CARS ER IE

Soient OM et ON (PI. XIT, fig. 6) ces dernières droites ; prenons les parties OA = OB = 1, et joignons

198 GÉO les points A et B. Le triangle OAB nous donnera

(voy. Ticonomérue, tome II, page 582) AB —01-|-0B —20A.0B.cos AOB—2—2005AO0B.

Maintenant, si nous désignons par æ', y , z les coordonnées du point A, et par &’, y’, #" les coordonnées du point B, nous aurons (n°4),

= (ae) + (y) + ET Ainsi (@— 2} + (y—y} + (2) = 2 — 2 cos AOB;

développant les binomes et observant que

arte OÙ,

a+ y +rte OB 1, cette équalion sera réduite à... (g)

cos AOB— xx y y xx".

Pour calculer les coordonnées æ', y", x", æ', y", x, on a les équations

QE ax, y ane, CE,

# 1’ nn 4 re.

qui expriment que les points À et B sont sur les droites OM et ON, et dont on tire aisément, en les combinant avec les relations,

my? +rt— 1; g'Hy+zt— 1

les six valeurs

? a : « VV Lei 4 a? cit:

e ; c y == = —— 4 7 = — == Va ea Va? ce? Ti 1 1

substituant ces valeurs dans (9) on aura définitivement... (A)

q) rois VA LE A a ER à cos AOB — V [ete . e V4 [a+ en | |

expression qui fera connaitre l’angle des deux droites OM et ON au moyen des quatre conslantes 4, €, @', c’ qui entrent dans leurs équations.

GÉO En partant dela relation générale sing =V/1— cos ?y; on obtiendrait pour le sinus du même angle AOB

Vfa—dr+te—cr+ (a —d»] sin AOB—

[e+a+al x [a*+e de |

et, par suite, on trouverait, pour sa tangente,

letter —a) |

tang AOB—

Il est souvent utile d’avoir l'angle de deux droites en fonction des angles qu’elles font avec les axes coor-

cédentes. Soient x, B, y, les angles de la droite AO avec les axes OX, OY, OZ, et «’, £', y ceux de la droite BO; les coordonnées du point À étant +’, y, z', et ceux du point B, &’, y", z', nous avons, d’après les formules (f),

m'— AO!COS ay — NOM CCE LE RO ICO,

æ — BO,. cosu!, y —B0 c056;,7—BO0;'Cosy,, ou, simplement à cause de AO = BO = 1,

Linie VI COSIB Ni COS)

LI COS ay cos Pr COS substituant ces valeurs dans l'expression (g) COS AOB—= 2x yy Ezzs il vient... (à) cos AOB — cos & cos « cos B cos f cosy cos y.

En donnant des valeurs particulières à cos AOB, les équations (4) et (à) font connaître les relations qui doivent exister, soit entre les quantités gaetc, soit entre les angles formés par les droites OM et ON avec les axes, pour que l’angle compris entre ces droites ait une valeur donnée. Si l’on veut, par exemple, que les droites soient perpendiculaires entre elles , il faut faire AOB — 90°, et, partant, cos AOB — 0 ; alors l’équation (4) donne l'équation de condition... (#)

aa + cc +1 —=0; ou bien équation (+) donne celle-ci :

cos &. cos x + cosB. cos B' — cosy. cosy — 0.

donnés; on y parvient aisément par les formules pré-

Il faut observer que la relation (4) ne détermine pas entiérement l’une des droites, car @ ete, par exemple, { étant les quantités données, on peut prendre pour « ou €’ une valeur quelconque, afin de trouver la valeur |

de l'autre de ces deux quantités au moyen de la relation (#). Ceite circonstance résulte de ce qu’on peut mener au même point d’une droite une infinité de perpendiculaires; mais toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan, et c’est seulement la position de ce plan qui se trouve déterminée par l'équation (4).

