L . A d'obtenir ces valeurs, et, comme on connaîtra alors

les coordonnées des deux extrémités de la perpendieulaire, la formule (a) n° 4, donnera sa longueur 5.

PACE Er

Afin d'arriver aux expressions les plus simples, donnons à l'équation du plan la forme... (n)

A (@—x) +8 (y—y) +C (#8) No.

En posant, pour abréger, N=—Ax +By LCr+D,

et considérant les différences 2%, y=y, 7% comme les inconnues, substituons dans (n} les valeurs de æ— + et de y—y données par (m), nous trouverons définitivement

Z—X — LUE 7 AMÆpB+EC?

? — NB VERRE”

— NC

sn EEE

Substituant les carrés de ces quantités dans l’expression de la distance d, nous obtiendrons, toutes réductions

faites,

AT +By EC +D

La valeur d’une distance mesurée isolément devant être toujours positive, on donnera au radical le signe +, si le numérateur de cette expression devenait positif par les valeurs particulières de A, B, C, D, æ, y, 7, et le signe — dans le cas contraire.

Si lé point donné était l’origine même des axes, on aurait d — 0, y.—0,z—0, d'où ilrésulte que la distance d’un plan, à l’origine des coordonnées a pour expression

yRErTE

8. Déterminer l'angle d’une droite et d'un plan donnés par leurs équations.

QG)... x=as+b, y=e+d, (2hsvee At + By + Cr — D = 0,

Ce qu’on nomme, en géométrie, l'angle d’une droite et d’un plan, est l’angle formé par la droite avec sa projection rectangulaire sur le plan, c’est-à-dire qu’il faut mener par la droite un plan perpendiculaire au plan donné, et que l’angle aigu compris entre la droite et l'intersection des plans, est l’angle dont il s’agit; nous disons l’angle aigu , parce qu'il y a toujours deux angles supplémens l’un de l’autre, et que c’est le plus petit qu'il faut prendre. D’après cette convention, ilest visible que, si d’un point quelconque de la droite on abaisse une perpendiculaire au plan, l’angle de ces deux lignes sera le complément de l’angle cherché; mais, d’après (26), les équations de la perpendiculaire seront de la forme

Ainsi, la question est ramenée à trouver l’angle des deux droites (1) et (3); car, ce dernier étant connu, son complément ou l’angle cherché le sera également. Or, substituant dans l'expression générale (k) les coelficiens des équations (2) et (3), nous obtiendrons, pour l’angle des droites qu’elles représentent et que nous désignerons par Ÿ,

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