COS Ÿ

va+w+ ce] vle+eti]

l'angle cherché étant, en le désignant par 9, 9 =90°—+; on a sin g— cos Ÿ, et, par suite,

Aa Bc+C

sin y —

telle est l’expression du sinus de l’angle demandé.

29. Des PLANS ENTRE Eux. Proposons-nous, pour commencer, la question suivante :

Déterminer les relations qui doivent exister entre les coefficiens des équations de deux plans

(1)... Aæ + By L Cz + D — 0, (2)s A'æ+By+Cz+D'= 0,

pour que ces plans soient parallèles.

Observons que, lorsque deux plans sont parallèles, leurs traces sur chacun des plans coordonnés sont deux droites parallèles. Or, la trace du plan (1) sur le plan æx, a pour équation (n° 26)

et l'équation de la trace du plan (2) sur le même plan &z, 05

Done, si ces deux droites sont parallèles, on doit avoir

(voyez tome I, page 104) GC Ar A)

En comparant de la même maniere les traces des deux plans sur chacun des deux autres plans coordonnés, on obtiendrait les deux autres conditions

TE A é .

Ainsi posant Re Q, ces trois conditions donnent

A'— AQ, B'—BQ, C'—CQ.

D'où il résulte que le plan (2) ne saurait être parallèle au plan (1) que dans le cas où les trois coefficiens A’, B', C’ sont les produits respectifs des coefliciens A, B, C par un même facteur. Divisant tous les termes

de (2) par le facteur commun Q et posant D' sr

l'équation (2) deviendra

Aæ + By +CiLE— 0;

ce qui nous apprend que deux plans, dont les équations ne diffèrent que par leurs termes absolus, sont parallèles.

30. Trouver l'angle de deux plans donnés par leurs équations :

(1). At + By + Cr + D = 0, (2). A+ By C':+D'— 0.

Cette recherche repose sur les considérations géométriques suivantes. Soient MP, MN (PI. XII, fig. 5) deux plans qui se coupent suivant la droite MK : si d’un point quelconque O de l’espace on mène à ces plans les perpendiculaires OB et OC, l'angle BOC, compris entre les perpendiculaires , sera égal à l’angle des plans. Pour le démontrer, faisons passer un plan par les deux perpendiculaires OB, OC, il sera en même temps perpendiculaire sur les deux plans MN et MP, et l'angle compris entre ses intersections AD et AE mesurera l'angle inclinaison des plans. Mais, dans la figure, l'angle EAD étant obtus, c'est proprement son supplément EAH qui mesure l’angle des plans MN, MP. Or, dans le quadrilatère OCAB , rectangle en C et en B, l'angle COB

est le supplément de l'angle CAB ou EAB, donc l’angle compris entre les perpendiculaires OB et OD est égal à l'angle des plans. On voit, du reste, en prolongeant OB et OC, que les droites indéfinies CQ et BR forment autour du point O quatre angles égaux à ceux que les plans MN et MP forment autour de leur intersection MK.

Ceci posé, menons par l’origine des coordonnées une perpendiculaire à chacun des plans (1) et (2); l'équation de la première sera 4 — 4%, y—Cz;, ou

plutôt, (n°26),

B LA Guuz=ée V= ge et les équations de la seconde fa A B' LA (4). IE = és

faisaut dans l'équation générale (4), qui donne le cosi-

nus de l'angle de deux droites,

A’ b—o, Fenee d

et désignant cet angle par +, nous obtiendrons pour

l'angle des perpendiculaires, et, par conséquent, pour

l'angle demandé des plans... (x) AA' + BB' + CC' s [au] : [ar+nt+c]

cos p —

Le double signe, dont on peut affecter les radicaux, donne pour le cosinus deux valeurs, dont l’une répond aux angles aigus, et l’autre aux angles obtus compris entre les deux plans prolongés indéfiniment.

51. L'expression précédente donne immédiatement la condition pour que les plans soient perpendiculaires entre eux; car, en faisant o — 90°, On à COS p— 0, et,

par suite, AA' + BB' + CC'= 0.

52. Déterminer les angles que fait un plan donné avec les trois plans coordonnés.

Cette question n’est qu'un cas particulier de la précédente ; car, en faisant coïncider successivement le plan (2) avec chacun des plans coordonnés , l’expression (x) fera connaître l’angle que forme ce plan coordonné avec leplan (1). Or, pour fairecoïnciderle plan(2) avec le plan des xx, dont l'équation est (n° 20) y—0, il faut faire A'—0, C'—=0, D'—o, et l’on obtient,

en subslitugnt ces valeurs dans (x), pour l'angle du

GÉO plan (1) avec le plan #5, angle que nous désignerons par (P, 22),

on trouverait de la même manière

p SE cos (P,xy) — VESFLC Prenant la somme des carrés de ces cosinus, on retrouve la relation, (n° 15),

cos? (P,æx) + cos? (P,y3) cos? (P,æxy) — 1 ;

ce qui devait être, puisque les angles du plan (1) avec les plans coordonnés sont évidemment les mêmes que ceux de sa perpendiculaire (3) avec ces mêmes plans.