15. Des PLaxs pans L'espace. Examinons actuellcement comment on peut représenter algébriquement la situation d’un plan dans l’espace. Un plan pouvant toujours être considéré comme engendré par une ligne droite qui se meut parallèlement à elle-même dans une même direction; soit QN (PI. XIT, fig. 2) cette droite, BA la direction de son mouvement , ou, ce qui est la même chose, une autre droite contre laquelle QN est assujétie à glisser pendant qu’elle se meut, en demeurant toujours parallèle à sa première position, c’est-à-dire pour déterminer cette première position, pendant qu’elle se meut parallèlement à une troisième droite donnée OD.

La droite fixe AB se nomme la directrice, et la droite mobile QN la génératrice.

Soient

QG}, æ= ax db, y—=cz+d

les équations de la directrice, et æ — ax, y— c'x les équations de la droite OD, à laquelle la génératrice doit rester parallèle; celles de la génératrice seront conséquemment de la forme (n° 12)

GC)... ads +0, y—=cz+d',

dans lesquelles a’ et c'’ sont des quantités invariables, et b' et d' des quantités qui changent avec la position de la génératrice. ;

Or, puisque la £énératrice QN a dans toutes ses positions un point commun avec la directrice AB, les équations (1) et (2) doivent pouvoir être satisfaites par un même. système de valeurs æ, y, z, ce qui ne saurait avoir lieu, s’il n’existe pas entre les quantités a, b, c, d, a’, b', c', d'(n° 11) la relation

Cette relation devient donc ici l'équation qui exprime que BN glisse le long de AB, et il faut la joindre aux équations (2) pour avoir une représentation complète de la génératrice. Mais, en éliminant b’ et d' entre les équations (2) et (3), l'équation finale en æ, y, z ne contenant plus ces quantités D’ et d’ qui distinguent une position de la génératrice d’une autre, il en résulte que cette équation finale conviendra à toutes les positions de la génératrice, et, par conséquent, à là surface plane qui

est le lieu de toutes ces positions; en un mot, Péqua-

tion finale sera l'équation du plan. Substituant dans (3) les valeurs de D’ et de d'tirées de (2), il viendra

Z—@z—b y—cz—d

ce qu'on peut mettre sous la forme

(c—c) & (a — à) y (ac — ae) z + D (c'—c) + d(a'— a) — 0.

Ainsi la forme générale de l'équation du plan est... (1)

At + By + Cz+ D — 0.

18. Lorsque l'équation d’un plan est donnée, c’està-dire lorsque les valeurs des coefficiens A, B, C, D de l'équation ({) sont déterminées, il est facile de trouver les points où ce plan coupe les axes coordonnés. En effet, au point P où le plan MQ coupe l’axe OX, on doit avoir à la fois Yy—0, &—0; ainsi, donnant ces

valeurs à y et à z dans (1), on obtient æ — — eut pi

On trouverait de même la distance de l’origine où le plan-coupe l’axe OY, en pesant æ — 0, z—0, et la distance où il coupe l’axe OZ, en posant 4—0, y—0. Exprimant ces trois distances par p, q, r, ou, faisant

M EUR AT L , ire UNE 2 Cl

l'équation du plan deviendra SE AU RNRE : == hé a:

19. S'il s'agissait de déterminer les traces du plan ou ses intersections avec les plans coordonnés, il faudrait observer que, pour sa trace PM, par exemple, sur le plan 2%, On à Y—0,et, par conséquent, que cette trace est exprimée par les deux équations simultanées

y—=0 , AtLC;LD—0; par la même raison, les équations de sa trace sur le plan æy sont

3—=0 , Az+By+D—0o; et celle de sa trace sur le plan yx,

æ—0 ; By+Cz+D—=0.

50. L'équation du plan contient généralement les trois variables æ, y, z; et, d’après sa déduction, il est facile de voir qu’elle est toujours du premier degré, comme on peut s'assurer réciproquement que toute

équation du premier degré de Ja forme ({) appartient

à une surface plane. Mais un ou plusieurs des coefficiens À, B, C, D peuvent être nuls, et il est nécessaire de connaitre, dans ces divers cas, les conditions auxquelles le plan est assujéti.

