie à passer par deux points donnés.

Soient À et B les deux points (PI. XI, fig. 14), dont nous exprimerons les coordonnées connues paræ, y,2 et æ’, y’, z'. Puisque ces points doivent se trouver sur la droite, les relations de leurs coordonnées sont les mêmes que celles de tous les autres points de cette droite, et les trois systèmes d'équations

(C0) CARE 0772 +d , y =0cz +d, ()e L —= ax + b ; y = CZ + d, Gate ec

doivent subsister en même temps. Retranchant les équations (2) des équations (5), et les équations (3) des équations (2), nous obtiendrons les deux systèmes

(he … TT —0 (er —x), y — y =c (x —+) ;

substituant dans le premier de ces systèmes les valeurs de a et de c, fournies par le second , nous aurons définitivement

Telles sont les équations de la droite qui passe par les deux points donnés (+, y, z'), (æ'', y’, 2").

9. Si la droite n’était assujétie qu’à passer par un seul point À ou (æ&,y', x), on n'aurait que les deux systèmes d’équation (1) et (2), et les équations finales seraient

lesquelles, tant que & et c restent indéterminées, onviennent à une infinité de droites différentes, passant toutes par le point (+, y', +).

10. Trouver les équations d'une droite assujétie à passer par un point donné et qui soit en outre parallèle à une autre droite donnée.

Soient

les équations de la droite donnée, et

celles de la droite cherchée; les valeurs des quantités

T—=dz tb ;

a', b', c', d' sont connues, et il s’agit de faire disparaître les quantités indéterminées @, b, e, d.

Or, la droite cherchée devant passer par un point donné (æ', y, x), ses équations, d’après ce qui précède, prennent les formes

mais cette ligne devant être parallèle à la droite donnée, il faut évidemment que les plans projetans de ces deux droites et conséquemment leurs projections soient respectivement parallèles; on a done les conditions a—«a, c—c€, et les équations de la droite demandée sont D—g'=a (zx) , y—y—=c(z—57).

Si la droite, qu’on veut mener parallèlement à une

autre droite donnée

Dr D y —=Te--d,

devait passer par l’origine, point dont les coordonnées sont '—0, y —0, 7—0, ses équations seraient simplement

11. Trouver le point de rencontre de deux droites données par les équations

Gi)... æ—ar Eh (2)... "Tax #0",

y—= (3 +d, y=tCz dr

Observons que deux droites, situées d’une manière quelconque dans l’espace, ne sont susceptibles de se rencontrer que lorsqu'on peut les renfermer dans un même plan, et qu’il doit conséquemment exister une relation déterminée entre les constantes a, b, ce, det a’, L', c', d' dans le cas où une telle rencontre est possible. Or, dans ce même cas, les valeurs particulières des coordonnées du point d’intersection doivent salisfaire à la fois les deux systèmes d'équations (1) et (2); ainsi, en considérant les variables æ, y, z comme des inconnues, la solution des équations fera connaître, d’une part, les valeurs des coordonnées du point d’intersection, et de l’autre, la condition de l'existence de ce point; car il y a quatre équations, et elles ne peuvent subsister enmême temps ou être satisfaitespar les mêmes valeurs de æ, y et z qu’autant qu’il se trouye une certaine relation entre leurs constantes.

Retranchant le premier système du second, il vient

OZ (a — a) +b — b, 0O—Z%(c—c) +d—d,

ce qui donne, en éliminant z entre ces deux équations,

bibi RER rep

Telle est la relation entre les constantes a, b, c et a’, b',c’, sans laquelle les droites ne peuvent se couper; en admettant qu’elle ait lieu, il suflit de substituer à la place de x, dans les équations (1) ou (2), sa valeur

pour obtenir les valeurs des deux autres coordonnées æ et y du point d’intersection.

12, Trouver les angles que forme avec les trois axes une droite AO (PI. XII, fig. 1).

Les équations de la droite AO sont, (10),