33. Déterminer l'intersection de deux plans représentés par les équations,

(1)... A Æ By + Cz + D—0o, (2)... A'x By C'7+ D — 0.

Soient NP et RQ (pl. XIE, fig. 8) les deux plans, MN leur intersection, mn la projection de MN sur le plan | æz etm'n' sa projection sur le plan yx. Il s’agit d’obtenir les équations des deux projections mn, m'n'. Dans toute l'étendue indéfinie de l’intersection mn, les équations (1) et (2) doivent être satisfaites simultanément | par les mêmes valeurs de æ, y, z, de sorte qu’en pre-

nant arbitrairement une de ces quantités, #, par exemple, ces équations, qui ne renferment plus que deux variables +, y, suffisent complètement pour les déterminer ; et si, après avoir fait 3—?p, on trouyey—=q;, x—T;, les trois quantités p, q, r seront les coordonnées d’un des points de MN, et fixeront la position de ce point. Cette considération nous montre que les équations (1) et (2) représentent par elles-mêmes l'intersection demandée, dès qu’on pose la condition qu’elles soient satisfaites en même temps par les mêmes valeurs de +, y, z; et l’on pourrait ainsi se dispenser de chercher les équations des projections mn et m'n', si ces dernières | n'étaient souvent plus commodes pour représenter la | position de l'intersection. Or, il faut se rappeler (n°2) qu'un poiut quelconque de l’espace a toujours deux coordonnées de communes ayec chacune de ses projections, et, par conséquent, que les variabies æ et x représentent , à la fois, les coordonnées d’un point de l'intersection MN, ct celles de la projection de ce point

GÉO sur le plan æz}; ainsi, l'équation de la projection mn doit s’obtenir en éliminant y entre les équations (1) et (2),

ce qui donne, pour cette équation, (AB'— A'B) æ + (CB —C'B) z—L(DB'—D'B) —0.

Par la même raison, les variables y, z représentent à la fois les coordonnées d’un point de l'intersection et celles de la projection dece point sur le plan yz, et il suffira d'éliminer æ entre (1) et (2) pour obtenir l’équa-

tion de la projection m'n', savoir :

(BA'—B'A)y—-(CA'— C'A)z + (DA —D'B) — 0.

En réalisant les calculs, on arrivera définitivement à deux équations de la forme ordinaire

æ— ax +b, y—cz+d.

34. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les plans coordonnés étaient rectangulaires. Dans le cas de plans coordonnés obliques, la forme des équations de la ligne et du plan ne change pas; seulement, comme dans la géométrie des deux dimensions, les coordonnées ne sont plus perpendiculaires entre elles, mais bien parallèles chacune à son axe. Les projections sontégalement déterminées par des droites parallèles aux axes, c’est-à-dire que la projection d’une droite sur le plan æx, par exemple, s'effectue en menant par chaque point de la droite une parallèle à l’axe des y; l'équation de cette projection , qui est nécessairement une ligne droite, est alors rapportée aux axes obliques des + et des z, et rien n’est changé dans la forme des résultats généraux obtenus ci-dessus. La transformation des coordonnées obliques en coordonnées rectangulaires, et vice versé, s’eflectue par des procédés analogues à ceux de la géométrie plane pour le même objet; et, comme dans cette dernière, le degré d’une équation ne change pas, quel que changement de forme qu'on lui fasse subir, en rapportant successivement la ligne ou la surface qu’elle représente à différens systèmes de plans coordonnés. Voyez, pour tout ce qui concerne le passage d’un système d’axes à un autre, le mot TrANsFor- MATION DES COORDONNÉES, dans ce volume et dans le tom. IT, pag. 566.

35. Des Surraces courses. Les équations de toutes les surfaces courbes qu’on peut engendrer par le mou-

. yement d’une ligne droite, s’obtiennent au moyen d’un

procédé semblable à celui que nous avons employé (n° 17) pour trouver l'équation du plan. Concevons une droite MN (PI. XIT, fig. 4) assujétie à glisser le long d'une courbe plane MPQ, tout en restant parallèle à une direction donnée OB, et, pour plus de simplicité, prenons le plan de la courbe MPQ pour plan des xy; son équation dans ce plan étant fonction des seules va=

riables æ et y, nous la représenterons généralement par ? (æ, y) — 0, en ajoutant la condition z— 0. Les équations de la génératrice MN seront en outre de la forme

T— mr tp, y—nz: +4,

en supposant que celles de la droite fixe OB sont æ—mz, Y—n3; m et n seront des quantités invariables, et p etq des quantités différentes pour chaque position de la génératrice.

Ceci posé, il faut commencer par exprimer que la génératrice MN a, dans toutes ses positions, un point de commun avec la directrice courbe MPQ, ce qui implique la condition que les quatre équations