Imaginons que le plan proposé doit être parallèle à l’axe des æ; alors il ne peut couper cet axe, circonstance qu’on exprime en disant qu'il ne le rencontre qu’à une distance infiniment grande de l’origine ou en posant , p exprimant, comme ci-dessus, cette distance,

p—=; mais

I N Ainsi la condition p— æ entraîne la condition A = 0,

et réduit Féquation ({) à By + Cr +D — 0.

Cette dernière est donc l'équation d’un plan parallèle à l'axe des æ. De même les équations

At+CGz:+D—o : Aœ + By + D —0

représentent des plans respectivement parallèles aux axes des y et des z. En général, lorsque dans l'équation d'un plan, une des variables manque, le plan est parallèle à l'axe sur lequel on compte cette variable.

Si le plan devait être parallèle à la fois aux deux axes OX et OY, ou parallèle au plan y, les valeurs de p et de g seraient toutes deux infinies, ce qui entraîne la double condition AÀ—0, B—0o, et réduit l’équation

(1) à Cz+D—=0o,ouz;—=M;

d'où l’on peut conclure généralement que, lorsque deux variables manquent duns l'équation d'un plan, ce plan est parallèle à la fois aux deux axes de ces variables.

L'équation 3 — M exprime évidemment que Ja distance de chacun des points du plan donné au plan des æy, est égale à M. Si donc cette distance était nulle, ou si l’on avait l'équation z—0, elle représenterait le plan des æy lui-même, tout comme l'équation isolée y—0 représente le plan desæx, et que l'équation æ—0 représente le plan des yx. Il est important de ne pas perdre de vue ces diverses significations.

21. Des PLans Er DES DroiTEs DANS L'Espace. Toutes les questions qu’on peut se proposer sur les plans doivent être traitées de la même manière que les questions relatives aux lignes droites, c’est-à-dire qu'il s’agit toujours de déterminer les valeurs particulières des coefficiens de l’équation

A +- By + CG: + D =0,

d’après les conditions qu’on peut imposer au plan. Quelques exemples suffiront pour indiquer la marche à suivre dans tous les cas.

22. Trouver l'équation d'un plan assujéti à passer par un point donné. Soient æ', y', z' les coordonnées du point donné, et

(1)... Ag + By + Cz + D —0

équation générale du plan. Cette équation devant être satisfaite lorsqu'on donne respectivement aux variables æ, y, à les valeurs &', y', z', on a la relation

(2)... Ag By + Cz'+D—0o.

Les deux équations (1) et (2) sont insuffisantes pour déterminer les coelficiens A, B, C, D ; et cela doit être, car on peut faire passer une infinité de plans différens par un même point ; mais on peut au moins éliminer une des interminées en retranchant (2) de (1); il vient

A(t—r) +B(y—y) +CG(z—z)=0o.

Cette dernière ne renferme réellement que deux indé- B et s On doit ob-

Je LA server généralement qu’il y a seulement trois indéter-

terminées, savoir : les quantités

minées dans l’équation générale du plan, puisqu’en divisant tous ses termes par À, on peut la ramener à la forme

2 + Py + Qr HR.

Il suffira donc toujours de trois équations differentes entre les coefficiens de l'équation générale (?) pour dé-

- : BCP terminer entièrement les rapports +. A° À” et fixer.

A par conséquent, la position du plan. ; 25 Silonse proposait de faire passer le plan par trois points donnés (æ',y,2), (æ,y,2), (æ",y", 4)s on aurait à la fois les trois relations

Az By +Cz +<D—=o, Ax' +By +Cz +<D=o, Az By"+Cz"+D—=o,

dont il serait facile de tirer les valeurs des rapports

Ab Le qu'on substituerait ensuite dans l'équation

générale (2). Le plan serait alors fixé de position, parce

qu’on ne peut effectivement faire passer qu’un seul plan par trois points donnés.

24. Déterminer les relations.qui existent entre les coefficiens des équations d'un plan et d'une droite, lorsque la droite çst située dans le plan.

Soit

(1)... At + By + Cz-+ D =0 l'équation du plan, et (2)... z—az+b, y—c+d

les équations de la droite. D’après les conditions du problème, la droite devant être toute entière dans le plan, il faut que, pour une valeur quelconque de %, ou en laissant indéterminé , les valeurs de x et y données par les équations (2) satisfassent à l'équation du plan. Substituant donc ces valeurs dans (1), nous obtiendrons

(Aa Be + C)z + Ab + Bd-F D — 0;

mais cette dernière doit se vérifier pour toute valeur de z, ainsi nous devons avoir à la fois

(5)... Aa + Bc+C—o, (4)... Ab + Bd+ D = 0.

Telles sont les relations demandées.

25. Si la droite (2) ne devait avoir qu’un seul point commun ayec le plan (1), les équations (1) et (2) ne pourraient être satisfaites simultanément que par un seul système de valeurs æ, y, x; mais, comme il peut y avoir une infinité de plans qui rencontrent une infinité de droites au mème point, cette condition isolée ne saurait établir aucune relation déterminée entre les coefficiens des équations (1) et (2). Ces coefliciens seraient seulement liés à la valeur de la coordonnée % du point d’intersection. Voici le fait : soient +’, y, z les coordonnées du point commun; leurs valeurs devant satisfaire en même temps les équations (1), (2), nous avons les trois relations

Ag By + C3 +D—=o, T—ax +b, y —=cz +d; éliminant æ' et y’ entre ces trois équations, on obtient

anus at Ab + Bd + D Aa + Be + C' Cette expression va nous conduire à la condition du

parallélisme de la droite avec le plan. En effet, pour exprimer qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit

d'établir que leur point de rencontre est à une distance-

infinie, et, par conséquent, de poser z —%, d’où Aa + Be + C = 0.

Telle est la relation qui doit exister entre Jes-coefficiens Tom. zur.

des équations (1) et (2) pour que la droite soit parallèle au plan.

26. Déterminer les relations qui doivent exister entre les’ coefficiens des équations d'un plan et d'une droite, pour que la droite soit perpendiculaire au plan.

On reconnaît sans difficulté que les projections de la droite sur les plans coordonnés sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan proposé sur les mêmes plans, et il s’agit seulement d'exprimer algébriquement ces circonstances. Or, si

æ—az#+b , y—cxz+d

sont les équations de la droite, on sait que la première est l'équation de sa projection sur le plan xz; et la seconde, l'équation de sa projection sur le plan yz (n° 5). Mais la trace du plan

Aœ + By + C; +D=0o sur le plan æz est représentée, d’après (19), par y=0 , Am+Cz:+D=0,

ot, par conséquent, son équation dans le plan #3, ramence à la forme ordinaire, est

el LE FN. LT

Ainsi, coïnme cette trace doit être perpendiculaire à la projection correspondante,

on a la rélation (voyez tome I, page 104)

L’équation de la trace, dans le plan des yx étant pareillement

—— (CRM CEA ,

pour nelle soit perpendiculaire à la proje ion y==cz—-d; son a la seconde condition

Dans tous àles cas où le coefficient C a une valeur

finie, les con ditions (1) et (2) sont suflisantes pour exprimer que le plan est perpendiculaire à la droite , c’est-à-dire qu 2 l'équation du plan étant

NAT By + Cr D = 0;

les équations de toutes ses perpendiculaires sont

et ne différent entre elles qué par les valeurs des quantités b et d; mais si l’on avait z — 0, les quantités a etc deviendraient infinimeat grandes, ce qui réduirait les équations de la droite à une seule, z— M, insuflisante pour la caractériser. Il faudrait alors employer la troisième projection, dont la forme est

y = éx + f;

et qui, comparée avec la troisième trace, fournirait une troisième condition

mais il est facile de voir que la troisième projection est liée avec les deux premières par la relation

Ainsi , les conditions complètes qui déterminent la perpendicularité de la droite sur le plan, sont

DE le ee: